小平ディメンション

代数幾何学において、小平次元 κ ( X ) は射影多様体Xの標準モデルの大きさを測定します。  

ソ連の数学者イーゴリ・シャファレヴィッチはセミナーで、κという表記法で曲面の重要な数値不変量を紹介した。^[1]日本の数学者飯高滋はそれを拡張し、高次元多様体に対する小平次元（正準次元という名前）を定義し、^[2]後に小平邦彦にちなんで小平次元と名付けた。^[3]

体上のn次元の滑らかな代数多様体Xの標準バンドルは、n形式 の線バンドルであり、

${\displaystyle \,\!K_{X}=\bigwedge^{n}\Omega _{X}^{1},}$

これはXのコタンジェントバンドルのn番目の外冪です。整数dに対して、K _Xのd番目のテンソル冪は再び線束です。d ≥ 0 に対して、大域切断のベクトル空間H ⁰ ( X , K _X ^d ) は、滑らかな射影多様体Xの双有理不変量であるという注目すべき特性を持ちます。つまり、このベクトル空間は、低次元部分集合の外側でXと同型である任意の滑らかな射影多様体の対応する空間と標準的に同一視されます。

d ≥ 0の場合、 Xのd番目の多種数は、 K _X ^dのグローバルセクションのベクトル空間の次元として定義されます。

${\displaystyle P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\dim H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

多種族は代数多様体の重要な双有理不変量である。特に、多様体が有理数でない（つまり、射影空間に対して双有理数でない）ことを証明する最も簡単な方法は、d > 0である多種族P _dがゼロでないことを示すことである。K X ^d_の切断空間がゼロでない場合、 Xから射影空間へ の自然な有理写像が存在する。

${\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P} ^{P_{d}-1},}$

d-標準写像と呼ばれる。多様体Xの標準環 R ( K _X )は次数付き環である。

${\displaystyle R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

幾何種数と算術種数も参照してください。

XのKodaira次元は、多種族P _{d が}すべてのd > 0に対してゼロである場合に と定義されます。それ以外の場合は、 P _d /d ^κが制限される最小の κ です。n次元多様体の Kodaira 次元は、 または 0 からnまでの範囲の整数です。 ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty}$

次の整数は、負でない場合、等しいです。参考文献としては、Lazarsfeld (2004)、定理 2.1.33 があります。

• Proj 構成 の次元は、 Xの双有理同値類のみに依存する、 Xの標準モデルと呼ばれる射影多様体です。(これは標準環が有限生成である場合にのみ定義され、これは特性0で真であり、一般に推測されます。)${\displaystyle \operatorname {Proj} R(K_{X})}$${\displaystyle R=R(K_{X})}$
• ある正の整数dのすべての正の倍数に対するd標準写像の像の次元。${\displaystyle d_{0}}$
• Rの分数体の超越次数から 1 を引いた値。つまり、t は代数的に独立した生成元の数です。${\displaystyle t-1}$
• 多属の成長率、つまり、が有界となる最小の数κです。Big O 表記法では、となる最小のκです。${\displaystyle P_{d}/d^{\kappa }}$${\displaystyle P_{d}=O(d^{\kappa })}$

これらの数の 1 つが未定義または負の場合、すべては負になります。この場合、小平次元は負または であると言われます。歴史的な参考文献の中には、これを −1 と定義しているものもありますが、その場合、式は常に成り立つとは限らず、飯高予想の記述はより複雑になります。たとえば、 の小平次元は、すべての多様体Xに対して です。 ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \kappa (X\times Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times X}$${\displaystyle -\infty}$

小平次元は、すべての代数多様体をいくつかのクラスに大まかに分類するのに役立ちます。

小平次元が低い多様体は特殊型とみなされ、一方、小平次元が最大となる多様体は一般型とされる。

幾何学的には、小平次元と曲率の間には非常に大まかな対応関係があります。負の小平次元は正の曲率に対応し、小平次元がゼロの場合は平坦度に対応し、最大の小平次元（一般型）は負の曲率に対応します。

低い小平次元の多様体の特殊性は、正の曲率を持つリーマン多様体の特殊性と類似しています（そして、一般型は非正の曲率の一般性に対応します）。特に、ピンチ断面曲率と正の曲率に関する古典的な定理を参照してください。

これらの記述は以下でさらに詳しく説明されます。

滑らかな射影曲線は、種数によって離散的に分類されます。種数は任意の自然数 g = 0, 1, ... です。

ここで「離散的に分類される」とは、与えられた種数に対して、その種の曲線の 既約なモジュライ空間が存在することを意味します。

曲線Xの小平次元は次のとおりです。

• κ = : 種数 0 (射影直線P ¹ ): K _{X は}有効ではなく、すべてのd > 0に対してP _d = 0です。${\displaystyle -\infty}$
• κ = 0: 種数 1 (楕円曲線): K _{X は}自明な束であり、すべてのd ≥ 0に対してP _d = 1です。
• κ = 1: 種数g ≥ 2: K _{X は}十分であり、すべてのd ≥ 2 に対してP _d = (2 d  − 1)( g  − 1) です  。

曲面（複素曲線は実次元が 2 なので実曲面）の均一化定理と比較してください。小平次元は正の曲率に対応し、小平次元 0 は平坦性に対応し、小平次元 1 は負の曲率に対応します。ほとんどの代数曲線は一般型であることに注意してください。曲線のモジュライ空間では、2 つの連結成分は一般型ではない曲線に対応しますが、他のすべての成分は一般型の曲線に対応します。さらに、種数 0 の曲線の空間は点であり、種数 1 の曲線の空間は（複素）次元 1 を持ち、種数g  ≥ 2 の曲線の空間は次元 3 g  − 3 を持ちます。 ${\displaystyle -\infty}$

エンリケス-コダイラ分類は代数曲面を、まずコダイラ次元で大まかに分類し、次に特定のコダイラ次元内でより細かく分類します。簡単な例をいくつか挙げると、積P 1 × X は任意の曲線 X に対してコダイラ次元を持ちます。^種数1の2つの曲線の積 (アーベル曲面) はコダイラ次元 0 を持ちます。種数 1 の曲線と種数 2 以上の曲線の積 (楕円曲面) はコダイラ次元 1 を持ちます。種数 2 以上の 2 つの曲線の積はコダイラ次元 2 を持ち、したがって一般型です。 ${\displaystyle -\infty}$

一般型の曲面Xの場合、 d ≥ 5であれば 、 d-標準写像の像はXに対して双有理的である 。

有理多様体（射影空間に対して双有理的な多様体）は小平次元 を持ちます。アーベル多様体（射影的なコンパクトな複素トーラス）は小平次元がゼロです。より一般的には、カラビ・ヤウ多様体（次元 1 では楕円曲線、次元 2 ではアーベル面、K3 面、および有限群によるそれらの多様体の商）は小平次元がゼロです（リッチ平坦計量を許容することに相当します）。 ${\displaystyle -\infty}$

有理曲線（ P ¹からの非定数写像）で覆われた特性 0 の任意の多様体は、単線多様体と呼ばれ、小平次元 −∞ を持ちます。逆に、極小モデル理論の主な予想（特に存在量予想）は、小平次元 −∞ のすべての多様体が単線多様体であることを意味します。この逆は、最大で次元 3 の多様体に対して知られています。

Siu (2002) は、すべての滑らかな複素射影多様体に対して、変形に対する多属の不変性を証明しました。特に、多様体の複素構造が連続的に変化しても、小平次元は変化しません。

正規射影多様体のファイバ化X → Y は連結されたファイバを持つ射影射を意味します。

一般型の3次元Xに対して、 d正準写像の像は、d≥61であればXに対して双有理的である。[ ^4]

一般型 Xの多様体は、最大小平次元 (小平次元はその次元に等しい) の 1 つです。

${\displaystyle \kappa (X)=\dim X.}$

同値な条件は、直線束が大きいこと、またはd が十分に大きい場合にd標準写像が一般に単射であること（つまり、その像への双有理写像であること）です。 ${\displaystyle K_{X}}$

たとえば、十分な標準バンドルを持つ多様体は一般型です。

ある意味では、ほとんどの代数多様体は一般型です。たとえば、n次元射影空間の次数dの滑らかな超曲面は、 の場合にのみ一般型です。その意味では、射影空間のほとんどの滑らかな超曲面は一般型です。 ${\displaystyle d>n+1}$

一般型の多様体は、曲面であっても、明示的に分類するには複雑すぎるように思われます。それでも、一般型の多様体に関する強力で肯定的な結果がいくつかあります。たとえば、Enrico Bombieri は1973 年に、一般型の任意の複素曲面のd標準写像は任意の に対して双有理的であることを示しました。より一般的には、Christopher HaconとJames McKernan、高山茂治、および辻一は 2006 年に、任意の正の整数nに対して、のときに一般型の任意の複素n次元多様体のd標準写像が双有理的になるような定数が存在することを示しました。 ${\displaystyle d\geq 5}$${\displaystyle c(n)}$${\displaystyle d\geq c(n)}$

一般型の多様な双有理自己同型群は有限である。

X を特性 0 の体上の非負の Kodaira 次元の多様体とし、BをXの標準モデル、B = Proj R ( X , K _X ) とします。 Bの次元はXの Kodaira 次元に等しい。自然な有理写像X – → Bがあり、 XとB を膨張させる ことによって得られる任意の射は、飯高ファイバ化と呼ばれます。極小モデルと存在比予想は、飯高ファイバ化の一般ファイバが、特に Kodaira 次元が 0 であるカラビ・ヤウ多様体になるように配置できることを意味します。さらに、 B上には有効Q因子 Δ （一意ではない）が存在し、対 ( B、Δ) はkltであり、K _B + Δ は十分であり、 X の標準環は、あるd > 0の倍数の次数で( B 、Δ) の標準環と同じである。 ^[5]この意味で、X は一般型の基底 ( B 、Δ)上の小平次元 0 の多様体の族に分解されます。 （多様体B自体は一般型である必要はないことに注意してください。たとえば、飯高ファイバがP ¹上の楕円ファイバである小平次元 1 の曲面があります。）

前述の予想を前提とすると、代数多様体の分類は、主に小平次元、0 および一般型の場合に縮小される。小平次元および 0 については、分類へのアプローチがいくつかある。極小モデルと存在比の予想は、小平次元のすべての多様体が単線 であることを意味し、また、特性 0 のすべての単線多様体はファノファイバー空間に対して双有理であることが知られている。極小モデルと存在比の予想は、小平次元 0 のすべての多様体が終端特異点を持つカラビ・ヤウ多様体 に対して双有理であることを意味する。 ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty}$

飯高予想は、ファイバの小平次元は少なくとも基底の小平次元と一般ファイバの小平次元の合計であると述べている。概要については、森 (1987) を参照。飯高予想は、 1970 年代と 1980 年代の極小モデル理論の発展に刺激を与えた。現在では多くの場合に知られており、極小モデル予想と存在比予想から一般的に導かれる。

中村と上野は、複素多様体に対する次の加法性公式を証明しました (上野 (1975))。基底空間が代数的である必要はありませんが、すべてのファイバーが同型であるという仮定は非常に特殊です。この仮定があっても、ファイバーがモイシェゾンでない場合は、公式が成立しないことがあります。

π: V → W をコンパクト複素多様体の解析ファイバー束とする。これはπが局所的に積であることを意味する（したがってすべてのファイバーは複素多様体として同型である）。ファイバーFがモイシェゾン多様体であると仮定する。すると

${\displaystyle \kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W).}$

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