これは、 数学 における 算術とディオファントス幾何学の用語集です。この分野は、伝統的な ディオファントス 方程式の研究から発展し、 数論 と 代数幾何学 の大部分を網羅しています 。理論の多くは、提案された 予想 の形をとっており、さまざまな一般性レベルで関連付けることができます。
ディオファントス 幾何学は一般に、 素体 上（特に 数体 と 有限体を含む）および 局所体 上で 有限生成される体 K 上の 代数多様体 V の研究です。これらのうち、 複素数のみが 代数的に閉じてい ます。 他の任意の K上で、 K 内の座標を持つ V の点の存在は、 V の幾何学を知っていても、追加のトピックとして証明および研究されるべきものです 。
数論幾何学は、 より一般的には、 整数環の スペクトル 上 の有限型の スキーム の研究として定義されます。 [1]数論幾何学は、代数幾何学の手法を 数論 の問題に適用したものとしても定義されています 。 [2]
数論 用語集も参照してください 。
あ ABC予想 Masser と Oesterlé の abc 予想は、方程式 a + b = c 内の繰り返される素因数について、可能な限り多くのことを述べようとします 。たとえば、3 + 125 = 128 ですが、ここでの素数累乗は例外です。 アラケロフ級群 アラケロフ 類群は、 アラケロフ因子 に対する イデアル類群 または 因子類群 の類似体である 。 [3] アラケロフの除数 大域体上のアラケロフ因子 （ または 完全因子 [4] ）は、 因子 または 分数イデアル の概念の拡張である。これは、 有限位 が整数係数を持ち、 無限位 が実数係数を持つ 体の 位 の形式的な線型結合である。 [3] [5] [6] アラケロフの高さ 代数的数体上の射影空間上の アラケロフ高さは 、 アルキメデス体 上の フビニ・スタディ計量と 非アルキメデス体 上の通常の計量 からの局所的寄与を伴う大域的 高さ関数 である。 [7] [8] アラケロフ理論 アラケロフ理論 は、「無限素数」を明示的に含めた算術幾何学へのアプローチです。 アーベル多様体の算術 アーベル多様体の算術に関する 主要記事を参照 アルティンL関数 アルティン L 関数は、非常に一般的な ガロア表現 に対して定義されます。1960 年代に エタール コホモロジー が導入されたことで、 ハッセ - ヴェイユ L 関数は、 l 進コホモロジー 群上のガロア表現に対するアルティン L 関数とみなせるようになりました 。
B
悪い削減 良い削減を 参照してください 。 バーチとスウィナートン・ダイアーの予想 楕円曲線 に関する バーチ とスウィナートン・ダイアー予想は、 楕円曲線の階数 とそのハッセ・ヴェイルL関数の極の位数との間に関係があることを仮定する 。この予想は1960年代半ばからディオファントス幾何学における重要なランドマークとなっており、 コーツ・ワイルズの定理 、 グロス・ザギエの定理 、 コリヴァギンの定理 などの結果が出ている。 [9]
Ｃ 標準高さ アーベル多様体 上の標準高さは、特別な 二次形式 である高さ関数です 。 ネロン・テイト高さ を参照してください。 シャボーティ法 p 進解析関数に基づく Chabauty 法は 特殊な応用であるが、ヤコビアン の階数がその次元より小さい曲線に対する Mordell 予想 のケースを証明できる。これは、 代数的トーラスに対する Thoralf Skolem 法のアイデアを発展させたもの である。(ディオファントス問題に対する他の古い方法としては、 Runge 法が ある。) コーツ・ワイルズの定理 コーツ ・ワイルズの定理は、 クラス数 1 で正の ランクを持つ 虚数二次体 による 複素乗算 を伴う 楕円曲線は、 s = 1で零点を持つ L関数 を持つこと を述べています。これは バーチとスウィナートン・ダイアーの予想 の特別な場合です 。 [10] 結晶コホモロジー 結晶コホモロジーは、 特性 p における p 進コホモロジー理論であり 、この場合 mod p 係数を使用する際に不十分な エタールコホモロジー の空白を埋めるために アレクサンダー・グロタンディークによって導入されました。これは、 ドワークの方法 から何らかの形で派生した数多くの理論の 1 つであり 、純粋に算術的な問題以外にも応用されています。
だ 対角線形状 対角形式は、 算術の観点から研究する最も単純な 射影多様体 の一部です（ フェルマー多様体 を含む）。それらの 局所ゼータ関数は、 ヤコビ和 によって計算されます 。 ワーリングの問題 は最も古典的なケースです。 ディオファントス次元 体のディオファントス次元とは、体が存在する場合の最小の自然数 k であり 、 体 C k クラス、すなわち 、 N 変数の次数 d の同次多項式は、 N > d k のときは必ず非自明な零点を持つ 。 代数的に閉じた体は ディオファントス次元 0 であり、 準代数的に閉じた体 は次元 1 である。 [11] 点の判別式 点の判別式は 、 数体 K 上に定義された代数多様体 V上の点 P に関する 2 つの関連概念 、すなわち、 幾何的 (対数的) 判別式 [12] d ( P ) と、 Vojta によって定義された 算術的判別式 を指します。 [13]この 2 つの違いは、 特異曲線 の 算術種数 と 非特異化 の 幾何学的 種数の違いに例えることができます 。 [13] 算術種数は幾何学的種数よりも大きく、点の高さは算術種数によって制限される場合があります。幾何学的種数を含む同様の制限を得ることは、重要な結果をもたらすでしょう。 [13] ドワーク法 バーナード・ドゥワークは、 p進解析 、p進代数 的微分方程式 、 コシュル複体 などの独特な手法や、 結晶コホモロジー などの一般理論にすべて取り入れられていないその他の技術を使用しました。彼は 、局所ゼータ関数の 合理性を 初めて証明し、 ヴェイユ予想 の方向への最初の前進となりました。
え エタールコホモロジー ヴェイユコホモロジー (参照) の探索は、アレクサンダー・グロタンディーク と マイケル・アルティン の エタールコホモロジー 理論によって少なくとも部分的に達成されました。これは、 局所ゼータ関数 の 関数方程式 の証明を提供し 、テイト予想 (参照) やその他の多くの理論の定式化の基礎となりました。
ふ ファルティングスの高さ 数体上で定義された楕円曲線またはアーベル多様体のファル ティングス高さは、 ファルティングスが モーデル予想 の証明で 導入した複雑さの尺度である 。 [14] [15] フェルマーの最終定理 ディオファントス幾何学の最も有名な予想である フェルマーの最終定理は、 アンドリュー・ワイルズ と リチャード・テイラー によって証明されました。 平坦コホモロジー 平坦コホモロジー は、グロタンディークの学派にとって、発展の終着点の 1 つです。平坦コホモロジーは、計算が非常に難しいという欠点があります。 平坦トポロジーが スキーム理論 の 「正しい」基礎 トポスであると考えられてきた理由は、 忠実平坦降下 という事実、つまり、 表現可能な関数 がそれに対する層である (つまり、非常に一般的な 接着公理 が成り立つ)というグロタンディークの発見に遡ります 。 機能フィールドの類推 19 世紀に、 数体の 整数環は 、数体の「無限の場所」に対応する 1 点以上を除いた代数曲線またはコンパクト リーマン面のアフィン 座標環と類似していることが認識されました。このアイデアは、 グローバル フィールドは すべて同じ基準で扱われるべきであるという理論に、より正確にコード化されています。このアイデアはさらに進んでいます。したがって、複素数上の 楕円面 も、数体上の 楕円曲線 と非常に厳密な類似点を持っています。
グ 幾何学的類体理論 アーベル被覆に関する 類体理論 スタイルの結果を 少なくとも 2 次元の多様体へ 拡張することは、しばしば幾何 学的 類体理論と呼ばれます。 良い削減 算術問題における 局所解析 の基本は、 すべての素数 p 、 またはより一般的には 素イデアル を 法 として簡約する ことです。一般的な状況では、これは ほとんどすべての p に対してほとんど困難をもたらしません。たとえば、分数の 分母は 扱いにくく、分母の素数を 法として簡約すると 0 による除算 のように見えますが、それによって分数ごとに有限個の p しか排除されません。もう少し高度な処理を加えると、同次 座標系 では、共通のスカラーを乗じて分母をクリアできます。与えられた単一の点に対してこれを行うことができ、共通因数 p を 残さずに済みます。ただし、 特異点理論が 登場します。 非特異点は、 p を 法として簡約すると 特異点 になることがあります。これは、線形項が 0 に簡約されると ザリスキ接線空間が 大きくなる可能性があるためです (幾何学的定式化により、これは単一の座標セットのせいではないことが示されています)。 良い縮小 とは、縮小された多様体が元の多様体と同じ性質を持つこと、たとえば 代数曲線が 同じ 種数 を持つことや、 滑らかな多様体が 滑らかなままであることを指す。一般に、与えられた多様体 Vに対して、滑らかであると仮定すると、素数の有限集合 S が存在し 、そうでなければ Z / p Z 上の滑らかな縮小された V p が存在する。 アーベル多様体の場合、良い縮小は ネロン・オッグ・シャファレヴィッチの基準 によって 分割点 の体における 分岐 と結び付けられる 。この理論は微妙で、変数を変更して状況を改善しようとする自由度はかなり自明ではない。 ネロンモデル 、 潜在的な良い縮小 、 テイト曲線 、 半安定アーベル多様体 、 半安定楕円曲線 、 セール・テイトの定理 を参照のこと。 [16] グロタンディーク・カッツ予想 グロタン ディーク・カッツのp曲率予想は、 素数を法とする 簡約を代数微分方程式に適用して、 代数関数の 解に関する情報を導き出す 。このタイプの最初の結果は アイゼンシュタインの定理 であった。
H ハッセ原理 ハッセ 原理は、 大域体 に対する可解性は、関連するすべての 局所体 に対する可解性と同じである と述べている。ディオファントス幾何学の主な目的の 1 つは、ハッセ原理が成り立つケースを分類することである。一般的に、それは方程式の次数が固定された状態で、変数の数が多い場合である。ハッセ原理は、 ハーディ–リトルウッド円法 の成功とよく関連付けられている。円法が機能する場合、解の漸近数などの追加の定量的情報を提供できる。変数の数を減らすと、円法は難しくなるため、たとえば変数の数が少ない 3 次形式 (特に 3 次曲線 としての楕円 曲線 ) に対するハッセ原理の失敗は、一般的なレベルでは解析的アプローチの限界に関連している。 ハッセ・ヴェイルL関数 ハッセ ・ヴェイユの L 関数は 、局所ゼータ関数から形成される オイラー積であり、 大域 L 関数とも呼ばれます。このような L 関数 の特性は、主に推測の領域に留まっていますが、 谷山・志村予想 の証明は 画期的なものでした。 ラングランズの哲学は 、大域 L 関数の理論を補完するものです。 高さ関数 ディオファントス幾何学における高さ関数 は 、ディオファントス方程式の解の大きさを定量化する。 [17] ヒルベルト体 ヒルベルト体 K とは、 K 上の 射影空間が ジャン＝ピエール・セール の意味で 薄い集合 ではない 体である 。これは、 有理数がヒルベルト体であることを示す ヒルベルトの既約定理の幾何学的解釈である。結果は 逆ガロア問題 に適用される。薄い集合 (フランス語では mince ) は、ある意味では ベールのカテゴリ定理の 薄い集合 (フランス語では maigre )に類似している 。
私 いぐさゼータ関数 井草 ゼータ関数は、 井草純一 にちなんで名付けられた 、 固定された素数pの高次累乗 pn を 法とする代数多様体上の点の数を数える 生成 関数である。現在では、 数理論理学 の手法を利用した 一般 合理性定理 が知られている。 [18] 無限降下 無限降下法は、 ピエール・ド・フェルマー のディオファントス方程式に対する古典的な方法で ある。これは、モーデル・ヴェイユの定理の標準的な証明の半分となり、もう半分は高さ関数 (参照) による議論となった。降下法は、 主同次空間 のグループ(方程式で記述される場合は「降下」と呼ばれることが多い) における 2 による除算のようなものです。より現代的な用語では、 有限であることが証明される ガロア コホモロジーグループにおける除算です。 セルマー グループを 参照してください。 岩沢理論 岩澤理論は、 解析的整数論 と スティッケルバーガーの 定理から、 ガロア加群 と p 進 L 関数 ( ベルヌーイ数 上の クンマー合同 に根を持つ)としての イデアル類群 の理論として構築される 。 1960 年代後半の初期の頃には、 ヤコビアン の 岩澤 類似体と呼ばれていた。 類似性は、 有限体 F (ピカール多様 体として ) 上の曲線 Cの ヤコビ多様体 J であり、有限体に 1 の根 が追加されて有限体拡大 F ′ が作成されます。 C の局所ゼータ関数 (参照) は、 ガロア加群としての 点 J ( F ′ ) から復元できます。同様に、岩澤は、彼の類似例として、 p を 固定し n → ∞としたときの p の n 乗の単位根を数体 K に加え、類群の 逆極限を考慮し、久保田とレオポルドによって以前に導入された p 進 L 関数を 発見しました。
け K理論 代数的 K 理論は 、一方では 抽象代数学的 特徴を持つ非常に一般的な理論であり、他方では算術予想のいくつかの定式化に関係しています。たとえば、 バーチ・テイト予想 、 リヒテンバウム予想 を参照してください。
ら ラング予想 エンリコ・ボンビエリ （次元2）、 セルジュ・ラング と ポール・ヴォイタ （積分点の場合）、ピオトル・ブラスは、 一般型の代数多様体は、 K が有限生成体であるとして、 K 有理点 の ザリスキ稠密 部分集合を持たないと予想した。この考え方の輪には、 解析的双曲性 の理解とそれに関するラング予想、およびヴォイタ予想が含まれる。 複素数上の 解析的双曲型代数多様体 Vとは、 複素平面 全体からそれへの 正則写像が 存在しない、定数ではないものである。例としては、種数 g > 1の コンパクトなリーマン面が挙げられる。ラングは、 V が解析的双曲型であるためには、すべての部分多様体が一般型である必要があると予想した 。 [19] 線形トーラス 線型トーラス は 、アフィントーラス（乗法群の積）の幾何学的に既約なザリスキ閉部分群である。 [20] 局所ゼータ関数 局所 ゼータ関数は、 有限体 F 上の代数多様体 V 上の点の数を 生成する関数 であり、 F の 有限 体拡大 上に存在する。ヴェイユ予想（参照）によれば、これらの関数は、 非特異多様体に対して、 リーマン予想 を含む リーマンゼータ関数 と非常に類似した特性を示す 。
ま マニン・マンフォード予想 ミシェル・レイノー によって証明されたマニン・マンフォード予想は、 曲線 C の ヤコビ 多様体 J には 、 C = Jでない限り、 J において有限の位数を持つ点が有限個しか含まれないというものである 。 [21] [22] モーデル予想 モーデル 予想は 現在では ファルティングスの定理と 呼ばれ、種数が 2 以上の曲線には有限個の有理点しかないことを述べています。 一様性予想は 、そのような点の数には一様の上限があり、それは種数と定義体にのみ依存するはずであることを述べています。 モーデル・ラング予想 モーデル・ラング予想は、ローラン、 レイノー 、ヒンドリー、 ヴォイタ 、 ファルティングス の研究に続いて マックィランによって証明されたが、 ラング がモーデル予想と マニン・マンフォード予想を アーベル多様体 または 半アーベル多様 体で統合した 予想である 。 [23] [24] モーデル・ヴェイユの定理 モーデル ・ヴェイユの定理は、 数体 K 上のアーベル多様体 A に対して、群 A ( K ) は 有限生成アーベル群 であるという基本的な結果です。これは最初は数体 K に対して証明されましたが、すべての有限生成体に拡張されます。 モルデリック種 モルデリック多様体 は 、任意の有限生成体において有限個の点のみを持つ代数多様体である。 [25]
いいえ ナイーブな高さ 有理数ベクトルの素朴な高さまたは古典的な高さは、最小公分母を乗じて得られる互いに素な整数ベクトルの最大絶対値です 。 これ は、 Q 上の射影空間の点の高さ 、または係数のベクトルとみなされる多項式の高さ、または代数的数の高さを、その最小多項式の高さから定義するために使用できます。 [26] ネロンのシンボル ネロン 記号は、 アーベル多様体 上の約数と 代数サイクル の二重乗法ペアであり 、ネロンが ネロン-テイト高さ を局所寄与の合計として定式化する際に使用されます。 [27] [28] [29] 局所記号の合計であるグローバルネロン記号は、高さペアの負数です。 [30] ネロン・テイトの高さ アーベル多様体 A 上のネロン ・テイト高さ（ 標準高さ とも呼ばれる ）は 、本質的に内在的な高さ関数（参照）であり、高さの一般理論で提供される A 上の加法に関する近似二次形式ではなく、正確な 二次形式で ある。これは、一般の高さから極限過程によって定義することができ、局所的寄与の合計であるという意味で公式も存在する。 [30] ネヴァンリンナ不変量 正規 射影多様体 X 上の 十分な因子 D の ネヴァンリンナ 不変量 は、因子によって定義される埋め込みに関して多様体上の有理点の数の増加率を記述する実数である。 [31]これは 高さゼータ関数 の収束の横座標と同様の形式的性質を持ち 、本質的に同じであると推測される。 [32]
お 通常の削減 次元d の アーベル多様体 A が素数 pで 通常の簡約を 持つとは、 p で 良好な簡約 を持ち 、さらに p-捩れが d 階数を持つことを意味する 。 [33]
質問 準代数的閉包 準代数的閉包 、すなわち方程式の次数における多項式の変数の数によって保証される可解性 の話題は、 ブラウアー群 と シュヴァレー・ワーニング定理の研究から生まれました。 反例 に直面して行き詰まりました が、 数理論理学 からの アックス・コッヘン定理を 参照してください。
R 素数またはイデアルを法 とする 縮約 良い削減を 参照してください 。 理想に満ち溢れる 数体 K の完全 イデアルは、 K の 分数イデアルと、 K の無限の位でインデックス付けされた要素を持つ正の実数のベクトルとの 形式的な積である 。 [34] 完全 因子は アラケロフ因子 である 。 [4]
S 佐藤・テイト予想 佐藤 -テイト予想は、与えられた楕円 曲線 を有理数体上に簡約して得られる 有限体 上の楕円曲線 の テイト加群 における フロベニウス元 の分布を記述するものである。 佐藤幹夫 と ジョン・テイト [35]はそれぞれ独立に1960年頃にこれを提案した。これは一般的な ガロア表現 の原型である 。 スコーレム法 Chabauty法を 参照してください 。 スペシャルセット 代数多様体における特殊集合 と は、多くの有理点が見つかると期待される部分集合である。正確な定義は文脈によって異なる。1つの定義は、 非自明な有理写像の下での代数群の像の和集合の ザリスキ閉包である。あるいは、アーベル多様体の像をとることもできる。 [36] 別の定義は、一般型ではないすべての部分多様体の和集合である。 [19] アーベル多様体の場合、定義は、適切なアーベル部分多様体のすべての変換の和集合となる。 [37] 複素多様体の場合、 正則特殊集合は、 C のすべての非定数正則写像の像のザリスキ閉包である 。ラングは、解析的特殊集合と代数的特殊集合は等しいと予想した。 [38] 部分空間定理 シュミットの 部分空間定理は、 射影空間内の高さの小さい点は有限個の超平面上に存在することを示している。すべての解を含む部分空間の数を求める定理の定量的形式もシュミットによって得られ、この定理はシュリケヴァイ (1977) によって一般化され、 数体 上のより一般的な 絶対値が可能になった。この定理は、 積分点に関するシーゲルの定理や S 単位方程式 の解 など、 ディオファントス方程式 の結果を得るために使用できる 。 [39]
T 玉川番号 直接的な 玉川数定義は 線型代数群 に対してのみ有効である 。そこでは 玉川数に関するヴェイユ予想 が最終的に証明された。アーベル多様体、特にバーチ・スウィナートン・ダイアー予想 (参照) に対しては、玉川数による 局所-大域原理 へのアプローチは直接的な試みでは失敗するが、長年にわたって経験的価値を持っていた。現在、洗練された 同変玉川数予想は 主要な研究課題となっている。 テイト予想 テイト 予想 （ ジョン・テイト 、1963年）は 、やはり 代数的サイクルに関する ホッジ予想の類似物であるが、数論幾何学の範囲内にある。また、 楕円曲面 に関して、バーチ・スウィナートン・ダイアー予想（参照）の類似物も与え 、バーチ・スウィナートン・ダイアー予想の明確化とその重要性の認識に急速につながった。 テート曲線 テイト 曲線は、ジョン・テイトが悪い還元を研究するために導入した p 進数 上の特定の楕円曲線です ( 良い還元を 参照)。 ツェンランク 体の ツェン階数は 、 1936 年に研究を発表した CC ツェンにちなんで名付けられ、 [40] 、体 T i クラスとなる 最小の自然数 i である。つまり、 n 変数で次数 d j の定数項を持たない多項式系は、 n > Σ d j i のときは必ず非自明な零点を持つ。代数的に閉じた体はツェン階数が零である。ツェン階数は ディオファントス 次元以上であるが 、階数が零の場合を除いて等しいかどうかは分かっていない。 [41]
あなた 均一性仮説 一様性予想は、 任意の数体 K と g >2に対して、種数 g の任意の曲線上の K 有理点の数に 一様境界 B ( g , K )が存在することを述べている。この予想は ボンビエリ・ラング予想 から導かれる 。 [42] あり得ない交差点 あり得ない交差 とは、 モーデル・ラング予想 に関係するような、異常に大きな次元を持つ集合内のトーラスまたはアーベル多様体の部分多様体と交差する代数的部分群のことである 。 [43]
五 ヴォイタ予想 ヴォイタ 予想は、 ディオファントス近似 と ネヴァンリンナ理論 との類似点を指摘する、 ポール・ヴォイタ による一連の予想である 。
わ 重量 重みのヨガは、 アレクサンダー・グロタンディークによる ホッジ理論 と l進コホモロジー 間の類似性の定式化である 。 [44] ヴェイユコホモロジー ヴェイユ予想 (参照) を証明するための当初のアイデアは、後に多少修正されたもので、 有限体 上の代数多様体に適用する コホモロジー理論 を構築するというものだった。このコホモロジー理論は、位相構造の検出において 特異点ホモロジー と同等に優れ、かつ、 フロベニウス写像が レフシェッツの不動点定理を 局所ゼータ関数 の数え上げに適用できるよう に機能する。その後の歴史については、 動機 (代数幾何学) 、 動機コホモロジーを 参照 。 ヴェイユ予想 ヴェイユ 予想は、 1949年頃に公表された、局所ゼータ関数に関する アンドレ・ヴェイユ の3つの非常に影響力のある予想である。証明は1973年に完了した。証明されたものには、初等的方法から導かれる シュヴァレー・ワーニング定理 の合同性の拡張と、1940年のヴェイユの基本定理から導かれるものよりも点の数の曲線のより良い推定値など、ヴェイユ境界の改良が残っている。後者は代数幾何 学コード にとって興味深いものであることが判明した。 代数多様体上のヴェイユ超関数 アンドレ・ヴェイユは、1920 年代から 1930 年代にかけて、代数多様体上の点の座標における代数的数の素イデアル 分解に関する理論を提唱しました 。この理論は、いまだに十分には発展していません。 ワイル関数 代数多様体上のヴェイユ 関数は、ある カルティエ因子 から定義される実数値関数であり、 アラケロフ理論 における グリーン関数 の概念を一般化したものである 。 [45]それらは ネロン・テイト高さ の局所成分の構築に用いられる 。 [46] ワイル高さ測定機 ヴェイユの 高さマシンは 、数体上の滑らかな射影多様体上の任意の因子（または 滑らかでない多様体上の カルティエ因子）に高さ関数を割り当てるための効果的な手順である。 [47]
参照
参考文献
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さらに読む ディノ・ロレンツィーニ（1996）『算術幾何学への招待』AMS書店、 ISBN 978-0-8218-0267-0
