ローカル分析

代数幾何学および関連する数学の分野において、局所解析とは、まず各素数 p を基準にして問題を検討し、その後、各素数で得られた情報を「全体的」な図に統合しようとする手法です。これらは局所化アプローチの一種です。

群論

群論における局所解析は、有限群Gの構造について、Gの位数を割り切る各素数pについての重要な情報を含むシロー定理によって始まりました。この研究分野は、奇数位数の群は解けるというフェイト・トムソン定理から始まり、有限単純群の分類の探求の中で大きく発展しました。^[1]

数論

数論では、例えばp を法としてすべての素数pについてディオファントス方程式を調べ、解の制約条件を探すことができます。^[2]次のステップは素数冪を法として調べ、次にp 進体で解を探すことです。この種の局所解析は、必要な解の条件を提供します。局所解析 (および実数解が存在するという条件) が十分な条件も提供する場合には、ハッセ原理が成り立つと言われます。つまり、これが最良の状況です。これは2 次形式では成り立ちますが、一般には必ずしも成り立ちません (たとえば楕円曲線)。必要な追加条件を理解したいという観点は、たとえば3 次形式に対して非常に影響力がありました。

何らかの形の局所解析は、解析的数論におけるハーディ・リトルウッド円法の標準的な応用とアデール環の使用の両方の基礎となっており、これを数論全体の統一原理の 1 つにしています。

参照

参考文献

^ ソロモン、リチャード (2001)。「有限単純群の分類の簡潔な歴史」(PDF)。アメリカ数学会報。38 (3): 315–352。
^ コーエン、アンリ (2007)。数論：第 1 巻：ツールとディオファントス方程式。数学の大学院テキスト。シュプリンガー。pp. 4–5。ISBN 978-0-387-49922-2。

[1] ソロモン、リチャード (2001)。「有限単純群の分類の簡潔な歴史」(PDF)。アメリカ数学会報。38 (3): 315–352。

[2] コーエン、アンリ (2007)。数論：第 1 巻：ツールとディオファントス方程式。数学の大学院テキスト。シュプリンガー。pp. 4–5。ISBN 978-0-387-49922-2。