ヤコビ和

数学において、ヤコビ和はディリクレ指標で構成される指標和の一種である。簡単な例としては、素数pを法とするディリクレ指標χ、ψのヤコビ和J ( χ、ψ ) があり、これは次のように定義される。

${\displaystyle J(\chi ,\psi )=\sum \chi (a)\psi (1-a)\,,}$

ここで、総和はすべての剰余a = 2, 3, ..., p − 1 mod p ( aも1 − aも0 ではない) について行われます。ヤコビ和は、ベータ関数の有限体に対する類似物です。このような和は、19 世紀初頭にCGJ ヤコビによって円分割理論に関連して導入されました。ヤコビ和Jは、一般的にガウス和gのべき乗の積に因数分解できます。たとえば、指標χψが自明でない場合、

${\displaystyle J(\chi ,\psi )={\frac {g(\chi )g(\psi )}{g(\chi \psi )}}\,,}$

ガンマ関数によるベータ関数の公式に類似している。非自明なガウス和gの絶対値はp ^{1 ⁄ 2}であるため、指標χψ、χ、ψが非自明な場合、 J ( χ、ψ )の絶対値もp ^{1 ⁄ 2}となる。ヤコビ和Jは、非自明なガウス和gよりも小さい円分体に属する。たとえば、 J ( χ、ψ )の被和項にはp乗根は含まれず、 ( p − 1)乗根の円分体に属する値のみが含まれる。ガウス和と同様に、ヤコビ和もその円分体において既知の素イデアル分解を持つ。スティッケルベルガーの定理を参照。

χがルジャンドル記号の場合、

${\displaystyle J(\chi ,\chi )=-\chi (-1)=(-1)^{\frac {p+1}{2}}\,.}$

一般に、ヤコビ和の値は対角形式の局所ゼータ関数に関連して現れる。ルジャンドル記号に関する結果は、p個の要素からなる体上の射影直線である円錐曲線上の点の数を表す式p + 1に相当する。1949 年のAndré Weilの論文は、この主題を大きく復活させた。実際、 20 世紀後半のHasse-Davenport 関係を通じて、ガウス和のべき乗の形式的性質が再び注目されるようになった。

ワイル（1952）は、対角超曲面の局所ゼータ関数を一般的なヤコビ和を用いて記述できる可能性を指摘しただけでなく、ヤコビ和がヘッケ指標としての性質を持つことを示した。これは、アーベル多様体の複素乗法が確立されると重要になる。ここで問題となるヘッケ指標は、例えばフェルマー曲線のハッセ・ワイルL関数を表現するために必要なものと全く同じである。ワイルが未解決のまま残していたこれらの指標の正確な導手は、後の研究で決定された。

• Berndt, BC; Evans, RJ; Williams, KS (1998). Gauss and Jacobi Sums . Wiley. ISBN 978-0-471-12807-6。
• Lang, S. (1978).サイクロトミックフィールド. 大学院数学テキスト. 第 59巻. Springer Verlag. 第1章. ISBN 0-387-90307-0。
• Weil, André (1949). "有限体における方程式の解の数" . Bull. Amer. Math. Soc . 55 (5): 497– 508. doi : 10.1090/s0002-9904-1949-09219-4 .
• アンドレ・ヴェイユ(1952)。「ヤコビの合計はGrössencharaktere」。トランス。アメル。数学。社会。73 (3): 487–495。土井: 10.1090/s0002-9947-1952-0051263-0。