投影的多様性

k を代数的に閉じた体とする。射影多様体の定義の基礎は射影空間である。$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$これは、異なるが同等な方法で定義することができる。

• 原点を通るすべての直線の集合として${\displaystyle k^{n+1}}$（つまり、すべての1次元ベクトル部分空間${\displaystyle k^{n+1}}$）
• タプルの集合として$\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}}$、 と${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$同値関係を法として、すべてがゼロではない$${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}$$いかなる場合でも${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$このようなタプルの同値類は、次のように表される。$${\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}].}$$この同値類は射影空間の一般点である。${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$これらは、その点の同次座標と呼ばれます。

射影多様体は、定義上、$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ここで、閉集合はザリスキ位相を指します。^{[ 2 ]}一般に、ザリスキ位相の閉部分集合は、同次多項式関数の有限集合の共通零点集合として定義されます。多項式が与えられた場合、${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$状態

${\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}$

任意の多項式には意味がなく、f が同次である場合、つまり、すべての単項式(その和がfである)の次数が同じである場合に限り意味があります。この場合、 が消滅します。

${\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}$

選択とは無関係です${\displaystyle \lambda \neq 0}$。

したがって、射影多様体は同次素イデアルIから生じる。${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$、そして設定

${\displaystyle X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ for all }}f\in I\right\}.}$

さらに、射影多様体Xは代数多様体であり、開アフィン部分多様体で覆われ、分離公理を満たします。したがって、Xの局所的な研究(例えば、特異点) はアフィン多様体の局所的な研究に帰着します。具体的な構造は次のとおりです。射影空間$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$標準的なオープンアフィンチャートでカバーされています

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},}$

これらはそれ自体が座標環を持つアフィンn空間である

${\displaystyle k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.}$

表記を簡略化するためにi = 0とし、上付き文字 (0) を省略します。${\displaystyle X\cap U_{0}}$は閉じた亜種である$\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$理想によって定義される${\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$によって生成されました

${\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}$

Iのすべてのfに対して。したがって、X は( n + 1) 個の開アフィンチャートで覆われた代数多様体である。${\displaystyle X\cap U_{i}}$。

Xはアフィン多様体の閉包であることに注意してください。${\displaystyle X\cap U_{0}}$で$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$逆に、ある閉じた（アフィン）多様体から出発すると$\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$Vの閉鎖$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$射影的変種はVの射影完了。${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$Vを定義すると、この閉包の定義イデアルは同次イデアル^{[ 3 ]}である。${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$によって生成されました

${\displaystyle x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}$

Iのすべてのfについて。

例えば、V が次のように与えられるアフィン曲線である場合、${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$アフィン平面において、射影平面におけるその射影完備化は次のように与えられる。${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

さまざまな応用では、射影多様体よりも一般的な代数幾何学的対象、すなわち射影スキームを考慮する必要があります。射影スキームへの第一歩は、射影空間にスキーム構造を与えることです。これは、射影空間を代数多様体として記述した上記の説明を洗練するものです。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$は、アフィンn空間k ⁿの ( n + 1) 個のコピーの和集合であるスキームです。より一般的に、^{[ 4 ]}環A上の射影空間は、アフィン スキームの和集合です。

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

このようにすると、変数は期待どおりに一致する。${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$代数的に閉じた体kの場合、射影空間は${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$一般的な意味で。

同等だが簡略化された構成は、環のスペクトルの類似物であるProj 構成によって与えられ、これは「Spec」と表記され、アフィン スキームを定義します。^{[ 5 ]}例えば、Aが環である場合、

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Rが商である場合${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$同次イデアルIによって、正準全射は閉じた埋め込みを誘導する

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.}$

射影多様体と比較すると、イデアルI が素イデアルであるという条件は削除された。これにより、位相空間は、より柔軟な概念へとつながる。${\displaystyle X=\operatorname {Proj} R}$複数の既約成分を持つ可能性がある。さらに、 X上には冪零関数が存在する可能性がある。

閉じたサブスキーム${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$の同次イデアルIに全単射で対応します${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$飽和しているもの、つまり、${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.}$^{[ 6 ]}この事実は、射影ヌルステレンザッツの洗練されたバージョンと考えることができる。

上記の座標に依存しない類似物を与えることができます。すなわち、 k上の有限次元ベクトル空間Vが与えられたとき、

${\displaystyle \mathbb {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]}$

どこ${\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})}$は、​${\displaystyle V^{*}}$^{[ 7 ]}これはVの射影化であり、すなわちV内の直線をパラメータ化するものである。正準全射写像が存在する。${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)}$これは、上記の図表を用いて定義される。^{[ 8 ]}この構成の重要な用途の一つは、次の通りである（§ 双対性と線形システムを参照）。射影多様体X上の因子D は、直線束Lに対応する。次に、次のように設定する。

${\displaystyle |D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))}$;

これはDの完全線形システムと呼ばれます。

任意のスキームS上の射影空間は、スキームのファイバー積として定義できる。

${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.}$

もし${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$セルのねじれた束は${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$私たちは${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$プルバックを表す${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$に${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$つまり、${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$標準マップの場合${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.}$

スキームX → Sは、それが閉埋め込みとして因数分解される場合、S上で射影的であると呼ばれる。

${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

続いてSへの射影。

線束（または可逆層）${\displaystyle {\mathcal {L}}}$S上のスキームXにおいて、 Sに対して非常に豊富であるとは、イマージョン(すなわち、開イマージョンの後に閉イマージョンが続く場合)が存在する場合をいう。

${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

あるnに対して、${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$プルバック${\displaystyle {\mathcal {L}}}$すると、SスキームXが射影的であるのは、それがプロパーであり、かつSに関してX上に非常に豊富な層が存在する場合に限る。実際、X がプロパーであれば、非常に豊富な線束に対応する埋め込みは必ず閉じている。逆に、Xが射影的であれば、${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$Xの射影空間への閉じた埋め込みの下では、非常に広範である。「射影的」が「適切」を意味することはより深い。消去理論の主定理。

射影多様体Xを定義する素イデアルP は同次であるため、同次座標環

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}$

これは次数付き環であり、すなわち、次数付き構成要素の直接和として表現できる。

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.}$

多項式Pが存在し、${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$十分大きなnに対して、これはXのヒルベルト多項式と呼ばれます。これは、Xの何らかの外在的幾何学を符号化する数値不変量です。Pの次数はXの次元r であり、その最高次係数にr!を掛けたものが多様体Xの次数です。Xが滑らかな場合、 Xの算術種数は (−1) ^r ( P (0) − 1)です。

例えば、同次座標環${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$は${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$そしてそのヒルベルト多項式は${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$;その算術種数はゼロです。

If the homogeneous coordinate ring R is an integrally closed domain, then the projective variety X is said to be projectively normal. Note, unlike normality, projective normality depends on R, the embedding of X into a projective space. The normalization of a projective variety is projective; in fact, it's the Proj of the integral closure of some homogeneous coordinate ring of X.

Let ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}}$ be a projective variety. There are at least two equivalent ways to define the degree of X relative to its embedding. The first way is to define it as the cardinality of the finite set

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}$

where d is the dimension of X and H_i's are hyperplanes in "general positions". This definition corresponds to an intuitive idea of a degree. Indeed, if X is a hypersurface, then the degree of X is the degree of the homogeneous polynomial defining X. The "general positions" can be made precise, for example, by intersection theory; one requires that the intersection is proper and that the multiplicities of irreducible components are all one.

The other definition, which is mentioned in the previous section, is that the degree of X is the leading coefficient of the Hilbert polynomial of X times (dim X)!. Geometrically, this definition means that the degree of X is the multiplicity of the vertex of the affine cone over X.^[12]

Let ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}}$ be closed subschemes of pure dimensions that intersect properly (they are in general position). If m_i denotes the multiplicity of an irreducible component Z_i in the intersection (i.e., intersection multiplicity), then the generalization of Bézout's theorem says:^[13]

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.}$

The intersection multiplicity m_i can be defined as the coefficient of Z_i in the intersection product ${\displaystyle V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}}$ in the Chow ring of ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$.

In particular, if ${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}}$ is a hypersurface not containing X, then

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

ここで、Z _{i は}、多重度（局所環の長さ）m _iを持つXとHのスキーム理論的交差の既約成分である。

複素射影多様体はコンパクトな複素多様体とみなすことができ、その多様体の次数（埋め込みに関して）は、周囲の複素射影空間から継承された計量に関する多様体としての多様体の体積に相当します。複素射影多様体は、（ある意味で）体積を最小化するものとして特徴づけることができます。

X を射影多様体とし、Lをその上の直線束とする。このとき、次数付き環は

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}$

これはLの切断環と呼ばれます。L が豊富である場合、この環の Proj はXです。さらに、Xが正規であり、Lが非常に豊富である場合、${\displaystyle R(X,L)}$は、 Lによって決定されるXの同次座標環の完全閉包である。すなわち、${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$となることによって${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$Lに引き戻す。^{[ 14 ]}

アプリケーションでは、除数（または${\displaystyle \mathbb {Q} }$-因子) 線束だけではなく、Xが正規であると仮定すると、結果として得られる環は一般化された切断環と呼ばれます。${\displaystyle K_{X}}$X上の標準因子である場合、一般化された切断環

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

これはXの正準環と呼ばれます。正準環が有限生成である場合、その環の Proj はXの正準モデルと呼ばれます。正準環またはモデルは、 Xの小平次元を定義するために使用できます。

次元 1 の射影スキームは射影曲線と呼ばれます。射影曲線の理論の多くは滑らかな射影曲線に関するもので、曲線の特異点は正規化によって解消できます。正規化とは、正則関数の環の積分閉包を局所的に取ることです。滑らかな射影曲線は、その関数体が同型である場合に限り同型です。

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t),}$

または同等に滑らかな射影曲線${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$代数的整数論の重要な分野である。^{[ 15 ]}

種数1の滑らかな射影曲線は楕円曲線と呼ばれる。リーマン・ロッホの定理の結果として、このような曲線は閉じた部分多様体として埋め込むことができる。${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$一般に、任意の（滑らかな）射影曲線は、${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$（証明については、Secant variety#Examples を参照）。逆に、${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$次数3の曲線は種数公式により種数が1であり、したがって楕円曲線である。

種数が2以上の滑らかな完全曲線は、有限射が存在する場合、超楕円曲線と呼ばれる。${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$2次の関係。^{[ 16 ]}

の既約閉部分集合${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$余次元が 1 のものは超曲面である。すなわち、ある同次既約多項式の零点集合である。^{[ 17 ]}

射影多様体Xのもう一つの重要な不変量はピカール群である。${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$Xの、 X上の線束の同型類の集合。これは、${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$したがって、（埋め込みとは無関係な）本質的な概念である。例えば、ピカール群は${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$は同型である${\displaystyle \mathbb {Z} }$次数マップを介して。${\displaystyle \deg$ :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z} } は抽象アーベル群であるだけでなく、 Xのヤコビ多様体Jac( X ) と呼ばれる多様体があり、その点がこの群に等しくなります。滑らかな曲線のヤコビアンは、曲線の研究において重要な役割を果たします。たとえば、楕円曲線EのヤコビアンはE自身です。種数gの曲線Xの場合、Jac( X ) の次元はgです。

ヤコビ多様体のように、完全で群構造を持つ多様体は、ニールス・アーベルにちなんでアーベル多様体と呼ばれています。アフィン代数群とは対照的に、${\displaystyle GL_{n}(k)}$アーベル群は常に可換であるため、その名が付けられています。さらに、アーベル群は豊富な直線束を持つため、射影的です。一方、アーベルスキームは射影的ではない場合があります。アーベル多様体の例としては、楕円曲線、ヤコビ多様体、K3曲面などがあります。

セール双対性は、任意の局所自由層に対して、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$X上で、

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'}$

ここで上付きプライムは双対空間を指し、${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\vee }}$は双対束である${\displaystyle {\mathcal {F}}}$射影的であるが必ずしも滑らかなスキームではない一般化は、ヴェルディエ双対性として知られています。

（滑らかな射影）曲線Xの場合、次元の理由からH ²以上の値はゼロになり、構造層のグローバルセクションの空間は 1 次元になります。したがって、Xの算術種数は次の次元になります。${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$定義により、Xの幾何学的種数はH ⁰ ( X , ω _X )の次元である。したがって、セール双対性は、算術的種数と幾何学的種数が一致することを意味する。これらは単にXの種数と呼ばれる。

セール双対性は、リーマン・ロッホの定理の証明においても重要な要素である。Xは滑らかであるため、群の同型が存在する。

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}}$

主因子を法とする（ワイル）因子群から、線束の同型類群へ。ω _Xに対応する因子は標準因子と呼ばれ、Kで表される。l ( D ) を次元とする。${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))}$すると、リーマン・ロッホの定理は次のように述べている。gがXの種数である場合、

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

X上の任意の約数Dに対して。Serre 双対性により、これは以下と同じである。

${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,}$

これは容易に証明できる。^{[ 25 ]}リーマン・ロッホの定理を高次元に一般化したものがヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理であり、広範囲に及ぶグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理でもある。

複素射影空間はケーラー多様体である。これは、任意の射影代数多様体Xに対して、${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$はコンパクトなケーラー多様体である。一般に逆は成り立たないが、小平の埋め込み定理はケーラー多様体が射影的であるための判定条件を与える。

低次元の場合、以下の結果が得られます。

• （リーマン）コンパクトリーマン面（すなわち、次元1のコンパクト複素多様体）は射影多様体である。トレリの定理により、リーマン面はヤコビアンによって一意に決定される。
• （チョウ・コダイラ）2つの代数的に独立な有理型関数を持つ2次元のコンパクト複素多様体は射影多様体である。^{[ 29 ]}

チョウの定理は、解析幾何学から代数幾何学へと逆方向に進むための印象的な方法を提供する。それは、複素射影空間のすべての解析的部分多様体は代数的であると述べている。この定理は、ある成長条件を満たす正則関数は必然的に代数的であると解釈できる。「射影的」という性質がこの成長条件を与える。この定理から、次のことが導き出せる。

• 複素射影空間上の有理型関数は有理関数である。
• 代数多様体間の代数写像が解析的同型写像であるならば、それは（代数的）同型写像である。（この部分は複素解析における基本的な事実である。）特に、チョウの定理によれば、射影多様体間の正則写像は代数的である。（そのような写像のグラフを考えてみよう。）
• 射影多様体上のすべての正則ベクトル束は、一意の代数ベクトル束によって誘導される。 ^{[ 30 ]}
• 射影多様体上のすべての正則線束は因子の線束である。^{[ 31 ]}

チョウの定理は、セールのGAGA原理を用いて示すことができる。その主な定理は以下の通りである。

X を射影スキームとする${\displaystyle \mathbb {C} }$すると、 X上の連接層を対応する複素解析空間X^上の連接層に関連付ける関手は圏の同値である。さらに、自然な写像は

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}$

すべてのiおよびすべての連接層に対して同型写像である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Xについて。^{[ 32 ]}

アーベル多様体 A に関連付けられた複素多様体${\displaystyle \mathbb {C} }$はコンパクト複素リー群である。これらは次の形式であることが示される。

${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$

これらは複素トーラスとも呼ばれます。ここで、gはトーラスの次元、Lは格子（周期格子とも呼ばれる）です。

既に述べた一様化定理によれば、次元1のトーラスは次元1のアーベル多様体、すなわち楕円曲線から生じる。実際、ワイエルシュトラスの楕円関数は${\displaystyle \wp }$Lに付随するものはある微分方程式を満たし、その結果として閉じた埋め込みを定義します: ^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}}$

p進数版の類似定理として、p進数一様化定理が存在する。

高次元の場合、複素アーベル多様体と複素トーラスの概念は異なり、偏極複素トーラスのみがアーベル多様体から生じる。

小平消滅定理の基本は、十分な線束に対して${\displaystyle {\mathcal {L}}}$標数ゼロの体上の滑らかな射影多様体X上で、

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}$

i > 0の場合、または、Serre 双対性により同等に${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}$i < nの場合。^{[ 34 ]}この定理の最初の証明はケーラー幾何学の解析的方法を使用していましたが、後に純粋に代数的な証明が見つかりました。一般に、小平の消滅は正標数の滑らかな射影多様体では失敗します。小平の定理は、高次の層コホモロジーが消滅するための基準を与えるさまざまな消滅定理の 1 つです。層のオイラー標数 (上記参照) は個々のコホモロジー群よりも扱いやすいことが多いため、これはしばしば射影多様体の幾何学に関して重要な結果をもたらします。^{[ 35 ]}