セルマーグループ

数論幾何学において、 セルマー群は、エルンスト・セイエルステッド・セルマー (1951)の研究にちなんでジョン・ウィリアム・スコット・カッセルス(1962) によって命名された、アーベル多様体の同型 から構成される群である。

アーベル多様体Aの同型 f  :  A  →  Bに関するセルマー群は、ガロアコホモロジーを用いて次のよう に定義できる。

${\displaystyle \operatorname {Sel} ^{(f)}(A/K)=\bigcap _{v}\ker(H^{1}(G_{K},\ker(f))\rightarrow H^ {1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\オペレーター名 {im} (\kappa _{v}))}$

ここで、A _v [ f ] はA _vのf捩れを表し、局所クンマー写像である。はと同型であることに注意する。幾何学的には、セルマー群の元から生じる主同次空間は、Kのすべての場所vに対してK _{v有理点を持つ。セルマー群は有限である。これは、}テイト-シャファレビッチ群のfによって殺される部分が、次の正確なシーケンスにより有限であることを意味する。${\displaystyle \kappa_{v}}$ ${\displaystyle B_{v}(K_{v})/f(A_{v}(K_{v}))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f] )}$${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\オペレーター名 {im} (\kappa _{v})}$${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})[f]}$

0 → B ( K )/ f ( A ( K )) → Sel ^(f) ( A / K ) → Ш( A / K )[ f ] → 0.

この正確な数列の真ん中にあるセルマー群は有限であり、効果的に計算可能です。これは、その部分群B ( K )/ f ( A ( K )) が有限であるという弱いモーデル・ヴェイユの定理を意味します。この部分群が効果的に計算できるかどうかについては、悪名高い問題があります。テイト・シャファレビッチ群のp成分が有限であるような素数pがある場合に、正しい答えで終了する計算手順があります。テイト・シャファレビッチ群は実際には有限であると推測されており、その場合、任意の素数pが機能します。ただし、テイト・シャファレビッチ群がすべての素数pに対して無限のp成分を持つ場合 (ありそうにありませんが) 、手順は決して終了しない可能性があります。

ラルフ・グリーンバーグ （1994）は、セルマー群の概念を、より一般的なp進ガロア表現と岩澤理論の文脈におけるモチーフのp進変化に一般化した。

より一般的には、有限ガロア加群M (同型核など) のセルマー群を、H ¹ ( G _{K v}、M )の特定の部分群内に像を持つH ¹ ( G _K、M ) の元として定義できます。

• カッセルズ、ジョン・ウィリアム・スコット(1962)、「種数 1 の曲線上の算術。III. テイト・シャファレヴィッチ群とセルマー群」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、12 : 259–296、doi :10.1112/plms/s3-12.1.259、ISSN  0024-6115、MR  0163913
• カッセルズ、ジョン・ウィリアム・スコット(1991)、「楕円曲線に関する講義」、ロンドン数学会学生テキスト、第 24 巻、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9781139172530、ISBN 978-0-521-41517-0、MR  1144763
• グリーンバーグ、ラルフ(1994)、「岩澤理論とモチーフの p 進変形」、セル、ジャン=ピエール、ヤンセン、ウーヴェ、クライマン、スティーブン L. (編)、モチーフ、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-1637-0、MR  1265554
• セルマー、エルンスト S. (1951)、「ディオファントス方程式ax ³  +  by ³  +  cz ³   = 0」、Acta Mathematica、85 : 203–362、doi : 10.1007/BF02395746、ISSN  0001-5962、MR  0041871

• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明