Fスペース

関数解析学において、F空間は、実数または複素数上のベクトル空間 であり、次のような計量を伴う。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. におけるスカラー乗法はに関して連続であり、 の標準計量はまたは${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$
2. における加算は、${\displaystyle X}$${\displaystyle d.}$
3. この計量は並進不変である。つまり、すべての${\displaystyle d(x+a,y+a)=d(x,y)}$${\displaystyle x,y,a\in X.}$
4. 距離空間は完全です。${\displaystyle (X,d)}$

この演算はF ノルムと呼ばれますが、一般に F ノルムは同次である必要はありません。平行移動不変性により、計量は F ノルムから復元できます。したがって、実数または複素数の F 空間は、完全な F ノルムを備えた実数または複素数のベクトル空間と同等です。 ${\displaystyle x\mapsto \|x\|:=d(0,x)}$

一部の著者はF 空間ではなくフレシェ空間という用語を使用していますが、通常、「フレシェ空間」という用語は局所凸F 空間に使用されます。他の一部の著者は、「F 空間」という用語を「フレシェ空間」の同義語として使用し、局所凸完全距離化可能な位相ベクトル空間を意味します。距離は、F 空間上の構造の一部である場合もそうでない場合もあります。多くの著者は、そのような空間が上記の性質を満たす方法で 距離化可能であることのみを要求します。

すべてのバナッハ空間とフレシェ空間はF空間である。特に、バナッハ空間はF空間であるが、さらに次の要件も満たしている。^[1]${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$

L ^p空間は、すべてに対して F 空間にすることができ、に対しては局所的に凸にすることができ、したがってフレシェ空間やバナッハ空間にさえすることができます。 ${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$は F 空間です。連続半ノルムや連続線型関数は存在せず、自明な双対空間を持ちます。

を単位円上の複素数値テイラー級数全体の空間とし、に対して はpノルムの下でF空間となるものとする。 ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {D} }$$${\displaystyle \sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}}$$${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$$

実際、は準バナッハ代数である。さらに、写像を持つ任意のものに対して、写像は有界線型（乗法関数）である。${\displaystyle W_{p}}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$${\displaystyle f\mapsto f(\zeta )}$${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$

開写像定理は、と を両方とも完全距離化可能な位相ベクトル空間（たとえば、バナッハ空間 またはフレシェ空間）にする 上の位相がある場合、および一方の位相が他方よりも細かいか粗い場合、それらは等しくなければならない（つまり、 の場合）ことを意味します。^[4]${\displaystyle \tau {\text{ と }}\tau _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ または }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ の場合 }}\tau =\tau _{2}}$

• グラフが閉じているF空間への線型ほぼ連続写像は連続である。^[5]
• グラフが閉じているF空間への線型ほぼ開写像は必然的に開写像となる。^[5]
• F空間からの線型連続ほぼ開写像は必然的に開写像となる。^[6]
• F空間からの線型連続ほぼ開写像であって、その像が共役域の第2カテゴリに属する​​ものは、必然的に射影 開写像となる。^[5]

• バナッハ空間 – 完全なノルムベクトル空間
• バレル空間 – 位相ベクトル空間の種類リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 可算準バレル空間
• 完全な計量空間 – 計量幾何学
• 完全な位相ベクトル空間 - 互いに徐々に近づく点が常に一点に収束するTVS
• DF空間 – 特殊局所凸空間のクラスフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• フレシェ空間 – 局所凸位相ベクトル空間であり、完全な計量空間でもある
• ヒルベルト空間 – 位相ベクトル空間の一種
• K空間（機能解析）
• LBスペース
• LF空間 – 位相ベクトル空間
• 距離化可能な位相ベクトル空間 – 距離によって位相を定義できる位相ベクトル空間
• 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化
• 射影テンソル積 – 2つの位相ベクトル空間上で定義されるテンソル積フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978)。位相的および順序付きベクトル空間におけるバレル性。数学講義ノート。第692巻。ベルリン、ニューヨーク、ハイデルベルク：Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Khaleelulla , SM (1982)。位相ベクトル空間における反例。数学講義ノート。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
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