ハールウェーブレット

数学において、ハール ウェーブレットは、再スケールされた「正方形」の関数のシーケンスであり、これらが一緒になってウェーブレットファミリまたは基底を形成します。ウェーブレット解析は、ある区間上のターゲット関数を正規直交基底で表すことができる点で、フーリエ解析に似ています。ハール シーケンスは現在、最初のウェーブレット基底として認識されており、教育の例として広く使用されています。

ハール数列は1909年にアルフレッド・ハールによって提案された。^{[1]ハールはこれらの関数を使用して、}単位区間[0, 1]上の2乗積分可能な関数 の空間に対する正規直交系の例を示した。ウェーブレットの研究、さらには「ウェーブレット」という用語が登場したのはずっと後のことである。ドーブシー・ウェーブレット の特殊なケースとして、ハール・ウェーブレットはDb1としても知られている。

Haarウェーブレットは、最も単純なウェーブレットでもあります。Haarウェーブレットの技術的な欠点は、連続していないため微分できないことです。ただし、この特性は、機械のツールの故障の監視など、突然の遷移を伴う信号（離散信号）の解析には有利です。 ^[2]

ハールウェーブレットのマザーウェーブレット関数は次のように記述できる。 ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

そのスケーリング関数は 次のように記述できる。 ${\displaystyle \varphi (t)}$

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

における整数の任意のペアn、kに対して、ハール関数ψ _{n、k は}実数直線上で次の式で 定義されます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}tk),\quad t\in \mathbb {R} .}$

この関数は右開区間 I _{n , k} = [ k 2 ^{− n} , ( k +1)2 ^{− n} )でサポートされており、つまり、その区間の外側ではゼロである。ヒルベルト空間L ² ( )では積分値が 0、ノルムが 1 である。  ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}$

ハール関数は対直交^{[壊れたアンカー]}であり、

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},}$

ここで、 はクロネッカーのデルタを表します。直交性の理由は次の通りです。2 つのサポート区間とが等しくない場合、それらは互いに素であるか、または 2 つのサポートのうち小さい方、たとえば が、関数が一定であるもう一方の区間の下半分または上半分に含まれています。この場合、これら 2 つのハール関数の積は最初のハール関数の倍数であるため、積の積は 0 になります。 ${\displaystyle \delta_{ij}}$${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$${\displaystyle I_{n_{2},k_{2}}}$${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$${\displaystyle \psi _{n_{2},k_{2}}}$

実数直線上のハール系は関数の集合 である

${\displaystyle \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.}$

これはL ² ( )上で完全である:直線上のハール系はL ² ( )上で正規直交基底である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Haar ウェーブレットには、いくつかの注目すべき特性があります。

この節では、単位区間[0, 1]と[0, 1]でサポートされるハール関数に限定して議論する。1910年にハールが考えた関数系^{[5]は、この論文では}[0, 1]上のハール系 と呼ばれ、次のように定義されるハールウェーブレットのサブセットから構成される。

${\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n,k\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},}$

[0, 1]上の定数関数1を追加します。

ヒルベルト空間の観点から見ると、[0, 1]上のこのハール系は、単位区間上の2乗可積分関数の空間L ^{2 ([0, 1])に対する完全な正規直交系、}すなわち正規直交基底である。

[0, 1]上のハール系（最初の要素として定数関数1を持ち、それに続いてハール関数が対（n、k）の辞書式順序に従って並べられる）は、 1 ≤ p < ∞のとき、空間L ^p ([0, 1])の単調シャウダー基底でもある。^[6] この基底は、 1 < p < ∞のとき無条件である。^[7]

関連するラデマッハ系はハール関数の和から成り、

${\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.}$

[0, 1) 上で| r _n ( t )| = 1 であることに注目してください。これは正規直交系ですが、完全ではありません。^{[8] [9]}確率論 の言語では、ラーデマッハ数列は平均 0 を持つ独立した ベルヌーイ 乱数列のインスタンスです。ヒンチンの不等式は、すべての空間L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞において、ラーデマッハ数列が ℓ ²の単位ベクトル基底と同等であるという事実を表現しています。^[10]特に、L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞におけるラーデマッハ数列の閉じた線形スパンはℓ ²と同型です。

ファーバー・シャウダー系^{[11] [12] [13]} は、[0, 1] 上の連続関数の族であり、定数関数 1と、[0, 1] 上のハール系の関数の不定積分の倍数から成り、最大ノルム 1 が最大ノルムとなるように選ばれている。この系はs ₀  =  1から始まり、次にs ₁ ( t ) = tは [0, 1] 上のハール系の最初の要素である関数 1の 0 でゼロになる不定積分である。次に、任意の整数n ≥ 0に対して、関数s _{n , k}が次式で定義される。

${\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.}$

これらの関数s _{n , k は}連続的で区分的に線形であり、 ψ _{n , k}もサポートする区間I _{n , k}によってサポートされます。関数s _{n , k は}、区間 I _{n , k}の中点x _{n , k}で 1 に等しく、その区間の両半分で線形です。どこでも 0 から 1 までの値を取ります。

ファーバー・シャウダー系は、[0, 1]上の連続関数の空間C ([0, 1])に対するシャウダー基底である。 ^[6] C ([0, 1])内の任意のf に対して 、部分和

${\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}$

ファバー・シャウダー系におけるfの級数展開の式は、 0 ≤ k ≤ 2 ⁿの2 ⁿ + 1点k 2 ^{− n}でfと一致する連続区分線形関数である 。次に、式

${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}}$

は、 fの展開を段階的に計算する方法を提供します。 f は一様連続なので、シーケンス { f _n } はfに一様収束します。したがって、fの Faber–Schauder 級数展開はC ([0, 1])で収束し、この級数の和は fに等しくなります。

フランクリン系は、グラム・シュミット正規直交化手順によってファーバー・シャウダー系から得られる。^{[14] [15]}フランクリン系はファーバー・シャウダー系と 同じ線形スパンを持つため、このスパンはC ([0, 1]) に稠密であり、したがってL ² ([0, 1]) にも稠密である。したがって、フランクリン系はL ² ([0, 1]) の正規直交基底であり、連続した区分線形関数からなる。 P. フランクリンは 1928 年に、この系がC ([0, 1]) のシャウダー基底であることを証明した。^{[16]フランクリン系は、} 1 < p < ∞の場合、 空間L ^p ([0, 1])の無条件シャウダー基底でもある。^{[17]フランクリン系は、}円板代数A ( D ) のシャウダー基底を提供する。^[17] これは、円板代数の基底の存在が40年以上も未解明であった後、1974年にボチカレフによって証明されました。^[18]

ボチカレフによるA ( D )のシャウダー基底の構成は次のように行われる。f を[0,π]上の複素数値リプシッツ関数とする。f は絶対和可能な係数 を持つ余弦級数の和である。T ( f )を同じ係数を持つ 複素冪級数で定義されるA(D)の元とする。

${\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.}$

A ( D )の Bočkarev の基底は、[0, π] 上のフランクリン系の関数の Tによる像によって形成されます 。 Bočkarev のマッピングTの同等の記述は、 f を[−π, π] 上の偶リプシッツ関数 g ₁に拡張することから始まります。これは単位円 T上のリプシッツ関数と同一視されます。次に、g _{2 を}g ₁の 共役関数とし、T ( f ) をA ( D ) 内の関数として 定義し、 Dの 境界T上の値がg ₁ + i g ₂に等しいものと してください。

1周期連続関数、またはむしろf (0) = f (1)となる [0, 1] 上の連続関数fを扱う場合、関数s ₁ ( t ) = t をFaber–Schauder 系から除去して、周期 Faber–Schauder 系を取得します。周期フランクリン系は、周期 Faber–-Schauder 系の正規直交化によって得られます。^{[19] Bočkarev の}A ( D ) に関する結果は、[0, 2π] 上の周期フランクリン系がA ( D )と同型なバナッハ空間A _rの基底であることを証明することによって証明できます。^[19] 空間A _{r は}、共役関数も連続である単位円T上の複素連続関数で構成されます。

ハールウェーブレットに関連する2×2ハール行列は

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

離散ウェーブレット変換を使用すると、任意の偶数長のシーケンスを2成分ベクトルのシーケンスに変換できます。各ベクトルを行列で右掛けすると、高速ハールウェーブレット変換の1段階の結果が得られます。通常、シーケンスsとdを分離し、シーケンスsの変換を続けます。シーケンスsは平均部分と呼ばれることが多く、dは詳細部分として知られています。^[20]${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$${\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$

長さが4の倍数であるシーケンスがある場合、4つの要素のブロックを構築し、同様の方法で4×4ハール行列に変換することができます。

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}$

高速 Haar ウェーブレット変換の 2 つの段階を組み合わせたものです。

非局所的な 1/–1 行列である Walsh 行列と比較します。

一般に、2N×2N ハール行列は次の式で導出できます。

${\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}$

ここで、 およびはクロネッカー積です。${\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \otimes }$

のクロネッカー積は、m×n行列、p×q行列の場合、次のように表される。 ${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$

正規化されていない8点ハール行列を以下に示す。 ${\displaystyle H_{8}}$

${\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.}$

上記の行列は正規化されていない Haar 行列であることに注意してください。Haar 変換に必要な Haar 行列は正規化する必要があります。

ハール行列の定義から、フーリエ変換とは異なり、実数要素（1、-1、または0）のみを持ち、非対称である ことがわかります。${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

8点ハール行列を例に挙げてみましょう。1行目は平均値を測定し、2行目は入力ベクトルの低周波成分を測定します。次の2行はそれぞれ入力ベクトルの前半と後半に敏感で、中周波成分に対応しています。残りの4行は入力ベクトルの4番目の部分に敏感で、高周波成分に対応しています。^[21]${\displaystyle H_{8}}$${\displaystyle H_{8}}$${\displaystyle H_{8}}$

ハール変換はウェーブレット変換の中で最も単純なものである。この変換は、フーリエ変換が2つの位相と多くの伸縮を持つ正弦波に対して関数を乗算するのと同様に、さまざまなシフトと伸縮を持つハールウェーブレットに対して関数を乗算する。^{[22] [説明が必要]}

ハール変換は、ハンガリーの数学者アルフレッド・ハールによって 1910 年に提案された最も古い変換関数の 1 つです。信号の局所的な側面を分析するためのシンプルで計算効率の高いアプローチを提供するため、電気工学やコンピューター工学における信号や画像の圧縮などのアプリケーションで効果的であることがわかっています。

Haar 変換は Haar 行列から派生します。4×4 Haar 変換行列の例を以下に示します。

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

Haar 変換は、変換行列の行がだんだん細かい解像度のサンプルとして機能するサンプリング プロセスと考えることができます。

同じく 1/–1 ですが非局所化されている Walsh 変換と比較してください。

ハール変換には以下の性質がある。

1. 乗算は必要ありません。加算のみが必要で、ハール行列にはゼロ値の要素が多数あるため、計算時間は短くなります。行列が +1 と -1 で構成されるウォルシュ変換よりも高速です。
2. 入力と出力の長さは同じです。ただし、長さは 2 の累乗、つまり である必要があります。${\displaystyle N=2^{k},k\in \mathbb {N} }$
3. 信号の局所的な特徴を分析するために使用できます。Haar 関数の直交特性により、入力信号の周波数成分を分析できます。

n入力関数x _nのハール変換y _nは

${\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}$

Haar 変換行列は実数かつ直交です。したがって、逆 Haar 変換は次の式で導出できます。

${\displaystyle H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I}$

ここで、は単位行列である。例えば、n = 4のとき${\displaystyle I}$

${\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

したがって、逆ハール変換は

${\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}$

4点信号のハール変換係数は次のように求められる。 ${\displaystyle x_{4}=[1,2,3,4]^{T}}$

${\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

入力信号は逆ハール変換によって完全に再構成できる。

${\displaystyle {\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}$

• 次元削減
• ウォルシュ行列
• ウォルシュ変換
• ウェーブレット
• チプレット
• 信号
• ハールのような特徴
• ストロンバーグウェーブレット
• 二項変換

• Haar、Alfréd (1910)、「Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme」、Mathematische Annalen、69 (3): 331–371、doi :10.1007/BF01456326、hdl : 2027/uc1.b2619563、S2CID  120024038
• チャールズ・K・チュイ『ウェーブレット入門』（1992年）、アカデミック・プレス、サンディエゴ、ISBN 0-585-47090-1 
• ハールの重要な論文の英訳: [1]

ウィキメディア・コモンズには、ハールウェーブレットに関連するメディアがあります。

• 「ハール系」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 無料の Haar ウェーブレット フィルタリング実装とインタラクティブ デモ
• 無料の Haar ウェーブレットノイズ除去と非可逆信号圧縮

• キングズベリー、ニック。「ハール変換」。2006年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• Eck, David (2006 年 1 月 31 日)。「Haar 変換デモ アプレット」。
• Ames, Greg (2002 年 12 月 7 日)。「画像圧縮」(PDF) 。2011 年 1 月 25 日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
• Aaron, Anne; Hill, Michael; Srivatsa, Anand. 「MOSMAT 500. フォトモザイク ジェネレーター。2. 理論」。2008 年 3 月 18 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• Wang, Ruye (2008 年 12 月 4 日). 「Haar 変換」. 2012 年 8 月 21 日時点のオリジナルよりアーカイブ。