ねじれ（代数）

数学、特に環論において、ねじれ元とは、環の非ゼロ因子を掛けるとゼロになる加群の元である。加群のねじれ部分加群は、ねじれ元によって形成される部分加群である（環が可換である場合など、これが実際に部分加群である場合）。ねじれ加群は、完全にねじれ元からなる加群である。加群のねじれ元がゼロ元のみである場合、 加群はねじれがない。

この用語は、ドメイン上のモジュール、つまり、環の正規元がすべて非ゼロ元である場合 によく使用されます。

この用語はアーベル群に適用されます(「モジュール」と「サブモジュール」は「グループ」と「サブグループ」に置き換えられます)。これは、アーベル群が整数の環上のモジュールであるという事実によって可能になります(実際、これが用語の起源であり、モジュールに一般化される前にアーベル群に対して導入されました)。

非可換な群の場合、捩れ元は有限位数の元です。可換な場合とは対照的に、一般に捩れ元は部分群を形成しません。

環R上の加群Mの元m は、環の正則元r (左零因子でも右零因子でもない元)が存在し、それがm を消滅させる、すなわちr m = 0であるとき、加群の捩れ元と呼ばれる。整域(零因子のない可換環) では、すべての非零元は正則であるため、整域上の加群の捩れ元は、整域の非零元によって消滅される元である。一部の著者はこれを捩れ元の定義として使用しているが、この定義はより一般的な環ではうまく機能しない。  

環R上の加群Mは、そのすべての元が捩れ元であるとき捩れ元と呼ばれ、捩れ元が 0 のみであるとき捩れなしと^{呼ばれる。 [1]}環Rが可換である場合、すべての捩れ元の集合はMのサブ加群を形成し、これはMの捩れサブ加群と呼ばれ、T( M ) と表記されることもある。 Rが可換でない場合、 T( M ) はサブ加群である場合もそうでない場合もある。(Lam 2007) では、 Rが右Ore 環であるための必要十分条件は、すべての右R加群に対してT( M ) がMのサブ加群である場合であることが示される。右Noether 整域はOre であるため、これはRが右Noether整域(可換でない可能性がある) である場合をカバーしている。

より一般的には、M を環R上の加群とし、S をRの乗法的に閉じた部分集合とする。 Mの元m は、 Sに元s が存在してs がm を消滅させる、すなわちs m = 0 となるとき、S -ねじれ元と呼ばれる。特に、S を環Rの正則元の集合としてとり、上記の定義を復元することができる。  

群Gの元gは、有限位数を持つ場合、すなわち、正の整数mが存在してg ^m = eとなる場合、群の捩れ元と呼ばれます。ここで、 eは群の単位元、g ^{m は}gのm個のコピーの積を表します。群は、そのすべての元が捩れ元であり、 唯一の捩れ元が単位元である場合、捩れのない群である。任意のアーベル群はZ上の加群として見ることができ、この場合、捩れの 2 つの概念は一致する。

1. M を任意の環R上の自由加群とする。すると、定義からM は捩れなしであることが直ちにわかる（環Rが定義域でない場合、捩れはRの非零因子の集合Sに関して考慮される）。特に、任意の自由アーベル群は捩れなしであり、体K上の任意のベクトル空間はK上の加群として見た場合、捩れなしである。
2. 例 1 とは対照的に、任意の有限群(アーベル群または非アーベル群) は周期的であり、有限生成です。逆に、バーンサイドの問題は、有限生成周期群は有限でなければならないかどうかを尋ねます。周期が固定されている場合でも、答えは一般に「いいえ」です。
3. 体の乗法群の捩れ元はその体の単位根です。
4. 単位行列式を持つ2×2 整数行列の群 SL(2, Z ) から中心を因数分解して得られるモジュラー群Γにおいて、任意の非自明なねじれ元は、位数が 2 で元Sと共役であるか、位数が 3 で元STと共役であるかのいずれかです。この場合、ねじれ元は部分群 (たとえば、無限位数を持つS  ·  ST = T ) を形成しません。
5. 1 を法とする有理数からなるアーベル群Q / Zは周期的、つまりすべての要素が有限の位数を持ちます。同様に、 1 変数の多項式環R  =  K [ t ]上の加群K ( t )/ K [ t ]は純粋な捩れです。これらの例は両方とも次のように一般化できます。Rが整域でQ がその分数体である場合、Q / Rは捩れR加群です。
6. ( R / Z , +)の捩れ部分群は( Q / Z , +) ですが、群 ( R , +) と ( Z , +) は捩れがありません。捩れのないアーベル群を部分群で割った商は、部分群が純粋部分群のときにのみ捩れがありません。
7. 体K上の有限次元ベクトル空間Vに作用する線型作用素 L を考えます。自然な方法でV をK [ L ] 加群と見なすと、(単に有限次元であることやケイリー・ハミルトン定理の結果としてなど、多くの要因の結果として) V は捩れK [ L ] 加群になります。

R が（可換な）主イデアル領域で、M が有限生成R加群であるとする。主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理は、同型性までの加群Mの詳細な記述を与える。特に、次のことを主張する。

${\displaystyle M\simeq F\oplus \mathrm {T} (M),}$

ここで、F は有限階数の自由R加群（ Mのみに依存）であり、 T( M ) はMの捩れ部分加群である。系として、 R上の任意の有限生成捩れ自由加群は自由である。この系は、より一般的な可換領域、例えば 2 変数の多項式環であるR  =  K [ x , y ]に対しても成り立たない。有限生成でない加群に対しては、上記の直接分解は真ではない。アーベル群の捩れ部分群は、その 直和でない可能性がある。

Rが可換領域で、M がR加群であるとする。Qを環Rの分数体とする。すると、 Q加群 を考えることができる。

${\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q,}$

はスカラーの拡張によってMから得られる。Qは体なので、Q上の加群はベクトル空間であり、無限次元である可能性もある。MからM Qへのアーベル群の標準準同型が存在し、この準同型の核はまさに捩れ部分加群 T( M ) である。より一般的には、S が環Rの乗法的に_閉じた部分集合である場合、 R加群Mの局所化を考えることができる。

${\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}$

これは局所化 R _S上の加群です。 MからM _Sへの標準写像が存在し、その核はまさにMのS -捩れ部分加群です。したがって、 Mの捩れ部分加群は、 「局所化で消える」要素の集合として解釈できます。同じ解釈は、オーレ条件を満たす環の非可換設定、またはより一般的には任意の右分母集合Sと右R -加群Mに対しても保持されます。

捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たしている。MとN が可換領域R上の 2 つの加群である場合(たとえば、R  =  Zのときの 2 つのアーベル群)、Tor 関数はR加群の族Tor _i ( M、N ) を生成する。R加群MのS捩れは、 Tor ^R _*の完全列によってTor ^R ₁ ( M、  R _S / R )と標準同型である。R加群の短完全列は完全列 を生成するため、Mの局所写像の核となる。関数を表す記号Tor は、代数的捩れとのこの関係を反映している。 集合Sが右分母集合である限り、この同じ結果が非可換環に対しても成立する。 ${\displaystyle 0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0}$${\displaystyle 0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)}$

アーベル多様体のねじれ元は、ねじれ点、または古い用語では除算点です。楕円曲線では、それらは除算多項式で計算できます。

• 解析的ねじれ
• 算術ダイナミクス
• フラットモジュール
• アナイアレイター（リング理論）
• モジュールのローカライズ
• アーベル群のランク
• レイ・シンガーねじれ
• ねじれのないアーベル群
• 普遍係数定理

• エルンスト・クンツ、「可換代数と代数幾何学入門」、ビルクハウザー 1985、 ISBN  0-8176-3065-1
• アーヴィング・カプランスキー、「無限アーベル群」、ミシガン大学、1954年。
• ミヒール・ハゼウィンケル(2001) [1994]、「ねじれ部分モジュール」、数学百科事典、EMS プレス
• ラム、ツィット・ユエン（2007）、モジュールとリングの演習、数学の問題集、ニューヨーク：シュプリンガー、pp. xviii+412、doi：10.1007/978-0-387-48899-8、ISBN 978-0-387-98850-4、MR  2278849
• ローマン、スティーブン（2008）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、シュプリンガー、p. 446、ISBN 978-0-387-72828-5。