S単位

数学、特に代数的整数論の分野では、S単位は体整数環の単位の概念を一般化したものである。単位に対して成り立つ多くの結果は、S単位に対しても成り立つ。

K を整数環Rを持つ数体とする。SをRの素イデアルの有限集合とする。Kの要素xは、主分数イデアル( x ) がSの素数(正または負のべき乗)の積である場合に S 単位である。有理整数環Zについては、 S を素数の有限集合とし、 S単位を、分子と分母がSの素数のみで割り切れる有理数と定義することができる。

SユニットはRのユニットを含む乗法群を形成する。

ディリクレの単位定理はS単位に対して成り立ちます。S単位の群は有限生成であり、ランク（乗法的に独立な要素の最大数）はr + sに等しくなります。ここで、rは単位群のランク、s = | S |です。

S単位方程式はディオファントス方程式である

u + v = 1

uとv はKのS 単位(またはより一般的には、標数 0 の任意の体の乗法群の有限生成部分群の要素)に限定される。この方程式の解の数は有限である^{[ 1 ] 。}解は、超越数論で展開された対数の線形形式の評価を使用して効果的に決定される。さまざまなディオファントス方程式は、原理的には何らかの形式のS単位方程式に還元可能である。注目すべき例としては、楕円曲線上の整数点に関するシーゲルの定理、およびより一般的にはy ⁿ = f ( x )の形の超楕円曲線がある。

S単位方程式の計算ソルバーは、ソフトウェアSageMathで利用可能です。^{[ 2 ]}

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• ラング、セルジュ(1978)。楕円曲線: ディオファンティン分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  231.シュプリンガー・フェルラーグ128 ～ 153ページ。ISBN  3-540-08489-4。
• ラング、セルジュ（1986）。代数的整数論。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-94225-4。第5章
• Smart, Nigel (1998).ディオファントス方程式のアルゴリズム的解法. ロンドン数学会学生テキスト. 第 41巻.ケンブリッジ大学出版局.第9章. ISBN 0-521-64156-X。
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• ベイカー、アラン；ヴュストホルツ、ギスベルト（2007）。対数形式とディオファントス幾何学。新数学モノグラフ。第 9巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-88268-2。
• ボンビエリ、エンリコ；グブラー、ウォルター（2006）。ディオファントス幾何学における高さ。新数学モノグラフ。第 4巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .