細字セット（Serre）

数学において、ジャン＝ピエール・セールにちなんで名付けられたセールの意味での薄い集合は、代数幾何学において、ある意味で「ありそうもない」と認められる操作によって、与えられた体K上に構築されるある種の部分集合である。基本的な操作は 2 つあり、真であるかどうかわからない多項式方程式を解くことと、K内で必ずしも因数分解しない多項式を解くことである。また、有限和をとることも許されている。

より正確には、V をK上の代数多様体とする（ここでの仮定は、Vは既約集合、準射影多様体、K は特性 0 を持つ）。タイプ I の薄い集合は、 V ( K ) のザリスキ稠密でない部分集合である。つまり、Vの次元であるdより低い次元の代数多様体の有限和である代数集合に含まれる。タイプ II の薄い集合は、代数射（本質的には多項式写像） φ を他のd次元代数多様体V ′ のK点に適用した像であり、本質的には次数e > 1の分岐被覆としてVに写像する。これをより技術的に言うと、タイプ II の薄い集合は、

φ( V ′( K )) は、

ここで、V ′ はVと同じ仮定を満たし、φ は幾何学者の観点からは一般に射影的である。したがって、 関数体のレベルでは、

[ K ( V ): K ( V ')] = e > 1。

Vの典型的な点vはφ( u )であり、 uはV ′に属しますが、 v がV ( K )に属することから、典型的にはuの座標はK上のe次方程式を解くことから得られるとしか結論づけられません。したがって、薄集合の理論の全体的な目的は、問題の可解性がまれなイベントであることを理解することです。これは、古典的なヒルベルトの既約定理をより幾何学的な用語で再定式化します。

一般に、薄集合は、タイプ I とタイプ II の薄集合の有限和集合の部分集合です。

薄いという用語が正当化されるのは、AがQ上の直線の薄い部分集合である場合、高さがH以下のAの点の数は≪Hであるという事実によってである。高さがH以下の整数点の数はであり、この結果は可能な限り最良である。^[1]${\displaystyle O\left({H^{1/2}}\right)}$

SDコーエンの成果は、大ふるい法に基づいており、この結果を拡張し、高さ関数で点を数え、強い意味で、薄い集合にはそれらの低い割合が含まれることを示している（これはセールのモルデル・ヴェイユ定理に関する講義で詳しく議論されている）。AをQ上のアフィンn空間の薄い集合とし、N（H ）をナイーブ高さが最大でHの整数点の数を表すものとする。すると^[2]

${\displaystyle N(H)=O\left({H^{n-1/2}\log H}\right).}$

K上のヒルベルト多様体 Vは、 V ( K ) が薄くない多様体です。これはVの双有理不変量です。^[3]ヒルベルト体 Kは、 K上の正の次元のヒルベルト多様体が存在する多様体です。^[3]この用語は 1962 年に Lang によって導入されました。^[4] Kがヒルベルト多様体で あれば、K上の射影直線はヒルベルト多様体であるため、これを定義としてとることができます。^{[5] [6]}

有理数体Qはヒルベルト的である。なぜならヒルベルトの既約定理の帰結としてQ上の射影直線はヒルベルト的であるからである。実際、ヒルベルトの既約定理により、任意の代数体もヒルベルト的である。^{[5] [7]} より一般的には、ヒルベルト体の有限次拡大はヒルベルト的であり^[8]、任意の有限生成無限体はヒルベルト的である。^[6]

ヒルベルト体の永続性基準についてはいくつかの結果がある。特に、ヒルベルト性は有限可分拡大^[9]とアーベル拡大の下で保存される。Nがヒルベルト体のガロア拡大である場合、N自体はヒルベルトである必要はないが、ヴァイサウアーの結果は、 Nの任意の適切な有限拡大はヒルベルトであると主張している。この方向での最も一般的な結果は、ハランのダイヤモンド定理である。これらの結果とその他の議論は、フリード・ジャーデンの「体の算術」に記載されている。

ヒルベルト的であることは代数的に閉じていることとは対極にある。例えば複素数はすべての集合が薄い。それらは他の局所体（実数、 p進数）とともにヒルベルト的ではない。^[5]

数体上の多様体VのWWA特性（弱い「弱い近似」、sic ）は、 Kの有限集合が与えられた有限集合を避ける場合の弱い近似（代数群における近似を参照）である。例えば、 K = Qの場合、 V（Q）は稠密である ことが求められる。

Π V ( Q _p )

素数pの有限集合上のすべての積に対して成り立つ。ただし、一度限りに与えられた集合 { p ₁ , ..., p _M } は含まれない。エケダールは、 Vに対して WWA が成り立つということは、 Vがヒルベルト的であることを意味することを証明した。 ^[10] 実際、コリオ＝テレーヌ予想は、任意の有理多様体に対して WWA が成り立つことを予想しており、これはより強い主張である。この予想は、逆ガロア問題に対する肯定的な答えを意味するだろう。^[10]

• フリード、マイケル D.ジャーデン、モーシェ (2008)。フィールド演算。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol. 11 (第 3 改訂版)。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001。
• ラング、セルジュ（1997）。『ディオファントス幾何学概論』Springer- Verlag。ISBN 3-540-61223-8.ZBL0869.11051  。​
• Serre, Jean-Pierre (1989)。Mordell -Weil の定理に関する講義。Aspects of Mathematics。第 E15 巻。Michel Waldschmidt の注釈から Martin Brown が翻訳および編集。Braunschweig など: Friedr. Vieweg & Sohn。Zbl 0676.14005  。
• セール、ジャン＝ピエール（1992）。ガロア理論の話題。数学研究ノート。第1巻。ジョーンズとバートレット。ISBN 0-86720-210-6.ZBL0746.12001  。​
• シンツェル、アンジェイ（2000）。「特に可約性を考慮した多項式」数学とその応用百科事典。第77巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-66225-7.ZBL0956.12001  。​