代数的整数論

代数的数論は、整数、有理数、およびそれらの一般化を研究するために抽象代数の手法を使用する数論の分野です。数論的な問題は、代数的数体とその整数環、有限体、および関数体などの代数的対象の特性によって表現されます。環が一意に因数分解できるかどうか、イデアルの振る舞い、体のガロア群などのこれらの特性は、ディオファントス方程式の解の存在など、数論における主要な問題を解決できます。

代数的整数論の始まりはディオファントス方程式に遡ります。^[1]この方程式は、3世紀のアレクサンドリアの数学者ディオファントスにちなんで名付けられました。ディオファントスは、この方程式を研究し、ある種のディオファントス方程式を解く方法を考案しました。典型的なディオファントス問題は、2つの整数xとy の合計と、それらの平方の合計が、それぞれ2つの与えられた数AとBに等しくなるような整数 x と y を求めるというものです。

${\displaystyle A=x+y\ }$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.\ }$

ディオファントス方程式は何千年も研究されてきました。たとえば、二次ディオファントス方程式
x ² + y ² = z ^2の解はピタゴラスの数列で与えられ、もともとはバビロニア人（紀元前 1800年頃）によって解かれました。^{[2] 26} x + 65 y = 13などの一次ディオファントス方程式の解は、ユークリッドの互除法（紀元前5世紀頃）を使用して見つけることができます。 ^[3]

ディオファントスの主要著作は『算術』であるが、その一部のみが現存している。

フェルマーの最終定理は、1637 年にピエール ド フェルマーによって初めて推測されました。フェルマーは、算数の本の余白に、余白に入りきらないほど長い証明があると主張しました。その後 358 年間、数え切れないほどの数学者が努力を重ねましたが、1995 年まで証明は発表されませんでした。この未解決の問題は、19 世紀の代数的整数論の発展と、 20 世紀のモジュラリティ定理の証明を刺激しました。

代数的整数論の基礎となる著作の一つである『算術研究』（ラテン語：算術的探求）は、カール・フリードリヒ・ガウスが1798年に21歳で執筆し、1801年に24歳で初めて出版したラテン語^[4]で書かれた整数論の教科書である。この本でガウスは、フェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルなどの数学者によって得られた整数論の結果をまとめ、さらに彼自身の重要な新しい結果を加えている。『算術研究』が出版される前、整数論は孤立した定理と予想の集まりで構成されていた。ガウスは、先人たちの研究と彼自身の独自の研究を体系的な枠組みにまとめ、欠落部分を埋め、不完全な証明を修正し、さまざまな方法で主題を拡張した。

『論考』は、エルンスト・クンマー、ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ、リヒャルト・デデキントなど、 19世紀ヨーロッパの他の数学者の研究の出発点となった。ガウスによる注釈の多くは、実質的には彼自身のさらなる研究の発表であり、そのいくつかは未発表のままであった。それらは同時代の人々にとって特に不可解に映ったに違いない。現在では、それらには特に L関数と複素乗算の理論の萌芽が含まれていると読むことができる。

1838年と1839年の2本の論文で、ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレは、二次形式に対する第一類数公式を証明した（後に彼の弟子レオポルド・クロネッカーによって改良された）。ヤコビが「人間の洞察力の極みに触れる」結果と呼んだこの公式は、より一般的な数体に関する同様の結果への道を開いた。^[5]彼は、二次体の単位群の構造の研究に基づいて、代数的整数論における基本的な結果であるディリクレの単位定理を証明した。^[6]

彼は、後に彼の名にちなんでディリクレの近似定理と名付けられた、ディオファントス近似の定理の証明において、基本的な計数論である鳩の巣原理を初めて使用した。彼は、 n  = 5およびn  = 14の場合を証明したフェルマーの最終定理や、双二次相互法則への重要な貢献を発表した。^{[5]彼が最初の結果を見出した}ディリクレの因子問題は、その後の他の研究者による貢献にもかかわらず、依然として数論における未解決の問題である。

リヒャルト・デデキントは、ルジューヌ・ディリクレの研究をきっかけに、代数体とイデアルの研究に取り組みました。1863 年、デデキントはルジューヌ・ディリクレの数論に関する講義を「数論講義」として出版しました。この講義については、次のように書かれています。

「この本は確かにディリクレの講義に基づいており、デデキント自身も生涯を通じてこの本をディリクレの著書と呼んでいたが、この本自体はディリクレの死後、ほとんどがデデキントによって書かれたものである。」(エドワーズ 1983)

1879年版と1894年版の『概要』には、環理論の基礎となるイデアルの概念を紹介する補足が含まれていた。(後にヒルベルトによって導入された「環」という語は、デデキントの著作には登場しない。) デデキントは、イデアルを、整数係数を持つ多項式方程式を満たす代数的整数からなる数の集合のサブセットとして定義した。この概念は、ヒルベルト、特にエミー・ネーターによってさらに発展した。イデアルは、エルンスト・エドゥアルト・クンマーが1843年にフェルマーの最終定理を証明しようとした試みの一環として考案された イデアル数を一般化したものである。

デイヴィト・ヒルベルトは、 1897 年の論文「Zahlbericht」（文字通り「数に関する報告」）で代数的整数論の分野を統一しました。また、 1770 年にウォーリングが定式化した重要な整数論の問題も解決しました。有限性定理の場合と同様に、ヒルベルトは、答えを生み出すメカニズムを提供するのではなく、問題には必ず解が存在することを示す存在証明を使用しました。^{[7]その後、ヒルベルトはこの主題について出版するものがほとんどありませんでしたが、学生の論文に}ヒルベルト モジュラー形式が登場したことで、ヒルベルトの名前がさらに主要な分野に結び付けられました。

彼は類体理論に関する一連の予想を立てた。その概念は大きな影響力を持ち、彼自身の貢献はヒルベルト類体や局所類体理論のヒルベルト記号という名前で今も生き続けている。結果は高木貞治の研究の後、1930年までにほぼ証明された。^[8]

エミール・アルティンは一連の論文（1924年、1927年、1930年）でアルティンの相互法則を確立した。この法則は数論における一般定理であり、大域類体理論の中心的部分を形成している。 ^[9]「相互法則」という用語は、二次相互法則、アイゼンシュタインとクンマーの相互法則からノルム記号のヒルベルトの積の公式まで、それが一般化したより具体的な数論的ステートメントの長い一連の流れを指す。アルティンの結果は、ヒルベルトの第9問題の部分的な解決を提供した。

1955年頃、日本の数学者志村五郎と谷山豊は、楕円曲線とモジュラー形式という、一見全く異なる2つの数学の分野の間につながりがあるかもしれないことに気づきました。その結果得られたモジュラー性定理（当時は谷山・志村予想と呼ばれていました）は、すべての楕円曲線はモジュラーであり、つまり、一意のモジュラー形式に関連付けることができると述べています。

当初、この予想はありそうにない、あるいは非常に推測的であるとして却下されたが、数論学者アンドレ・ヴェイユがこれを裏付ける証拠を発見したが証明はなかったため、より真剣に受け止められるようになった。その結果、この「驚くべき」^{[10]予想は谷山・志村・ヴェイユ予想として知られるようになった。この予想は、証明または反証を必要とする重要な予想のリストである}ラングランズ・プログラムの一部となった。

1993年から1994年にかけて、アンドリュー・ワイルズは半安定楕円曲線のモジュラリティ定理の証明を提供し、これはリベットの定理とともにフェルマーの最終定理の証明となった。当時のほぼすべての数学者は、最先端の開発をもってしても、フェルマーの最終定理とモジュラリティ定理の両方を証明することは不可能、あるいは事実上不可能であると考えていた。ワイルズは1993年6月に最初に証明を発表したが^{[11]、そのバージョンには重要な点に重大な欠陥があることがすぐに認識された。証明は}リチャード・テイラーとの協力もあってワイルズによって修正され、最終的に広く受け入れられたバージョンは1994年9月に発表され、1995年に正式に出版された。証明では代数幾何学と数論の多くの手法が用いられており、これらの数学の分野に多くの影響を与えている。また、スキームのカテゴリーや岩澤理論などの現代代数幾何学の標準的な構成や、フェルマーには利用できなかった 20 世紀のその他の手法も使用します。

整数環の重要な性質は、算術の基本定理を満たすことです。つまり、すべての (正の) 整数は素数の積に因数分解でき、この因数分解は因数の順序を除いて一意です。代数体Kの整数環Oでは、この定理は当てはまらない場合があります。

素元とは、Oの元pで積ab を割り切れる場合、因数aまたはbのいずれかを割り切れるようなものである。この性質は整数の素数性と密接に関係しており、この性質を満たす正の整数は1か素数のいずれかである。しかし、この性質は厳密にはより弱い。例えば、−2 は負であるため素数ではないが、素元である。素元への因数分解が許されるなら、整数であっても、次のような別の因数分解が存在する。

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).}$

一般に、uが単位数、つまりOに逆数を持つ数であり、p が素元である場合、upも素元である。pやupなどの数は関連していると言われる。整数では、素数pと− p は関連しているが、正の数はそのうちの 1 つだけである。素数が正であることを要求すると、関連する素元の集合から一意の要素が選択される。ただし、 K が有理数でない場合は、正数に相当するものがない。たとえば、ガウス整数 Z [ i ]、^[12]では、数1 + 2 iと−2 + i は、後者が前者のiによる積であるため関連しているが、一方を他方よりも標準的であると特定する方法はない。このことから、次のような式が得られる。

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),}$

これは、 Z [ i ]において、因数分解が因数の順序まで一意であるというのは正しくないことを証明しています。このため、一意因数分解の定義は、一意因数分解領域(UFD) で採用されています。UFD では、因数分解に現れる素数は、単位とその順序まで一意であることが期待されます。

しかし、このより弱い定義であっても、代数的数体の整数環の多くは一意に因数分解できません。理想類群と呼ばれる代数的障害があります。理想類群が自明な場合、環は UFD です。そうでない場合は、素元と既約元が区別されます。既約元 xは、x = yzの場合にyまたはz のいずれかが単位となる元です。これらは、それ以上因数分解できない元です。 Oのすべての元は既約元への因数分解が可能ですが、複数の既約元が存在する場合もあります。これは、すべての素元が既約である一方で、一部の既約元は素数ではない可能性があるためです。たとえば、環Z [√ -5 ]を考えます。^[13]この環では、数3、2 + √ -5、および2 - √ -5が既約です。これは、 9という数字には2つの因数分解があり、

${\displaystyle 9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

この式は、3 が積(2 + √ -5 )(2 - √ -5 ) = 9を割り切ることを示しています。3 が素元であれば、 2 + √ -5または2 - √ -5を割り切れますが、 3で割り切れるすべての元は3 a + 3 b √ -5 の形式であるため、そうはなりません。 同様に、2 + √ -5と2 - √ -5 は積3 ²を割り切りますが、これらの元のいずれも3自体を割り切れないため、どちらも素数ではありません。 元3、2 + √ -5、および2 - √ -5を等しくする意味がないため、 Z [√ -5 ]では一意の因数分解が失敗します。 定義を弱めることで一意性を修復できる単位の場合とは異なり、この失敗を克服するには新しい観点が必要です。

IがOのイデアルであれば、常に因数分解が存在する。

${\displaystyle I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},}$

ここで、それぞれは素イデアルであり、この表現は因数の順序まで一意です。特に、I が単一の元によって生成される主イデアルである場合にこれが当てはまります。これは、一般数体の整数環が一意の因数分解を許容する最も強い意味です。環論の言語では、整数環はデデキント領域であると言われています。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

Oが UFD の場合、すべての素イデアルは素元によって生成されます。そうでない場合は、素元によって生成されない素イデアルが存在します。たとえば、 Z [√ -5 ]では、イデアル(2, 1 + √ -5 )は単一の元によって生成できない素イデアルです。

歴史的に、イデアルを素イデアルに因数分解するというアイデアは、エルンスト・クンマーによるイデアル数の導入に先行していました。これらは、Kの拡大体Eに含まれる数です。この拡大体は現在、ヒルベルト類体として知られています。主イデアル定理により、 Oのすべての素イデアルは、Eの整数環の主イデアルを生成します。この主イデアルの生成元は、イデアル数と呼ばれます。クンマーは、円分体における一意の因数分解が不可能であることの代替として、これらを使用しました。これらは最終的に、リチャード・デデキントがイデアルの先駆者を導入し、イデアルの一意の因数分解を証明することにつながりました。

ある数体の整数環で素数であるイデアルは、より大きな数体に拡張すると素数ではなくなる可能性がある。例えば、素数について考えてみよう。対応するイデアルp Z は、環Zの素イデアルである。しかし、このイデアルをガウス整数に拡張してp Z [ i ]を得ると、素数になる場合とならない場合がある。例えば、因数分解2 = (1 + i )(1 − i )は、

${\displaystyle 2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};}$

1 + i = (1 − i ) ⋅ iなので、 1 + iと1 − iによって生成されるイデアルは同じであることに注意する。ガウス整数においてどのイデアルが素数のままであるかという質問に対する完全な答えは、2つの平方の和に関するフェルマーの定理によって提供される。これは、奇数の素数pに対して、p ≡ 3 (mod 4)の場合にはp Z [ i ]は素イデアルであり、 p ≡ 1 (mod 4)の場合には素イデアルではないことを意味する。これは、イデアル(1 + i ) Z [ i ]が素数であるという観察と合わせて、ガウス整数における素イデアルの完全な記述を提供する。この単純な結果をより一般的な整数環に一般化することは、代数的整数論における基本的な問題である。類体理論は、K がQのアーベル拡大(つまり、アーベルガロア群を持つガロア拡大) であるときにこの目標を達成する。

一意因数分解が失敗するのは、主イデアルにならない素イデアルが存在する場合のみである。 主イデアルにならない素イデアルを測定するオブジェクトは、イデアル類群と呼ばれる。 イデアル類群を定義するには、代数的整数の環のイデアルの集合を、群構造を許容するように拡張する必要がある。 これは、イデアルを分数イデアルに一般化することによって行われる。 分数イデアルは、Kの加法部分群Jであり、 Oの元による乗算で閉じており、x ∈ OであればxJ ⊆ Jである。 Oのすべてのイデアルは分数イデアルでもある。IとJ が分数イデアルであれば、 Iの元とJの元の積すべての集合IJも分数イ​​デアルである。 この操作により、非ゼロ分数イデアルの集合が群になる。 群の恒等式はイデアル(1) = Oであり、Jの逆は(一般化された)イデアル商である。

${\displaystyle J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.}$

主分数イデアル、つまりx ∈ K ^×である形式Oxのものは、すべての非ゼロ分数イデアルの群の部分群を形成します。非ゼロ分数イデアルの群をこの部分群で割った商がイデアル類群です。2 つの分数イデアルIとJ がイデアル類群の同じ元を表すのは、元x ∈ Kが存在してxI = Jとなる場合のみです。したがって、イデアル類群では、一方が他方と同じくらい主イデアルに近い場合、2 つの分数イデアルは同値になります。イデアル類群は一般にCl K、Cl O、またはPic Oと表記されます(最後の表記は代数幾何学のピカール群と同一視されます)。

類群の要素の数はKの類数と呼ばれます。 Q (√ -5 )の類数は2 です。これは、主分数イデアルの類と(2, 1 + √ -5 )のような非主分数イデアルの類の 2 つのイデアル類しかないことを意味します。

イデアル類群は、因子という別の表現方法を持つ。これらは、数の可能な因数分解を表す形式的なオブジェクトである。因子群Div Kは、 Oの素イデアルによって生成される自由アーベル群として定義される。 K ^{× （}乗法を除くKの非ゼロ元）からDiv Kへの群準同型が存在する。x ∈ Kが次を満たすと 仮定する。

${\displaystyle (x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.}$

そしてdiv xは除数として定義される

${\displaystyle \operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].}$

divの核はOの単位群であり、余核はイデアル類群である。ホモロジー代数の言語では、これはアーベル群の正確な列（乗法的に記述）が存在することを意味する。

${\displaystyle 1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.}$

Q (√ 2 )などの数体は実数のサブフィールドとして指定できます。Q (√ −1 )などの他の数体は指定できません。抽象的には、このような指定は体準同型K → RまたはK → Cに対応します。これらはそれぞれ 実埋め込みと複素埋め込みと呼ばれます。

実二次体Q (√ a )は、a ∈ Q、a > 0、aが完全な平方数ではない場合、2 つの実埋め込みを許容するが複素埋め込みを許容しないため、このように呼ばれます。これらは、√ aをそれぞれ√ aと−√ aに送信する体準同型です。双対的に、虚二次体Q (√ − a )は、実埋め込みを許容しませんが、共役な複素埋め込みのペアを許容します。これらの埋め込みの 1 つは√ − aを√ − aに送信し、もう 1 つはそれをその複素共役である−√ − aに送信します。

慣例的に、 Kの実埋め込みの数はr ₁で表され、複素埋め込みの共役ペアの数はr ₂で表されます。Kのシグネチャはペア( r ₁ , r ₂ )です。 r ₁ + 2 r ₂ = dという定理があり、ここでdはKの次数です。

すべての埋め込みを一度に考慮すると、関数、または同等のが決定されます。 これはミンコフスキー埋め込みと呼ばれます。 ${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}}$${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.}$

複素共役によって固定された余域の部分空間は、ミンコフスキー空間と呼ばれる次元dの実ベクトル空間です。ミンコフスキー埋め込みは体準同型によって定義されるため、Kの元と元x ∈ Kの乗算は、ミンコフスキー埋め込みにおける対角行列の乗算に対応します。ミンコフスキー空間上のドット積は、トレース形式に対応します。 ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)}$

ミンコフスキー埋め込みによるOの像はd次元格子です。Bがこの格子の基底である場合、det B ^T BはOの判別式です。判別式はΔまたはDで表されます。O の像の共体積はです。 ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta |}}}$

実数および複素数の埋め込みは、付値に基づく観点を採用することで、素イデアルと同じ立場に置くことができます。たとえば、整数について考えてみましょう。通常の絶対値関数 |·| : Q → Rに加えて、各素数pに対して定義され、 pで割り切れるかどうかを測定するp 進絶対値関数 |·| _p  : Q → Rがあります。オストロフスキーの定理によれば、これらはすべてQ上の可能な絶対値関数です(同値性を除く)。したがって、絶対値はQの実数埋め込みと素数の 両方を記述する共通言語です。

代数的数体の場所は、 K上の絶対値関数の同値類です。場所には 2 つの種類があります。 Oの各素イデアルに対して -進絶対値があり、p進絶対値と同様に、割り切れるかどうかを測定し、これらは有限場所と呼ばれます。もう 1 つの種類の場所は、 Kの実数または複素数埋め込みと、 RまたはC上の標準絶対値関数を使用して指定されます。これらは無限場所です。絶対値は複素数埋め込みとその共役を区別できないため、複素数埋め込みとその共役は同じ場所を決定します。したがって、r _{1 個の}実場所とr _{2 個の}複素数場所があります。場所は素数を含むため、場所は素数と呼ばれることがあります。この場合、有限場所は有限素数、無限場所は無限素数と呼ばれます。vが絶対値に対応する付値である場合、vが無限場所であることを意味する と書き、それが有限場所であることを意味する と書きます。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle v\mid \infty }$${\displaystyle v\nmid \infty }$

体のすべての場所を一緒に考えると、数体のアデール環が生成されます。アデール環を使用すると、絶対値を使用して利用可能なすべてのデータを同時に追跡できます。これにより、アルティンの相互法則のように、1 つの場所での動作が他の場所での動作に影響を与える可能性がある状況で大きな利点が得られます。

無限遠点に関する幾何学的類似性があり、これは曲線の関数体にも当てはまります。たとえば、とを滑らかな射影代数曲線とします。関数体には多数の絶対値、つまり場所があり、それぞれが曲線上の点に対応します。がアフィン曲線の射影完備である場合、 内の点は無限遠点に対応します。次に、これらの点の 1 つでの の完備化は、 -進数の類似物を与えます。 ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle X/k}$ ${\displaystyle F=k(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle X-{\hat {X}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$

例えば、の場合、その関数体は と同型です。ここで は不定式で、 はにおける多項式の分数の体です。すると、点 における場所は、点 における多項式の分数の消失の位数または極の位数を測定します。例えば、 の場合、アフィン チャート上でこれは点 に対応し、評価はにおけるの消失の位数から の消失の位数を引いたものを測定します。 における完備化の関数体はとなり、これは変数 におけるべき級数の体であるため、要素は次の形式になります。${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$${\displaystyle v_{p}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p(x)/q(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=[2:1]}$${\displaystyle x_{1}\neq 0}$${\displaystyle 2\in \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle k((t-2))}$${\displaystyle t-2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{-k}(t-2)^{-k}+\cdots +a_{-1}(t-2)^{-1}+a_{0}+a_{1}(t-2)+a_{2}(t-2)^{2}+\cdots \\&=\sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(t-2)^{n}\end{aligned}}}$

である。無限遠点では、これは関数体に対応し、これは次の形式のべき級数である。${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle k((1/t))}$

${\displaystyle \sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(1/t)^{n}}$

整数には1と−1 の2 つの単位しかありません。他の整数環には、より多くの単位が含まれる場合があります。ガウス整数には、前述の 2 つと± i の4 つの単位があります。アイゼンシュタイン整数 Z [exp(2π i / 3)]には 6 つの単位があります。実二次数体の整数には、無限に多くの単位があります。たとえば、Z [√ 3 ]では、 2 + √ 3のすべての累乗が単位であり、これらすべての累乗は異なります。

一般に、 Oの単位群はO ^×と表記され、有限生成アーベル群である。したがって、有限生成アーベル群の基本定理は、それが捩れ部分と自由部分の直和であることを意味する。これを数体の文脈で再解釈すると、捩れ部分はOに含まれる単位根から構成される。この群は巡回的である。自由部分はディリクレの単位定理によって記述される。この定理によれば、自由部分の階数はr ₁ + r ₂ − 1である。したがって、たとえば、自由部分の階数がゼロになる唯一の体はQと虚数二次体である。 O ^× ⊗ _Z Qの構造をK / Qのガロア群のガロア加群として与えるより正確な記述も可能である。^[14]

単位群の自由部分はKの無限位を使って調べることができる。関数を考える。

${\displaystyle {\begin{cases}L:K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}\\L(x)=(\log |x|_{v})_{v}\end{cases}}}$

ここで、v はKの無限の場所にわたって変化し、|·| _vはvに関連付けられた絶対値です。関数Lは、 K ^×から実ベクトル空間への準同型です。 O ^×の像は、によって定義される超平面を張る格子であることが示されます。この格子の余体積は、数体の調節子です。アデール環を扱うことで可能になった単純化の 1 つは、この格子による商と イデアル類群の両方を記述する単一のオブジェクト、イデアル類群が存在することです。${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.}$

数体のデデキントゼータ関数は、リーマンゼータ関数に類似しており、K内の素イデアルの振る舞いを記述する解析的対象である。 KがQのアーベル拡大である場合、デデキントゼータ関数はディリクレ L 関数の積であり、各ディリクレ指標に対して 1 つの因子が存在する。自明な指標はリーマンゼータ関数に対応する。Kがガロア拡大である場合、デデキントゼータ関数はKのガロア群の正則表現のアルティン L 関数であり、ガロア群の 既約アルティン表現に関して因数分解される。

ゼータ関数は、類数公式によって上で説明した他の不変量と関連しています。

数体K をある場所wで完備化すると、完備体が得られる。値がアルキメデス的であれば、RまたはCが得られ、非アルキメデス的で有理数の素数p上にある場合は、有限拡大、すなわち有限剰余体を持つ完全な離散値体が得られる。このプロセスにより、体の算術が簡素化され、問題の局所的な研究が可能になる。たとえば、クロネッカー-ウェーバーの定理は、類似の局所的な命題から簡単に演繹できる。局所体の研究の背後にある考え方は、主に幾何学的手法に動機づけられている。代数幾何学では、最大イデアルに局所化することで、ある点で局所的に多様体を研究するのが一般的である。その後、局所データをつなぎ合わせることで、大域的な情報を回復できる。この精神は代数的数論に採用されている。数体の代数的整数の環に素数が与えられた場合、その素数で体を局所的に研究することが望ましい。したがって、代数的整数の環をその素数に局所化し、幾何学の精神に沿って分数体を完成させます。 ${\displaystyle K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:}$

代数的整数論における古典的な結果の1つは、代数的数体Kのイデアル類群が有限であるということである。これはミンコフスキーの定理の結果であり、ノルムが固定された正の整数未満の積分イデアルは有限個しか存在しないためである^{[15] 78ページ。類群の順序は}類数と呼ばれ、文字hで表されることが多い。

ディリクレの単位定理は、整数環Oの単位乗法群O ^×の構造を記述する。具体的には、O ^{× は}G × Z ^rと同型であり、GはOのすべての単位根からなる有限巡回群であり、r = r ₁  +  r ₂  − 1 である（r ₁（またはr _{2 ）はそれぞれ}Kの実埋め込み（または共役な非実埋め込みのペア）の数を表す）ことを述べている。言い換えると、O ^{× は、その捩れが}O の単位根からなる、階数r ₁  +  r ₂ − 1の有限生成アーベル群である。

ルジャンドル記号に関して、正の奇数の素数に対する二次の相互法則は次のように表される。

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

相互法則は、二次相互法則を一般化したものです。

相互法則を表現するには、いくつかの異なる方法があります。 19 世紀に発見された初期の相互法則は、通常、素数が別の素数を法とする n 乗剰余である場合を記述し、( p / q ) と ( q / p ) の関係を与える二次相互法則を一般化したべき乗剰余記号 ( p / q ) で表現されました。ヒルベルトは、ヒルベルト記号( a 、b / p )のp上の積が1の根号で値を取ると 1 に等しいと、相互法則を再定式化しました。アルティンの再定式化された相互法則は、イデアル (またはイデル) からガロア群の元へのアルティン記号が、特定の部分群上で自明であると述べています。最近のいくつかの一般化では、群のコホモロジーやアデル群または代数 K 群の表現を使用して相互法則を表現しており、元の二次相互法則との関係はわかりにくい場合があります。

クラス数公式は、数体の多くの重要な不変量をそのデデキントゼータ関数の特殊な値に関連付けます。

代数的数論は、他の多くの数学分野と相互作用します。代数的数論では、ホモロジー代数のツールを使用します。関数体と数体の類推により、代数幾何学の手法とアイデアに依存します。さらに、数環ではなくZ上の高次元スキームの研究は、数論幾何学と呼ばれます。代数的数論は、数論的双曲 3 次元多様体の研究にも使用されます。

• 類体理論
• クンマー理論
• 局所コンパクト体
• 玉川ナンバー

• Neukirch, ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。 Wingberg, Kay (2000)、数体のコホモロジー、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66671-4、MR  1737196、Zbl  0948.11001

• スタイン、ウィリアム (2012)、代数的数論、計算アプローチ(PDF)
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• ウィキメディア・コモンズの代数的整数論に関連するメディア
• 「代数的数論」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]