一様凸空間

数学において、一様凸空間（または一様円形空間）は反射的 バナッハ空間の一般的な例です 。一様凸性の概念は、1936 年に James A. Clarksonによって初めて導入されました。

一様凸空間とは、任意のベクトルに対して、任意の2つのベクトルに対して、条件 ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|x\|=1}$${\displaystyle \|y\|=1,}$

${\displaystyle \|xy\|\geq \varepsilon }$

は以下を意味します:

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta .}$

直感的には、単位球内の線分の中心は、線分が短くない限り、単位球の奥深くに位置している必要があります。

• 定義では、単位球は閉じた単位球に置き換えることができます。つまり、ノルムベクトル空間が一様 凸であるための必要十分条件は、任意の に対してが存在し、の閉単位球（つまり、および）内の任意の 2 つのベクトルとに対して、が成り立つことです（ が与えられた場合、 の対応する値は、元の弱い定義によって提供される値よりも小さくなる可能性があることに注意してください）。${\displaystyle X}$${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \|x\|\leq 1}$${\displaystyle \|y\|\leq 1}$${\displaystyle \|xy\|\geq \varepsilon }$${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \delta}$

• ミルマン・ペティスの定理によれば、すべての一様凸バナッハ空間は反射的であるが、その逆は成り立たない。
• 任意の一様凸バナッハ空間はラドン・リース空間、つまり、 が一様凸バナッハ空間内の数列であり、 に弱収束し、 を満たす場合、 はに強収束します。つまり、 です。${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|,}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0}$
• バナッハ空間 が一様凸となるのは、その双対が一様滑らかである場合に限ります。${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$
• すべての一様凸空間は厳密に凸です。直感的には、厳密な凸性はが線型独立である場合に三角不等式が より強くなることを意味しますが、一様凸性は、この不等式が一様に真であることを要求します。${\displaystyle \|x+y\|<\|x\|+\|y\|}$${\displaystyle x,y}$

• あらゆる内積空間は一様凸である。^[1]
• 一様凸バナッハ空間のすべての閉部分空間は一様凸である。
• クラークソンの不等式は、L ^p空間 が一様凸であることを意味します。${\displaystyle (1<p<\infty )}$
• 逆に言えば、一様凸ではありません。${\displaystyle L^{\infty}}$

• 凸面の係数と特性
• 一様凸関数
• 均一に滑らかな空間

• クラークソン, JA (1936). 「一様凸空間」. Trans. Amer. Math. Soc . 40 (3). アメリカ数学会: 396–414. doi : 10.2307/1989630 . JSTOR  1989630.。
• Hanner, O. (1956). 「L p {\displaystyle L^{p}} と l p {\displaystyle l^{p}} の一様凸性について」Ark. Mat . 3 : 239–244. doi : 10.1007/BF02589410 .。
• ボーザミー、バーナード (1985) [1982].バナッハ空間とその幾何学入門（第2版改訂版）. ノースホランド. ISBN 0-444-86416-4。
• Per Enflo (1972)。「同等の一様凸ノルムが与えられるバナッハ空間」。イスラエル数学ジャーナル。13 (3–4): 281–288。doi :10.1007/BF02762802 。
• Lindenstrauss, Joramおよび Benyamini, Yoav.幾何学的非線形関数解析. コロキウム出版物、48. アメリカ数学会.