リーマン面

数学、特に複素解析において、リーマン面は連結された 1 次元複素多様体です。これらの面はベルンハルト リーマンによって初めて研究され、彼にちなんで名付けられました。リーマン面は複素平面の変形バージョンと考えることができます。つまり、あらゆる点の近くでは複素平面のパッチのように見えますが、全体的なトポロジーはまったく異なる場合があります。たとえば、球やトーラス、または複数のシートが接着された ように見える場合があります。

リーマン面の例には、√zやlog( z )などの多価関数のグラフ（例えば、 w = log( z )となる( z , w ) ∈C2^のペアの部分集合）が含まれます。

すべてのリーマン面は面、すなわち2次元実多様体ですが、より多くの構造（具体的には複素構造）を含んでいます。逆に、2次元実多様体は、向き付け可能かつ距離化可能である場合に限り、リーマン面に変換できます（通常はいくつかの同値でない方法で） 。これを考慮すると、球面とトーラスは複素構造を許容しますが、メビウスの帯、クラインの壺、および実射影平面は許容しません。すべてのコンパクトリーマン面は、チョウの定理とリーマン-ロッホの定理により、複素代数曲線になります。

リーマン面には同等の定義がいくつかあります。

1. リーマン面X は、複素次元が1 である連結 複素多様体です。これは、X が連結ハウスドルフ空間であり、複素平面の開単位円板へのチャートのアトラスを備えていることを意味します。つまり、すべての点x ∈ Xに対して、複素平面の開単位円板に同相なxの近傍が存在し、 2 つの重なり合うチャート間の遷移マップは正則である必要があります。^[1]
2. リーマン面は、 （実）次元 2 の有向多様体（ 2 面）と共形構造です。ここでも、多様体とは、Xの任意の点xにおいて、空間が実平面のサブセットに同相であることを意味します。補足の「リーマン」は、Xに、多様体上で角度測定を可能にする追加の構造、つまり、いわゆるリーマン計量の同値類が備わっていることを意味します。このような 2 つの計量は、測定する角度が同じである場合に同等とみなされます。 X上の計量の同値類を選択することは、共形構造の追加データです。

複素構造は、複素平面上で与えられた標準ユークリッド計量を選択し、チャートを用いてそれをXに移すことによって、共形構造を生み出す。共形構造が複素構造を決定することを示すことはより困難である。^[2]

• 
  f ( z ) =アークサインz
• 
  f ( z ) = log z
• 
  ｆ（z）＝z1 ^/2
• 
  ｆ（z）＝z1 ^/3
• 
  ｆ（z）＝z1 ^/4

複素多様体間の任意の写像と同様に、2 つのリーマン面MとN の間の関数 f  : M → Nは、 Mのアトラス内のすべての図gとNのアトラス内のすべての図hに対して、マップh ∘ f ∘ g ^{−1 が}どこで定義されていても正則 ( C から C への関数として)である場合に正則と呼ばれます。2 つの正則マップの合成は正則です。2 つのリーマン面MとN は、 MからNへの全単射正則関数が存在し、その逆も正則である場合に双正則(または共形観点を強調するために共形同値) と呼ばれます(後者の条件は自動的なので省略できます)。2 つの共形同値なリーマン面は、すべての実用的な目的で同一です。

各リーマン面は複素多様体なので、実多様体として向き付けることができます。遷移関数h = f ( g ⁻¹ ( z ))を持つ複素チャートfとgの場合、h はR ²の開集合からR ²への写像と見なすことができます。この場合、点zにおけるヤコビアンは、複素数h ′( z )による乗算で与えられる実線型写像です。ただし、複素数αによる乗算の実行列式は| α | ^{2に等しいため、} hのヤコビアンは正の行列式を持ちます。したがって、複素アトラスは向き付けアトラスです。

すべての非コンパクトなリーマン面は、非定数正則関数（Cの値を持つ）を許容します。実際、すべての非コンパクトなリーマン面はシュタイン多様体です。

対照的に、コンパクトなリーマン面X上では、最大値原理により、Cに値を持つすべての正則関数は定数です。ただし、定数でない有理型関数（リーマン球面C ∪ {∞}に値を持つ正則関数）は常に存在します。より正確には、Xの関数体はC ( t )の有限拡大であり、1 つの変数の関数体です。つまり、任意の 2 つの有理型関数は代数的に従属しています。このステートメントは、より高次元に一般化されます。Siegel (1955) を参照してください。有理型関数は、リーマンシータ関数と面の アーベル–ヤコビ マップによって、かなり明示的に与えることができます。

すべてのコンパクトリーマン面は、何らかのCP ⁿに埋め込むことができるため、代数曲線です。これは、小平埋め込み定理と、任意の複素曲線上に正の直線束が存在するという事実から導かれます。^[3]

非定数有理型関数の存在は、任意のコンパクト リーマン面が射影多様体である、つまり射影空間内の多項式方程式で与えられることを示すために使用できます。実際には、すべてのコンパクト リーマン面は複素射影 3 次元空間に埋め込むことができることが示されます。これは驚くべき定理です。リーマン面は、局所的にパッチ チャートによって与えられます。1 つのグローバル条件、つまりコンパクト性が追加されると、面は必然的に代数的になります。リーマン面のこの特徴により、解析幾何学または代数幾何学のいずれかの手段を使用してリーマン面を研究できます。高次元オブジェクトに対する対応するステートメントは偽です。つまり、代数的ではないコンパクトな複素 2 次元多様体が存在します。一方、すべての射影複素多様体は必然的に代数的です。Chowの定理を参照してください。

例として、トーラスT  := C / ( Z + τ Z )を考えます。格子Z + τ Zに属するワイエルシュトラス関数℘ _τ ( z ) は、 T上の有理型関数です。この関数とその導関数 ℘ _τ ′( z ) は、 Tの関数体 を生成します。次の方程式があります。

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

ここで係数g ₂とg _{3 は}τに依存するため、代数幾何学の意味での楕円曲線E _{τ が得られます。これを逆にするには}j不変量 j ( E ) を使用します。これを使用してτ を決定し、トーラスを決定できます。

すべてのリーマン面の集合は、双曲面、放物面、楕円リーマン面の 3 つのサブセットに分けられます。幾何学的には、これらは負、ゼロ、または正の定断面曲率を持つ面に対応します。つまり、連結されたすべてのリーマン面X は、リーマン面としての構造によって決定されるリーマン計量の共形クラスに属する、定曲率が -1、0、または 1 である唯一の完全な2 次元実リーマン計量を許容します。これは、等温座標の存在の結果として見ることができます。

複素解析学の用語で言えば、ポアンカレ-ケーベの均一化定理（リーマン写像定理の一般化）は、すべての単連結リーマン面は次のいずれかと等角的に同値であると述べています。

• リーマン球面^Ｃ := C ∪ {∞} であり、これはP ¹ ( C )と同型である。
• 複素平面C ;
• 開円板D  := { z ∈ C  : | z | < 1}は上半平面H :  = { z ∈ C  : Im( z ) > 0}と同型です。

リーマン面は、その普遍被覆がP ¹ ( C )、C、またはDのいずれに同型であるかによって、楕円面、放物面、または双曲面になります。各クラスの要素は、より正確な記述が可能です。

リーマン球面P ¹ ( C ) は、自由かつ適切に不連続に双正則変換によって作用する群が 存在せず、したがって普遍被覆がP ¹ ( C )に同型である任意のリーマン面は、それ自体が P 1 ( C ) に同型でなければならないため、唯一の例です。

X が、その普遍被覆が複素平面Cに同型であるリーマン面である場合、それは次のいずれかの面と同型です。

• C自体;
• 商C / Z ;
• 商C / ( Z + τ Z )、ただしτ ∈ CかつIm( τ ) > 0。

位相的には、平面、円筒、トーラスの3 つのタイプしかありません。しかし、最初の 2 つのケースでは (放物線状の) リーマン面構造は一意ですが、3 番目のケースではパラメータτを変化させると非同型リーマン面が得られます。パラメータτによる記述により、「マークされた」リーマン面のタイヒミュラー空間が得られます(リーマン面構造に加えて、「マーク」の位相データが追加され、これはトーラスへの固定同相写像として見ることができます)。解析モジュライ空間(マークは忘れてください) を取得するには、タイヒミュラー空間をマッピング類群で割った商を取ります。この場合、それはモジュラー曲線です。

残りのケースでは、X は双曲リーマン面であり、上半平面をフックス群で割った商に同型です(これは、面のフックスモデルと呼ばれることもあります) 。Xの位相型は、トーラスと球を除く任意の向き付け可能な面になります。

特に興味深いのは、Xがコンパクトな場合です。その位相型は、種数 g ≥ 2で記述されます。そのタイヒミュラー空間とモジュライ空間は(6 g − 6次元です。有限型のリーマン面 (つまり、有限個の点を除いた閉曲面に同相) の同様の分類を与えることができます。ただし、一般に、無限位相型のリーマン面のモジュライ空間は大きすぎて、このような記述を許容しません。

幾何学的分類は、リウヴィルの定理と小ピカール定理に詳述されているように、リーマン面間の写像に反映されています。双曲面から放物面、さらに楕円面への写像は簡単ですが、楕円面から放物面、または放物面から双曲面への写像は非常に制約が厳しいです（実際、一般的には一定です！）。球面には平面に円板が含まれることがあります。Δ ⊂ C ⊂^Ｃしかし、球面から平面への正則写像はどれも定数であり、平面から単位円板への正則写像もどれも定数です (リウヴィルの定理)。さらに、平面から平面マイナス 2 点への正則写像もどれも定数です (小ピカールの定理)。

これらの記述は、リーマン球面の型を考慮することによって明確になる。^Ｃいくつかの穴があいている場合は、リーマン球面であり、楕円形です。穴が 1 つあり、これは無限遠に配置できるため、複素平面であり、放物線状です。穴が 2 つある場合は、穴があいた平面、または環状体や円筒であり、放物線状です。穴が 3 つ以上ある場合は、双曲面です (パンツを比較してください) 。指数写像 (完全で、無限遠に本質的な特異点があるため、無限遠では定義されず、ゼロと無限遠が失われます) を介して、1 つの穴から 2 つの穴に写像できますが、ゼロの穴から 1 つ以上の穴への写像、または 1 つまたは 2 つの穴から 3 つ以上の穴への写像はすべて定数です。

この流れを続けると、コンパクト リーマン面は、定数写像を除いて、より低い種数の面に写像できますが、より高い種数の面に写像することはできません。これは、正則写像と有理型写像が整数nに対して局所的にz ↦ z ⁿのように動作するため、非定数写像は分岐被覆写像であり、コンパクト リーマン面の場合、これらは代数位相幾何学のリーマン–フルヴィッツ公式によって制約され、空間の オイラー特性と分岐被覆が関連付けられるためです。

たとえば、双曲リーマン面は球面の 分岐被覆空間です (定数でない有理型関数を持ちます) が、球面は定数としてを除き、高種数の面を被覆したり、マッピングしたりしません。

均一化リーマン面の等長変換群（等角自己同型群と同義）はその幾何学を反映する：

• 種数0 – 球面の等長変換群は複素直線の射影変換のメビウス群である。
• 平面の等長変換群は無限大を固定した部分群であり、穴あき平面の等長変換群は無限大とゼロのみを含む集合を不変にする部分群である。つまり、両方を固定するか、それらを交換するかのいずれかである (1/ z )。
• 上半平面の等長変換群は実メビウス群であり、これは円板の自己同型群と共役である。
• 種数 1 - トーラスの等長変換群は一般に平行移動（アーベル多様体として）であるが、正方格子と六方格子は 90° と 60° の回転による追加の対称性を持つ。
• 種数g ≥ 2の場合、等長変換群は有限であり、フルヴィッツの自己同型定理により、位数は最大で84( g − 1)である。この制限を実現する曲面はフルヴィッツ面と呼ばれる。
• あらゆる有限群は、何らかのリーマン面の等長変換の完全な群として実現できることが知られています。^[4]
  • 種数 2 の場合、次数は48 のBolza 面によって最大化されます。
  • 種数3の場合、位数が最大になるのは位数168のクラインの四次曲面である。これは最初のフルヴィッツ面であり、その自己同型群は位数168の一意の単純群と同型である。この単純群は2番目に小さい非可換単純群である。この群はPSL(2, 7)とPSL(3, 2)の両方と同型である。
  • 種数 4 の場合、ブリング面は対称性の高い面です。
  • 種数7の場合、位数は504のマクビース面によって最大化されます。これは2番目のフルヴィッツ面であり、その自己同型群は4番目に小さい非可換単純群であるPSL(2, 8)と同型です。

上記の分類法は、幾何学者によって一般的に使用されています。複素解析者によって一般的に使用されるリーマン面の別の分類法があります。これは、「放物面」と「双曲面」に対して異なる定義を使用します。この代替分類法では、リーマン面は、その面上に非定数の負の分数調和関数がない場合には放物面と呼ばれ、そうでない場合は双曲面と呼ばれます。^{[5] [6]}このクラスの双曲面は、負の分数調和関数以外の関数空間が退化しているかどうかによってさらにサブクラスに細分化されます。たとえば、すべての有界正則関数が定数であるリーマン面、すべての有界調和関数が定数であるリーマン面、すべての正の調和関数が定数であるリーマン面などです。

混乱を避けるために、定曲率の測定基準に基づく分類を幾何学的分類、関数空間の退化に基づく分類を関数論的分類と呼びます。たとえば、「0 と 1 以外のすべての複素数」で構成されるリーマン面は、関数論的分類では放物面ですが、幾何学的分類では双曲面です。

• 子供の絵
• ケーラー多様体
• ローレンツ面
• マッピングクラスグループ
• セール双対性

• 分岐定理
• ハーヴィッツの自己同型定理
• リーマン面の恒等定理
• リーマン・ロッホの定理
• リーマン・フルヴィッツの公式

• 「リーマン面」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• McMullen, C. 「リーマン面の複素解析 数学 213b」(PDF)。ハーバード数学。ハーバード大学。