ペルエンフロ

ペルエンフロ
1972年のエンフロ
生まれる	( 1944-05-20 )1944年5月20日（80歳） ストックホルム、スウェーデン
母校	ストックホルム大学
知られている	近似問題 シャウダー基底 ヒルベルトの第五問題（無限次元）超反射バナッハ空間の 一様凸再 ノルム距離空間の埋め込み（立方体の無限変形）低次多項式の「集中」不変部分空間問題
受賞歴	「スコットランドの本」問題 153 を解くためのマズールの「生きたガチョウ」
科学者としてのキャリア
フィールド	関数解析 作用素 論 解析的数論
機関	カリフォルニア大学バークレー校、 スタンフォード大学、パリ・ エコール・ポリテクニーク、ストックホルム王立工科大学、ケント州立大学
博士課程の指導教員	ハンス・ラドストローム
博士課程の学生	アンジェラ・スポールズベリー ブルース ・レズニック

ペル・H・エンフロ（スウェーデン語： [ˈpæːr ˈěːnfluː] ; 1944年5月20日生まれ）は、関数解析を専門とするスウェーデンの数学者であり、その分野で基礎的と考えられていた問題を解いた。これらの問題のうち3つは40年以上も未解決であった。 ^[1]

• 基底問題と近似問題^[2]以降
• バナッハ空間の不変部分空間問題[ ^3]

これらの問題を解決するにあたり、エンフロは新しい手法を開発し、その後関数解析や作用素論の他の研究者によって何年も使用されました。エンフロの研究の一部は、数論などの他の数学分野や、特にコンピュータ代数や近似アルゴリズムなどのコンピュータサイエンスの分野でも重要となっています。

エンフロ氏はケント州立大学に勤務しており、同大学では大学教授の肩書を持っています。エンフロ氏はこれまで、カリフォルニア大学バークレー校のミラー基礎科学研究所、スタンフォード大学、パリのエコール・ポリテクニーク、ストックホルム王立工科大学で職を歴任しました。

エンフロはコンサートピアニストでもあります。

数学において、関数解析はベクトル空間とそこに作用する作用素の研究に関係しています。関数解析の歴史的ルーツは、関数空間の研究、特にフーリエ変換などの関数の変換、および微分方程式と積分方程式の研究にあります。関数解析では、ベクトル空間の重要なクラスは、実数または複素数上の完全なノルム付きベクトル空間で構成され、バナッハ空間と呼ばれます。バナッハ空間の重要な例は、ノルムが内積から生じるヒルベルト空間です。ヒルベルト空間は、量子力学の数学的定式化、確率過程、時系列解析など、多くの分野で基本的な重要性を持っています。関数の空間の研究に加えて、関数解析は関数の空間上の 連続線型作用素も研究します。

ストックホルム大学で、ハンス・ロードストロームはエンフロに、関数解析の精神でヒルベルトの第5問題を検討するよう提案した。^{[4] 1969年から1970年の2年間で、エンフロはヒルベルト}の第5問題について5つの論文を発表した。これらの論文は短い要約とともにエンフロ（1970）にまとめられている。これらの論文の結果の一部は、エンフロ（1976）とベニャミニとリンデンシュトラウスの最終章で説明されている。

エンフロの手法はコンピュータサイエンスに応用されている。アルゴリズム理論家は、有限距離空間を「歪み」の少ない低次元ユークリッド空間に埋め込む近似アルゴリズムを導出している（グロモフのリプシッツカテゴリの用語。バナッハ・マズール距離を参照）。もちろん、低次元の問題は計算の複雑さが低い。さらに重要なのは、問題がユークリッド平面または3次元ユークリッド空間のいずれかにうまく埋め込まれると、幾何学アルゴリズムが非常に高速になるということである。

しかし、このような埋め込み技術には限界があり、それはエンフロ（1969）の定理によって示されている。^[5]

任意の に対して、の場合には、ハミングキューブは「歪み」（またはそれ以下）で-次元ユークリッド空間に埋め込むことができません。したがって、最適な埋め込みは自然な埋め込みであり、これは -次元ユークリッド空間の部分空間として実現されます。^[6]${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle C_{m}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 2^{m}}$${\displaystyle D<{\sqrt {m}}}$${\displaystyle \{0,1\}^{m}}$${\displaystyle m}$

この定理は「エンフロ[1969]によって発見され、ユークリッド空間への埋め込みの無限の歪みを示す最初の結果であると思われる。エンフロはバナッハ空間間の均一埋め込みの問題を考慮しており、歪みは彼の証明の補助的な手段であった。」^[7]

一様凸空間とは、任意の2つのベクトルに対して、${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|x\|\leq 1}$${\displaystyle \|y\|\leq 1,}$

${\displaystyle \|x+y\|>2-\delta }$

は、

${\displaystyle \|xy\|<\epsilon .}$

直感的には、単位球内の線分の中心は、線分が短くない限り、単位球の奥深くに位置している必要があります。

1972年にエンフロは「すべての超反射的 バナッハ空間は同等の一様凸ノルムを許容する」ことを証明した。^{[8] [9]}

1973 年に発表された 1 つの論文で、ペル・エンフロは、数十年にわたって関数解析者を悩ませてきた 3 つの問題を解決しました。それは、シュテファン・バナッハの基底問題、スタニスワフ・マズールの「ガチョウ問題」、アレクサンダー・グロタンディークの近似問題です。グロタンディークは、彼の近似問題がバナッハ空間と連続線型作用素の理論における中心的な問題であることを示しました。

基底問題は、シュテファン・バナッハが著書『線型作用素の理論』で提起した。バナッハは、すべての可分なバナッハ空間にシャウダー基底があるかどうかを問うた。

シャウダー基底または可算基底は、ベクトル空間の通常の (ハメル)基底に似ています。違いは、ハメル基底では有限和となる線形結合を使用するのに対し、シャウダー基底では無限和となる場合があることです。このため、シャウダー基底は、バナッハ空間を含む無限次元位相ベクトル空間の解析に適しています。

シャウダー基底は1927年にユリウス・シャウダーによって記述された。^{[10] [11]} V を体F上のバナッハ空間とする。シャウダー基底はVの元の列( b _n )であり、任意の元v ∈ Vに対してFの元の一意の列 ( α _n )が存在し、

${\displaystyle v=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha _{n}b_{n}\,}$

ここで、収束はノルム 位相に関して理解されます。シャウダー基底は、一般的な位相ベクトル空間でも同様に定義できます。

バナッハと他のポーランドの数学者たちは、スコティッシュ カフェで数学の問題に取り組んでいました。問題が特に興味深く、その解決が困難と思われる場合、その問題は問題集に書き留められ、すぐにスコティッシュブックとして知られるようになりました。特に重要または困難、あるいはその両方と思われる問題の場合、問題の提案者はその解決に賞金を出すことを誓約することがよくありました。

1936 年 11 月 6 日、スタニスワフ・マズールは連続関数の表現に関する問題を提起した。マズールは、スコットランドの本に問題 153 を正式に書き留め、報酬として「生きたガチョウ」を約束した。これは、大恐慌と第二次世界大戦前夜にしては特に高額な代償であった。

その後すぐに、マズールの問題は、可分バナッハ空間におけるシャウダー基底の存在に関するバナッハの問題と密接に関連していることが認識されました。スコットランドの本の他のほとんどの問題は定期的に解決されました。しかし、マズールの問題と他のいくつかの問題についてはほとんど進展がなく、世界中の数学者にとって有名な未解決問題となりました。 ^[12]

グロタンディークのバナッハ空間と連続線型作用素の理論に関する研究は近似性質を導入した。バナッハ空間は、すべてのコンパクト作用素が有限階数作用素の極限である場合に近似性質を持つと言われる。逆は常に真である。^[13]

グロタンディークは長いモノグラフで、もしすべてのバナッハ空間が近似特性を持つならば、すべてのバナッハ空間はシャウダー基底を持つであろうことを証明した。こうしてグロタンディークは関数解析者の注意をすべてのバナッハ空間が近似特性を持つかどうかの決定に集中させた。^[13]

1972年、ペル・エンフロは近似特性とシャウダー基底を欠く可分バナッハ空間を構築した。^{[14] 1972年、マズールは}ワルシャワのシュテファン・バナッハ・センターで行われた式典で、生きたガチョウをエンフロに授与した。この「ガチョウ褒賞」式典はポーランド全土に放送された。^[15]

関数解析において、最も顕著な問題の一つは不変部分空間問題であり、これは次の命題の真偽を評価することを必要とした。

次元> 1の複素バナッハ空間 Hと有界線型演算子T  :  H  →  Hが与えられたとき、Hには非自明なT不変閉部分空間、すなわち、 {0} およびHとは異なるHの閉線型部分空間W が存在し、 T ( W ) ⊆ Wとなります。

バナッハ空間の場合、不変部分空間を持たない演算子の最初の例は、Enflo によって構築されました。(ヒルベルト空間の場合、不変部分空間の問題は未解決のままです。)

エンフロは1975年に不変部分空間問題の解決策を提案し、1976年に概要を発表した。エンフロは1981年に論文全文を提出したが、論文の複雑さと長さのため、出版は1987年に延期された^[16]。エンフロの長い「原稿は数学者の間で世界中で回覧された」^[17]。そのアイデアのいくつかは、エンフロ（1976）以外の出版物でも説明されている。^{[18] [19]}エンフロの研究は、例えばボーザミーによる不変部分空間を持たない演算子の同様の構成に影響を与え、ボーザミーはエンフロのアイデアを認めた。^[16]

1990年代に、エンフロはヒルベルト空間上の不変部分空間問題に対する「構成的」アプローチを開発した。 ^[20]

エンフロの構築における重要なアイデアは「低次数への多項式集中」であった。すべての正の整数とに対して、次数および（変数） のすべての同次多項式とに対して、となるようなものが存在する。${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C(m,n)>0}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle |PQ|\geq C(m,n)|P|\,|Q|,}$

ここで はの係数の絶対値の合計を表す。エンフロは が変数の数に依存しないことを証明した。エンフロの元の証明はモンゴメリによって簡略化された。^[21]${\displaystyle |P|}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C(m,n)}$${\displaystyle k}$

この結果は、同次多項式のベクトル空間上の他のノルムに一般化されました。これらのノルムのうち、最もよく使用されているのはボンビエリノルムです。

ボンビエリノルムは、 次のスカラー積で定義される。${\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{N}^{N}}$

${\displaystyle \langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0}$もし${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

定義する${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{N}}$${\displaystyle ||X^{\alpha }||^{2}={\frac {|\alpha |!}{\alpha !}},}$

ここで、次の表記法を用いる： の場合、および と 書き、${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N}}$${\displaystyle |\alpha |=\Sigma _{i=1}^{N}\alpha _{i}}$${\displaystyle \alpha !=\Pi _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)}$${\displaystyle X^{\alpha }=\Pi _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.}$

このノルムの最も注目すべき特性はボンビエリの不等式です。

それぞれ次数と の変数を持つ2 つの同次多項式があるとすると、次の不等式が成り立ちます。 ${\displaystyle P,Q}$${\displaystyle d^{\circ }(P)}$${\displaystyle d^{\circ }(Q)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}||P||^{2}\,||Q||^{2}\leq ||P\cdot Q||^{2}\leq ||P||^{2}\,||Q||^{2}.}$

上記の記述では、ボンビエリの不等式は左側の不等式です。右側の不等式は、ボンビエリノルムが乗算における多項式の 代数のノルムであることを意味します。

ボンビエリの不等式は、2 つの多項式の積が任意に小さくなることはできないことを意味し、この下限は多項式因数分解(または不変部分空間のない演算子の Enflo による構築) などのアプリケーションで基本的なものとなります。

エンフロの「低次数への多項式の集中」というアイデアは、数論^{[22] 、} 代数幾何 学、ディオファントス幾何学^[23]、多項式因数分解^[24]における重要な論文発表につながった。

応用数学の分野では、ペル・エンフロは数理生物学、特に人口動態に関する論文をいくつか発表しています。

エンフロは集団遺伝学と古人類学の分野でも論文を発表している。^[25]

今日、すべての人類は、種の境界によって分けられたホモ・サピエンス・サピエンスという一つの集団に属している。しかし、「アフリカ起源説」によれば、これは人類の最初の種ではない。ホモ属の最初の種であるホモ・ハビリスは、少なくとも200万年前に東アフリカで進化し、この種のメンバーは比較的短期間でアフリカのさまざまな地域に生息していた。ホモ・エレクトスは180万年以上前に進化し、150万年前までに旧世界全体に広がった。

人類学者の間では、現在の人類集団が 1 つの相互接続された集団として進化したのか (多地域進化仮説で想定されているように)、それとも東アフリカでのみ進化し、種分化した後、アフリカから移動してユーラシアの人類集団に取って代わったのか (「出アフリカ」モデルまたは「完全置換」モデルと呼ばれる) について意見が分かれています。

ネアンデルタール人と現代人はヨーロッパで数千年にわたって共存していたが、その期間は不明である。^[26]現代人がヨーロッパに初めて移住したのは4万～4万3千年前と考えられている。^{[27]ネアンデルタール人は、}ゴラム洞窟などのイベリア半島南岸の避難所に2万4千年前まで住んでいた可能性がある。^{[28] [29]}ネアンデルタール人と現代人の遺骨の層別化が示唆されているが^[30]、異論もある。^[31]

エンフロはホークスとウォルポフとともに、ネアンデルタール人と現代人のDNAに関する化石証拠の説明を発表しました。この論文は、現代人の進化に関する、複数の地域起源説とアフリカ単一起源説の論争に決着をつけようとしています。特に、ネアンデルタール人の絶滅は、現代人の波がヨーロッパに押し寄せたために起こった可能性があります。専門用語で言えば、「現代人のDNAがネアンデルタール人の遺伝子プールに継続的に流入した」ためです。^{[32] [33] [34]}

エンフロはエリー湖のゼブラ貝の個体群動態についても書いている。^[35]

ペル・エンフロはコンサートピアニストでもあります。

音楽と数学の両方で天才児だったエンフロは、1956年に11歳でスウェーデンの若いピアニストのためのコンクールで優勝し、1961年にも同じコンクールで優勝しました。^{[37] 12歳のとき、エンフロはスウェーデン王立歌劇場管弦楽団のソリストとして出演しました。彼は1963年に}ストックホルムコンサートホールでデビューしました。エンフロの教師には、ブルーノ・ザイドルホファー、ゲザ・アンダ、ゴットフリート・ブーン（彼自身もアルトゥール・シュナーベルの弟子でした）がいました。^[36]

1999年、エンフロはヴァン・クライバーン財団主催の第1回国際アマチュアピアノコンクールに出場した。 2009年4月19日アーカイブ、Wayback Machineより。^[38]

エンフロはケント周辺で定期的に演奏しており、オハイオ州コロンバスではモーツァルトシリーズ（トリユニ・フェスティバル・オーケストラと共演）にも出演している。彼のピアノソロリサイタルは、オハイオ州立大学がスポンサーとなっているラジオ局WOSUのクラシックネットワークで放送されている。^[36]

• 「ケント州立大学の 2005 年度優秀学者賞受賞者が発表」、eInside、2005 年 4 月 11 日。2007 年 2 月 4 日に閲覧。

• Enflo, Per. (1970) 非局所コンパクト群に対するヒルベルトの第 5 問題に関する研究 (ストックホルム大学)。Enflo の論文には、次の 5 つの論文の再版が含まれています。
  • Enflo, Per (1969a)。「片側の乗算が微分可能または線形である位相群」。Math . Scand . 24 : 195–197. doi : 10.7146/math.scand.a-10930。
  • Per Enflo (1969). 「Lp空間間の均一同相写像の非存在について」Ark. Mat . 8 (2): 103–5. Bibcode :1970ArM.....8..103E. doi : 10.1007/BF02589549 .
  • エンフロ、ペル（1969b）。 「スミルノフの問題について」。アーク。マタイ8 （ 2）：107-109。Bibcode ： 1970ArM .....8..107E。doi ：10.1007/bf02589550。
  • Enflo , Per ( 1970a ). 「位相群における均一構造と平方根I」。イスラエル数学ジャーナル。8 (3): 230–252。doi :10.1007/BF02771560。S2CID 189773170  。
  • Enflo , Per ( 1970b ). 「位相群における均一構造と平方根II」。イスラエル数学ジャーナル。8 (3): 253–272。doi :10.1007/BF02771561。S2CID 121193430  。
    • エンフロ、パー。 1976. バナッハ空間間の一様準同型性。Séminaire Maurey-Schwartz (1975—1976)、Espaces、バナハのアプリケーション radonifiantes et géométrie des espaces${\displaystyle L^{p}}$、Exp。 No. 18、7 ページ、Center Math.、エコールポリテック、パレゾー。MR 0477709 (57 #17222) [ヒルベルトの 5 番目の問題に関する論文と、ハンス ロードストロームのもう一人の生徒であるマルティン リーベの独立した結果に関する論文のハイライト]
• Enflo, Per (1972). 「同等の一様凸ノルムを与えることができるバナッハ空間」.イスラエル数学ジャーナル. 13 (3–4): 281–288. doi :10.1007/BF02762802. MR  0336297. S2CID  120895135.
• Enflo, Per (1973). 「バナッハ空間における近似問題に対する反例」Acta Mathematica . 130 : 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 . MR  0402468.
• エンフロ、パー (1976)。 「バナッハ空間の不変部分空間問題について」(PDF)。Séminaire Maurey--Schwartz (1975--1976) Espaces L ^p、アプリケーション radonifiantes et géométrie des espaces de Banach、Exp。 No. 14 ～ 15。センター数学、エコールポリテック、パレゾー。 1 ～ 7 ページ。MR0473871  。
• Enflo, Per (1987). 「バナッハ空間の不変部分空間問題について」. Acta Mathematica . 158 (3): 213–313. doi : 10.1007/BF02392260 . ISSN  0001-5962. MR  0892591.
• Beauzamy, Bernard; Bombieri, Enrico ; Enflo, Per; Montgomery, Hugh L. (1990). 「多変数多項式の積」. Journal of Number Theory . 36 (2): 219–245. doi :10.1016/0022-314X(90)90075-3. hdl : 2027.42/28840 . MR  1072467.
• Beauzamy, Bernard; Enflo, Per ; Wang, Paul (1994 年 10 月)。「1 つまたは複数の変数の多項式の定量的推定: 解析と数論から記号および超並列計算まで」。Mathematics Magazine。67 ( 4 ): 243–257。JSTOR  2690843。（学部レベルの数学を学んだ読者が閲覧可能）
• P. エンフロ、ジョン D. ホークス、M. ウォルポフ。「ネアンデルタール人の祖先が現在の DNA 情報と一致する単純な理由」。American Journal Physical Anthropology、2001 年
• Enflo, Per; Lomonosov, Victor (2001)。「不変部分空間問題のいくつかの側面」。バナッハ空間の幾何学ハンドブック。第 1 巻。アムステルダム: 北ホラント。pp. 533–559。
• Bartle, RG ( 1977)。「Per Enflo の「バナッハ空間における近似問題に対する反例」のレビュー Acta Mathematica 130 (1973)、309–317」。Mathematical Reviews。130 : 309–317。doi : 10.1007 / BF02392270。MR  0402468 。
• ボーザミー、バーナード (1985) [1982].バナッハ空間とその幾何学入門（第2版改訂版）. ノースホランド. ISBN 0-444-86416-4MR  0889253 。
• ボーザミー、バーナード (1988)。演算子理論と不変部分空間入門。ノースホランド。ISBN 0-444-70521-X. MR  0967989。
• エンリコ・ボンビエリ、ウォルター・ギュブラー (2006)。『ディオファントス幾何学における高さ』ケンブリッジ大学出版ISBN 0-521-84615-3。
• Roger B. Eggleton (1984)。「Mauldin のThe Scottish Book: Mathematics from the Scottish Caféのレビュー」。Mathematical Reviews。MR  0666400 。
• Grothendieck, A. :張力トポロジーと核空間の生成。メモ。アメール。数学。社会16 (1955)。
• ハルモス、ポール R. (1978) 。「シャウダー基底」。アメリカ数学月刊誌。85 (4): 256–257。doi : 10.2307 /2321165。JSTOR 2321165。MR  0488901  。
• ポール・R・ハルモス、「数学の進歩は鈍化したか？」アメリカ数学月刊誌97（1990）、第7号、561-588ページ。MR 1066321
• William B. Johnson「相補的に普遍的可分バナッハ空間」、Robert G. Bartle (編)、1980 年『関数解析研究』、アメリカ数学協会。
• カウジャ、ローマ字 (1996)。アン・コスタントとヴォイボル・ヴォイチンスキー（編）。記者の目を通して：ステファン・バナッハの生涯。ビルクホイザー。ISBN 0-8176-3772-9. MR  1392949。
• Knuth, Donald E (1997)。「4.6.2 多項式の因数分解」。半数値アルゴリズム。コンピュータプログラミングの技法。第 2 巻 (第 3 版)。マサチューセッツ州レディング: Addison-Wesley。pp. 439–461, 678–691。ISBN 0-201-89684-2。
• Kwapień, S. 「近似特性を持たないバナッハ空間のエンフロの例について」。 Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972—1973: Équations aux dérivées Partielles et Analyze fonctionnelle、Exp. No. 8、9 pp. Center de Math.、エコールポリテック、パリ、1​​973. MR 407569
• Lindenstrauss, Joram、Benyamini, Yoav.幾何学的非線形関数解析コロキウム出版物、48. アメリカ数学会。
• Lindenstrauss, J. ; Tzafriri, L.: Classical Banach Spaces I, Sequence spaces、1977年。Springer-Verlag。
• マトウシェク、イジー(2002)。離散幾何学の講義。数学の大学院テキスト。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-95373-1。。
• R. ダニエル・モールディン編 (1981)。スコットランドの本: スコットランドカフェの数学 ( 1979 年 5 月、テキサス州デントンのノーステキサス州立大学で開催されたスコットランドの本会議で発表された論文を含む) 。マサチューセッツ州ボストン: バークハウザー。pp. xiii+268 pp. (2 図版) 。ISBN 3-7643-3045-7. MR  0666400。
• Nedevski, P.; Trojanski, S. (1973). 「P. Enflo は、すべての分離可能なバナッハ空間の基底の存在に関する負のバナッハ問題を解きました」。Fiz. -Mat. Spis. Bulgar. Akad. Nauk . 16 (49): 134–138. MR  0458132。
• ピエッチ、アルブレヒト (2007)。バナッハ空間と線型作用素の歴史。ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー・ボストン社。pp. xxiv+855 pp. ISBN 978-0-8176-4367-6MR  2300779 。
• ピシエ、ジル(1975)。「一様凸空間の値を持つマルチンゲール」。イスラエル 数学ジャーナル。20 (3–4): 326–350。doi : 10.1007 /BF02760337。MR 0394135。S2CID 120947324  。
• Heydar Radjavi & Peter Rosenthal (1982 年 3 月)。 「不変部分空間問題」。The Mathematical Intelligencer。4 ( 1): 33–37。doi : 10.1007/BF03022994。S2CID 122811130  。
• Karen Saxe、『Beginning Functional Analysis』、Undergraduate Texts in Mathematics、2002 Springer-Verlag、ニューヨーク。（122～123 ページに Per Enflo の略歴が記載されています。）
• Schmidt, Wolfgang M. (1980 [1996 若干の修正あり])ディオファントス近似。数学講義ノート 785。Springer。
• 歌手、イワン。バナッハ空間の拠点。 Ⅱ． Editura Academiei Republicii Socialiste România、ブカレスト。 Springer-Verlag、ベルリン - ニューヨーク、1981 年。viii+880 ページ 。ISBN 3-540-10394-5。MR 610799 
• Yadav, BS (2005). 「不変部分空間問題の現状と遺産」. Milan Journal of Mathematics . 73 : 289–316. doi :10.1007/s00032-005-0048-7. ISSN  1424-9286. MR  2175046. S2CID  121068326.

• カニシウス大学のペル・エンフロの経歴
• ケント州立大学の Per Enflo のホームページ
• Enflo, Per (2011 年 4 月 25 日). 「自分の言葉で綴る個人的なメモ」. perenflo.com. 2012 年 4 月 26 日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011 年12 月 13 日閲覧。

• 数学系譜プロジェクトのペル・エンフロ