ファルティングスの定理

ファルティングスの定理

ゲルト・ファルティングス
分野	算術幾何学
推測	ルイス・モーデル
推測では	1922
最初の証明	ゲルト・ファルティングス
最初の証明	1983
一般化	ボンビエリ・ラング予想 モーデル・ラング予想
結果	積分点に関するシーゲルの定理

ファルティングスの定理は数論幾何学における結果であり、有理数体上の種数が1より大きい曲線には有限個の有理点しかないというものである。これは1922年にルイス・モーデルによって予想され、^{[1] 1983年に}ゲルト・ファルティングスによって証明されるまでモーデル予想として知られていた。^{[2]この予想は後に を任意の}数体 に置き換えることで一般化された。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

を 上の種数の非特異代数曲線とします。このとき、 上の有理点の集合は次のように決定されます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle C}$

• のとき、点は存在しないか、無限に存在します。このような場合、 は円錐曲線として扱うことができます。${\displaystyle g=0}$${\displaystyle C}$
• のとき、点が存在する場合、 は楕円曲線であり、その有理点は有限生成アーベル群 を形成します。(これはモーデルの定理であり、後にモーデル・ヴェイユの定理に一般化されました。) さらに、マズールの捩れ定理は捩れ部分群の構造を制限します。${\displaystyle g=1}$${\displaystyle C}$
• のとき、ファルティングスの定理によれば、有理点は有限個しかありません。${\displaystyle g>1}$${\displaystyle C}$

イゴール・シャファレヴィッチは、固定された有限集合の外部で良好な簡約を持つ固定数体上の固定次元と固定分極度のアーベル多様体の同型類は有限個しか存在しないと予想した。^[3]アレクセイ・パルシンは、現在パルシンのトリックと呼ばれているものを用いて、シャファレヴィッチの有限性予想がモーデル予想を意味することを示した。^[4]

ゲルト・ファルティングスは、テイト予想の既知の帰着と、ネロン模型の理論を含む代数幾何学の道具を使って、シャファレヴィッチの有限性予想を証明した。^{[5]ファルティングスの証明の主なアイデアは、}ジーゲル・モジュラー多様体を介してファルティングス高さと素朴高さを比較することである。^[a]

• ポール・ヴォイタはディオファントス近似に基づいた証明を与えた。^[6] エンリコ・ボンビエリはヴォイタの証明のより初歩的な変種を発見した。^[7]
• ブライアン・ローレンスとアクシャイ・ベンカテシュはp進ホッジ理論に基づいた証明を与え、ファルティングスの元の証明のより簡単な要素もいくつか借用した。^[8]

ファルティングスの 1983 年の論文は、それまで推測されていたいくつかの記述を結果としてもたらした。

• 数体上の種数が 1 より大きい曲線には有限個の有理点しかないというモーデル予想。
• 同型テイト加群（ガロア作用を持つ -加群など）を持つアーベル多様体は同型であるという同種定理。${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell}}$

ファルティングスの定理の適用例は、フェルマーの最終定理の弱い形式です。つまり、任意の固定値に対して、フェルマー曲線の種数が 1 より大きい ため、には最大で有限個の原始整数解 (互いに素なペアの解)が存在します。${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

モーデル・ヴェイユの定理により、ファルティングスの定理は、曲線とアーベル多様体の有限生成部分群の交差についての命題として再定式化できます。 を半アーベル多様体、の任意の部分多様体、の任意の有限階数部分群に置き換えて一般化すると、モーデル・ラング予想が導かれます。これは、ローラン、レイノー、ヒンドリー、ヴォイタ、ファルティングスの研究に続いて、1995年にマクキラン^[9]によって証明されました。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle A}$

ファルティングスの定理の別の高次元一般化は、が数体 上の擬似標準多様体（つまり、一般型の多様体）である場合、 はにおいてザリスキ稠密ではないというボンビエリ・ラング予想である。さらに一般的な予想は、ポール・ヴォイタによって提唱されている。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle X}$

関数体に対するモーデル予想は、ユーリ・イワノビッチ・マニン^[10]とハンス・グラウアート^[11]によって証明された。1990年にロバート・F・コールマンはマニンの証明の欠陥を発見し修正した。^[12]