ベール関数

数学において、ベール関数は、関数の列の点ごとの極限を形成する操作を超限反復することによって連続関数から得られる関数です。これらは、1899 年にルネ ルイ ベールによって導入されました。ベール集合は、特性関数がベール関数で ある集合です。

任意の可算順序数αに対して、 αクラスのベール関数は、次のように位相空間上で定義された実数値関数のベクトル空間を形成する。^[1]

• Baire クラス 0 関数は連続関数です。
• Baire クラス 1 関数は、 Baire クラス 0 関数のシーケンスの点ごとの極限となる関数です。
• 一般に、ベール類 α 関数は、α 未満のベール類関数の列の点ごとの極限となるすべての関数です。

一部の著者は、クラス α の関数から α 未満のクラスのすべての関数を削除することによって、クラスをわずかに異なる方法で定義します。これは、各 Baire 関数には明確に定義されたクラスがあるが、特定のクラスの関数はもはやベクトル空間を形成しないことを意味します。

アンリ・ルベーグは、（単位区間上の関数について）可算順序数の各ベール類にはそれより小さい類に属さない関数が含まれ、どのベール類にも属さない関数が存在することを証明しました。

例:

• 微分可能関数の導関数はクラス 1 です。微分可能関数の導関数が連続していない ( x  = 0 で)例としては、 x ≠ 0のときはに等しく 、x  = 0 のときは 0 になる関数が挙げられます。類似の関数の無限和 (有理数でスケールおよび変位) は、稠密な集合上で導関数が不連続になる微分可能関数を生成することさえあります。ただし、この関数には必ず連続点があり、これは Baire の特性定理 (以下、K  =  X  =  Rと仮定) から簡単にわかります。${\displaystyle x^{2}\sin(1/x)}$
• 整数の集合の特性関数。xが整数の場合は 1 、それ以外の場合は 0 になります。(大きな不連続点が無数にあります。)
• トーマエ関数は、無理数 xに対して 0、有理数p / q (簡約形式) に対して1/ qです。(不連続点の稠密な集合、つまり有理数の集合。)
• カントール集合の特性関数。xがカントール集合に含まれる場合は1、含まれない場合は 0 になります。この関数は、 x値の非可算集合の場合は 0、非可算集合の場合は 1 になります。1 の場合は不連続、0 の場合は連続です。連続関数 で近似されます。ここで、はカントール集合内の最も近い点からの x の距離です。${\displaystyle g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})}$${\displaystyle d(x,C)}$

ベールの特徴づけ定理は、バナッハ空間X上で定義された実数値関数fがベール 1 関数であるためには、Xのすべての空でない閉部分集合Kに対して、fのKへの制限がKの位相に対して連続点を持つ必要があることを述べています。

Baireの別の定理によれば、すべてのBaire-1関数に対して連続点はコメア Gδ集合_である（Kechris 1995、定理（24.14））。

区間 [0,1] 上のクラス 1 ではない Baire クラス 2 関数の例としては、有理数の特性関数 が挙げられます。これは、どこでも不連続であるディリクレ関数としても知られています。 ${\displaystyle \chi _{\mathbb {Q}}}$

• ベールセット
• どこでも連続しない関数

• ベア、ルネ＝ルイ (1899)。 Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.) (フランス語)。エコール・ノルマル・シュペリウール。
• ベール、ルネ＝ルイ (1905 年)、Leçons sur les fonctions の廃止、professées au collège de France (フランス語)、Gauthier-Villars
• ケクリス、アレクサンダー S. (1995)、「古典的記述集合論」、Graduate Texts in Mathematics、第 156 巻、Springer-Verlag、ISBN 978-1-4612-8692-9

• Springer Encyclopaedia of Mathematics の Baire クラスに関する記事