ツィレルソン空間

数学、特に関数解析において、ツィレルソン空間は、ℓ p^空間もc 0 _空間も埋め込むことができないバナッハ空間の最初の例である。ツィレルソン空間は反射的である。

これは 1974 年にBS Tsirelsonによって導入されました。同年、Figiel と Johnson は関連記事 (Figiel & Johnson (1974)) を発表し、その中でTsirelson の例の双対にT という表記法を使用しました。今日では、文字Tは元の例の双対の標準表記法^{[1]であり、元の Tsirelson の例は}T *で表されます。T *またはTでは、バナッハ空間のようにℓ ^p空間 (1 ≤ p < ∞) またはc _0に同型な部分空間はありません。

Banach (1932) が知っていたすべての古典的なバナッハ空間、つまり連続関数の空間、微分可能関数の空間、または積分可能関数の空間、およびその後 40 年間関数解析で使用されたすべてのバナッハ空間には、何らかのℓ ^pまたはc ₀が含まれています。また、1970 年代初頭のバナッハ空間の幾何学的理論を推進する新しい試み^{[2]により、}すべての無限次元バナッハ空間に何らかのℓ ^pまたはc ₀に同型な部分空間があるかどうかという疑問^[3]が生じました。さらに、Baudier、Lancien、および Schlumprecht によって、 ℓ ^pと c _{0 は}T* に粗く埋め込まれることさえないことが示されました。

根本的に新しいツィレルソン構成は、バナッハ空間理論におけるいくつかのさらなる発展の根底にある。トーマス・シュルンプレヒトの任意変形可能空間（シュルンプレヒト（1991））は、バナッハの超平面問題に対するガワーズの解^[4]と、歪み問題に対するオデル・シュルンプレヒトの解に依存している。また、アルギロスら^{[5]のいくつかの結果は、ツィレルソン構成の}順序的改良に基づいており、スカラープラスコンパクト問題に対するアルギロス・ヘイドンの解に至っている。^[6]

ツィレルソンの構築

有界スカラー列x = { x _j } _j_∈_Nのベクトル空間 ℓ ^∞上で、j ≤ nとなるxのすべての座標x _jをゼロに設定する線型演算子をP _{n で}表すものとします。

^ℓ∞のベクトルの有限列は、1 からNまでの各nに対して、またはのとき、となる自然数が存在し、となる場合、ブロック分離していると呼ばれます。 $\{x_{n}\}_{n=1}^{N}$ $\textstyle \{a_{n},b_{n}\}_{n=1}^{N}$ $a_{1}\leq b_{1} <a_{2}\leq b_{2} <\cdots \leq b_{N}$ $(x_{n})_{i}=0$ $i<a_{n}$ $i>b_{n}$

_ℓ∞ の単位球 B∞は^、点収束の位相（積位相）に対してコンパクトかつ距離化可能である。ツィレルソン構成における重要なステップは、K を次の 2 つの性質を満たすB∞_の最小の点閉部分集合とすることである : ^[7]

a. N 内のすべての整数 jについて、単位ベクトルe _jとすべての倍数（|λ| ≤ 1）はKに属します。

\lambda e_{j}

b.任意の整数N ≥ 1 について、がK内のブロック分離列である場合、はKに属します。

\textstyle (x_{1},\ldots ,x_{N})

\textstyle {{1 \over 2}P_{N}(x_{1}+\cdots +x_{N})}

この集合K は次の安定性プロパティを満たします。

c.集合Kには、 Kのすべての要素xとともに、 ℓ ^∞内のすべてのベクトルy が含まれており、| y | ≤ | x | となります（点ごとの比較の場合）。

次に、 Kが実際にはc ₀の部分集合、すなわち ℓ ^∞のバナッハ部分空間であり、無限遠でゼロに向かうスカラー列からなるものであることが示される。これは、次のことを証明することによって行われる。

d: Kの任意の元xに対して、 2 P _n ( x ) が Kに属するような整数n が存在する。

この事実を繰り返します。Kは点ごとにコンパクトで c ₀に含まれるため、c _{0 において弱コンパクトです。 V を c 0}におけるKの閉じた凸包とします。これ_はc 0における弱コンパクト集合_でもあります。 V はb、c、およびd を満たすことが示されています。

ツィレルソン空間T * は、単位球がV であるバナッハ空間です。単位ベクトル基底はT *の無条件基底であり、 T * は反射的です。したがって、T * はc ₀の同型コピーを含みません。その他のℓ ^p空間 (1 ≤ p < ∞) は、条件b によって除外されます。

プロパティ

ツィレルソン空間 $T*$ は反射的(ツィレルソン (1974)) かつ有限普遍的である。つまり、ある定数 $C$ ≥ 1に対して、空間 $T*にはすべての有限次元ノルム空間の$ $C$ 同型コピーが含まれる。つまり、すべての有限次元ノルム空間 $Xに対して、$ $X$ への乗法バナッハ・マズール距離が $C$ より小さいツィレルソン空間の部分空間 $Y が$ 存在する。実際には、すべての有限普遍バナッハ空間にはすべての有限次元ノルム空間のほぼ等長コピーが含まれ、^[8]つまり、すべてのε > 0に対して、 $C は$ 1 + εに置き換えることができる。また、 $T*$ のすべての無限次元部分空間は有限普遍的である。一方、 $T*$ の双対 $T$ のすべての無限次元部分空間には、すべての $nに対して、$ $n$ 次元 ℓ ¹空間であるのほぼ等長コピーが含まれる。 $\scriptstyle {\ell _{n}^{1}}$

ツィレルソン空間 $Tは$ 変形可能であるが、任意に変形可能であるかどうかは不明である。

空間 $T*は$ 極小バナッハ空間である。 ^{[9]これは、} $T*$ の任意の無限次元バナッハ部分空間が、 $T*$ と同型なさらなる部分空間を含むことを意味する。 $T*$ が構築される前は、極小空間の例はℓ ^pと $c$ ₀のみであった。双対空間 $T$ は極小ではない。^[10]

空間 $T* は$ 多項式的に反射的です。

派生空間

対称ツィレルソン空間 S ( T ) は多項式反射的であり、近似特性を持ちます。Tと同様に、反射的であり、ℓ ^p空間を埋め込むことはできません。

これは対称なので、非可算な支持集合上でも定義でき、非可分な多項式反射バナッハ空間の例となります。

参照

注記

^ 例えば Casazza & Shura (1989)、p. 8; Lindenstrauss & Tzafriri (1977)、p. 95; The Handbook of the Geometry of Banach Spaces、第 1 巻、p. 276; 第 2 巻、p. 1060、1649 を参照。
^ Lindenstrauss (1970)、Milman (1970)を参照。
^ この問題は、Lindenstrauss (1970)、Milman (1970)、Lindenstrauss (1971) の最終ページで明示的に定式化されています。Lindenstrauss & Tzafriri (1977)、p. 95 では、この問題は「バナッハの本 (1932) にまで遡る長年の未解決問題」であると述べていますが、この問題はバナッハの本には登場しません。しかし、バナッハはℓ ^pの線形次元を他の古典的な空間の線形次元と比較しており、これはいくぶん似た問題です。
^ 問題は、すべての無限次元バナッハ空間がその超平面に同型であるかどうかである。否定解は、Gowers の「バナッハの超平面問題の解」Bull. London Math. Soc. 26 (1994), 523-530 に示されている。
^ たとえば、S. Argyros と V. Felouzis、「遺伝的に非分解可能なバナッハ空間の補間」、Journal Amer. Math. Soc.、13 (2000)、243–294、S. Argyros と A. Tolias、「遺伝的に非分解可能なバナッハ空間の理論における方法」、Mem. Amer. Math. Soc. 170 (2004)、第 806 号。
^ S. Argyros と R. Haydon は、すべての有界演算子が恒等式のスカラー倍数のコンパクトな摂動となるバナッハ空間を構築しました (「スカラープラスコンパクト問題を解決する遺伝的に分解不可能な L _∞空間」、Acta Mathematica (2011) 206: 1-54)。
^ ここでの条件b、c、dはそれぞれTsirel'son（1974）の条件（3）、（2）、（4）であり、aは同じ論文の条件（1）を修正したものです。
^ これは、任意の $n$ 、 $C 、 ε に対して、$ $N$ が存在し、 ℓ ^∞_$N$のすべての $C同型に ℓ$ ^∞_nの(1 + ε)同型が含まれるためです(James のブロッキング技法 (Robert C. James の「Uniformly Non-Square Banach Spaces」、Annals of Mathematics、Vol. 80、1964、pp. 542-550 の Lemma 2.2 を参照)。また、 $n$ が十分に大きい場合、すべての有限次元ノルム空間はℓ ^∞_$n$に(1 + ε)埋め込みます。
^ Casazza & Shura (1989)、p. を参照。 54.
^ Casazza & Shura (1989)、p. を参照。 56.

参考文献

ツィレルソン、BS（1974）、「「すべてのバナッハ空間にℓ ^pまたはc ₀の埋め込みが含まれるわけではない」、関数解析とその応用、8：138-141、doi：10.1007/BF01078599、MR 0350378。
ステファン・バナハ（1932年）。 Théorie des Opérations Linéaires [線形演算の理論] (PDF)。 Monografie Matematyczne (フランス語)。 Vol. 1. ワルシャワ: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej。Zbl 0005.20901。2014 年 1 月 11 日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2020年7月11日に取得。
Figiel, T.; Johnson, WB (1974)、「ℓ p を含まない一様凸バナッハ空間」、Compositio Mathematica、29 : 179–190、MR 0355537。
カサッツァ、ピーター G. Shura、Thaddeus J. (1989)、Tsirelson's Space、Lecture Notes in Mathematics、vol. 1363、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-50678-0、MR 0981801。
ジョンソン、ウィリアム B.、J. リンデンシュトラウス、ジョラム編 (2001)、『バナッハ空間の幾何学ハンドブック』第 1 巻、エルゼビア。
ジョンソン、ウィリアム B.、J. リンデンシュトラウス、ジョラム編 (2003)、『バナッハ空間の幾何学ハンドブック』第 2 巻、エルゼビア。
リンデンシュトラウス、ヨラム（1970）、「バナッハ空間の理論のいくつかの側面」、数学の進歩、5：159-180、doi：10.1016/0001-8708（70）90032-0。
リンデンシュトラウス、ジョラム(1971)、「古典的なバナッハ空間の幾何学的理論」、Actes du Congrès Intern。数学、ニース 1970 : 365–372。
Lindenstrauss, ヨラム; Tzafriri、Lior (1977)、Classical Banach Spaces I、Sequence Spaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、vol. 92、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-08072-4。
ミルマン、VD (1970)、「バナッハ空間の幾何学理論。I. 基本システムと極小システムの理論」、Uspekhi Mat. Nauk (ロシア語)、25 号 3: 113–174ロシア語の英語訳Math. Surveys 25 (1970), 111-170.
Schlumprecht, Thomas B. (1991)、「任意の変形可能なバナッハ空間」、Israel Journal of Mathematics、76 :81–95、arXiv : math/9201225、doi : 10.1007/bf02782845、MR 1177333。
ボーディエ、フロラン; ランシアン、ジル; シュルンプレヒト、トーマス B. (2018)、「ツィレルソン空間の粗い幾何学とその応用」、アメリカ数学会誌、31 : 699--717、arXiv : 1705.06797、doi : 10.1090/jams/899、MR 3787406。

外部リンク

ボリス・ツィレルソンのウェブページ上の回想

[Standard-1] 例えば Casazza & Shura (1989)、p. 8; Lindenstrauss & Tzafriri (1977)、p. 95; The Handbook of the Geometry of Banach Spaces、第 1 巻、p. 276; 第 2 巻、p. 1060、1649 を参照。

[2] Lindenstrauss (1970)、Milman (1970)を参照。

[3] この問題は、Lindenstrauss (1970)、Milman (1970)、Lindenstrauss (1971) の最終ページで明示的に定式化されています。Lindenstrauss & Tzafriri (1977)、p. 95 では、この問題は「バナッハの本 (1932) にまで遡る長年の未解決問題」であると述べていますが、この問題はバナッハの本には登場しません。しかし、バナッハはℓ ^pの線形次元を他の古典的な空間の線形次元と比較しており、これはいくぶん似た問題です。

[4] 問題は、すべての無限次元バナッハ空間がその超平面に同型であるかどうかである。否定解は、Gowers の「バナッハの超平面問題の解」Bull. London Math. Soc. 26 (1994), 523-530 に示されている。

[5] たとえば、S. Argyros と V. Felouzis、「遺伝的に非分解可能なバナッハ空間の補間」、Journal Amer. Math. Soc.、13 (2000)、243–294、S. Argyros と A. Tolias、「遺伝的に非分解可能なバナッハ空間の理論における方法」、Mem. Amer. Math. Soc. 170 (2004)、第 806 号。

[6] S. Argyros と R. Haydon は、すべての有界演算子が恒等式のスカラー倍数のコンパクトな摂動となるバナッハ空間を構築しました (「スカラープラスコンパクト問題を解決する遺伝的に分解不可能な L _∞空間」、Acta Mathematica (2011) 206: 1-54)。

[Conditions-7] ここでの条件b、c、dはそれぞれTsirel'son（1974）の条件（3）、（2）、（4）であり、aは同じ論文の条件（1）を修正したものです。

[8] これは、任意の $n$ 、 $C 、 ε に対して、$ $N$ が存在し、 ℓ ^∞_$N$のすべての $C同型に ℓ$ ^∞_nの(1 + ε)同型が含まれるためです(James のブロッキング技法 (Robert C. James の「Uniformly Non-Square Banach Spaces」、Annals of Mathematics、Vol. 80、1964、pp. 542-550 の Lemma 2.2 を参照)。また、 $n$ が十分に大きい場合、すべての有限次元ノルム空間はℓ ^∞_$n$に(1 + ε)埋め込みます。

[9] Casazza & Shura (1989)、p. を参照。 54.

[10] Casazza & Shura (1989)、p. を参照。 56.