数論 において 、 ネロン・テイト高さ （ネロン・テイトこうか、または 正準高さ ）は、 大域体 上に定義された アーベル多様体 の 有理点 の モルデル・ヴェイユ群 上の 二次形式である。 アンドレ・ネロン と ジョン・テイト にちなんで名付けられている 。
定義と特性 ネロンはネロン・テイト高を局所高の和として定義した。 [1] 大域的なネロン・テイト高は2乗であるが、それを構成する局所高は完全に2乗ではない。テイト（未発表）は、 アーベル多様体 上の対称可逆 層 に関連付けられた 対数高が 「ほぼ2乗」であることに注目して大域的に定義し、これを用いて極限が
h
ら
{\displaystyle h_{L}}
ら
{\displaystyle L}
あ
{\displaystyle A}
h ^
ら
（ ポ ） =
リム
いいえ → ∞
h
ら
（ いいえ ポ ）
いいえ
2
{\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty}{\frac {h_{L}(NP)}{N^{2}}}}
が存在し、有理点のモーデル・ヴェイユ群上の二次形式を定義し、
h ^
ら
（ ポ ） =
h
ら
（ ポ ） + お （ 1 ） 、
{\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1),}
ここで、暗黙の 定数は に依存しない 。 [2] が反対称、つまり である 場合 、類似の極限
お （ 1 ）
{\displaystyle O(1)}
ポ
{\displaystyle P}
ら
{\displaystyle L}
[ − 1
]
∗
ら =
ら
− 1
{\displaystyle [-1]^{*}L=L^{-1}}
h ^
ら
（ ポ ） =
リム
いいえ → ∞
h
ら
（ いいえ ポ ）
いいえ
{\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N}}}
は収束し、 を満たす が、この場合は モーデル・ヴェイユ群上の線形関数である。一般の可逆層では、 を 対称層と反対称層の積として書き、
h ^
ら
（ ポ ） =
h
ら
（ ポ ） + お （ 1 ）
{\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)}
h
^
L
{\displaystyle {\hat {h}}_{L}}
L
⊗
2
=
(
L
⊗
[
−
1
]
∗
L
)
⊗
(
L
⊗
[
−
1
]
∗
L
−
1
)
{\displaystyle L^{\otimes 2}=(L\otimes [-1]^{*}L)\otimes (L\otimes [-1]^{*}L^{-1})}
h
^
L
(
P
)
=
1
2
h
^
L
⊗
[
−
1
]
∗
L
(
P
)
+
1
2
h
^
L
⊗
[
−
1
]
∗
L
−
1
(
P
)
{\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)={\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L}(P)+{\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L^{-1}}(P)}
を満たす唯一の二次関数である。
h
^
L
(
P
)
=
h
L
(
P
)
+
O
(
1
)
and
h
^
L
(
0
)
=
0.
{\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)\quad {\mbox{and}}\quad {\hat {h}}_{L}(0)=0.}
ネロン・テイト高さはアーベル多様体上の可逆層の選択に依存しますが、関連する双線型形式は のネロン・セヴェリ群における の像にのみ依存します 。 アーベル 多様 体が数体 K 上で定義され 、可逆層が対称かつ十分である場合、ネロン・テイト高さは、モーデル・ヴェイユ群 の捩れ要素上でのみ消えるという意味で正定値です 。より一般的には、 実ベクトル空間 上に正定値の二次形式を誘導します 。
L
{\displaystyle L}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
(
K
)
{\displaystyle A(K)}
h
^
L
{\displaystyle {\hat {h}}_{L}}
A
(
K
)
⊗
R
{\displaystyle A(K)\otimes \mathbb {R} }
楕円曲線 上で 、ネロン・セヴェリ群は階数 1 であり、一意の豊富な生成元を持つため、この生成元は、特定の直線束を参照せずに表記されるネロン・テイト高さを定義するためによく使用されます。(ただし、 バーチとスウィナートン・ダイアー予想 のステートメントに自然に現れる高さは 、この高さの 2 倍です。) 高次元のアーベル多様体では、ネロン・テイト高さの定義に使用する最小の豊富な直線束を特に選択する必要はなく、バーチ・スウィナートン・ダイアー予想のステートメントで使用される高さは 、 上の ポアンカレ直線束 ( とその 双対 の積) に関連付けられたネロン・テイト高さです。
h
^
{\displaystyle {\hat {h}}}
A
×
A
^
{\displaystyle A\times {\hat {A}}}
A
{\displaystyle A}
楕円型レギュレータとアーベル型レギュレータ 楕円曲線 E 上の標準高さに関連する双線型形式 は
h
^
{\displaystyle {\hat {h}}}
⟨
P
,
Q
⟩
=
1
2
(
h
^
(
P
+
Q
)
−
h
^
(
P
)
−
h
^
(
Q
)
)
.
{\displaystyle \langle P,Q\rangle ={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\hat {h}}(P+Q)-{\hat {h}}(P)-{\hat {h}}(Q){\bigr )}.}
E / K の 楕円 レギュレータ は
Reg
(
E
/
K
)
=
det
(
⟨
P
i
,
P
j
⟩
)
1
≤
i
,
j
≤
r
,
{\displaystyle \operatorname {Reg} (E/K)=\det {\bigl (}\langle P_{i},P_{j}\rangle {\bigr )}_{1\leq i,j\leq r},}
ここで P 1 ,..., P r は 、捩れを法とするモーデル・ヴェイユ群 E ( K )の基底です（ グラム行列式 を参照）。楕円レギュレータは基底の選択に依存しません。
より一般的には、 A / K を アーベル多様体とし、 B ≅ Pic 0 ( A ) を A の双対アーベル多様体とし 、 P を A × B 上の ポアンカレ直線束 とします 。すると、 A / K の アーベル調節子は 、モーデル・ヴェイユ群 A ( K ) の捩れを法とする基底 Q 1 ,..., Q r と、モーデル・ヴェイユ群 B ( K ) の捩れを法とする基底 η 1 ,..., η r を 選択し、次のように設定することによって定義されます。
Reg
(
A
/
K
)
=
det
(
⟨
Q
i
,
η
j
⟩
P
)
1
≤
i
,
j
≤
r
.
{\displaystyle \operatorname {Reg} (A/K)=\det {\bigl (}\langle Q_{i},\eta _{j}\rangle _{P}{\bigr )}_{1\leq i,j\leq r}.}
(楕円レギュレータとアーベルレギュレータの定義は完全に一貫しているわけではありません。A が楕円曲線の場合 、 後者は 前者の
2 r倍になるためです。)
楕円型レギュレータとアーベル型レギュレータは、 バーチ・スウィナートン・ダイアー予想 に登場します。
ネロン・テイト高の下限 ネロン・テイト高の下限を与える基本的な予想が 2 つあります。1 つ目は、体 K が固定され、楕円曲線 E / K と点 P ∈ E ( K ) が変化するというものです。2 つ目は、 楕円レーマー予想 で、曲線 E / Kは固定され、点 P の定義体が 変化するというものです。
（ラング） [3] すべての非ねじれ に対して
h
^
(
P
)
≥
c
(
K
)
log
max
{
Norm
K
/
Q
Disc
(
E
/
K
)
,
h
(
j
(
E
)
)
}
{\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(K)\log \max {\bigl \{}\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }\operatorname {Disc} (E/K),h(j(E)){\bigr \}}\quad }
E
/
K
{\displaystyle E/K}
P
∈
E
(
K
)
.
{\displaystyle P\in E(K).}
（レーマー） [4] すべての非ねじれに対して
h
^
(
P
)
≥
c
(
E
/
K
)
[
K
(
P
)
:
K
]
{\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq {\frac {c(E/K)}{[K(P):K]}}}
P
∈
E
(
K
¯
)
.
{\displaystyle P\in E({\bar {K}}).}
どちらの予想でも、定数は正であり、示された量にのみ依存します。(ラングの予想のより強い形式では、 は 次数 にのみ依存すると 主張しています。) abc 予想は ラングの予想を意味し、1 次元特性 0 関数体上のラングの予想の類似物は無条件に真であることが知られています。 [3] [5] レーマーの予想に関する最良の一般的な結果は、 マッサー による弱い推定です 。 [6] 楕円曲線に 複素乗算 がある場合、これはローランによって に改良されました 。 [7] アーベル多様体に対する類似の予想があり、非捩れ条件がの倍数が のザリスキ稠密部分集合を形成する という条件に置き換えられ 、ラングの予想の下限が に置き換えられます。 ここで、 は の ファルティングス高さ です 。
c
{\displaystyle c}
[
K
:
Q
]
{\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}
h
^
(
P
)
≥
c
(
E
/
K
)
/
[
K
(
P
)
:
K
]
3
+
ε
{\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{3+\varepsilon }}
h
^
(
P
)
≥
c
(
E
/
K
)
/
[
K
(
P
)
:
K
]
1
+
ε
{\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{1+\varepsilon }}
P
{\displaystyle P}
A
{\displaystyle A}
h
^
(
P
)
≥
c
(
K
)
h
(
A
/
K
)
{\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(K)h(A/K)}
h
(
A
/
K
)
{\displaystyle h(A/K)}
A
/
K
{\displaystyle A/K}
一般化 偏極 代数力学系は 、（滑らかな射影的）代数多様体 、自己準同型、および ある整数に対して となる性質を持つ 直線束からなる 三つ組である。関連する標準高さはテイト限界 [8] によって与えられる。
(
V
,
φ
,
L
)
{\displaystyle (V,\varphi ,L)}
V
{\displaystyle V}
φ
:
V
→
V
{\displaystyle \varphi :V\to V}
L
→
V
{\displaystyle L\to V}
φ
∗
L
=
L
⊗
d
{\displaystyle \varphi ^{*}L=L^{\otimes d}}
d
>
1
{\displaystyle d>1}
h
^
V
,
φ
,
L
(
P
)
=
lim
n
→
∞
h
V
,
L
(
φ
(
n
)
(
P
)
)
d
n
,
{\displaystyle {\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=\lim _{n\to \infty }{\frac {h_{V,L}(\varphi ^{(n)}(P))}{d^{n}}},}
ここで はの n 倍の反復 です 。たとえば、次 数の任意の射影は、 線束関係 に関連付けられた標準高さをもたらします 。 が 数体上で定義され、 十分である場合、標準高さは非負であり、
φ
(
n
)
=
φ
∘
⋯
∘
φ
{\displaystyle \varphi ^{(n)}=\varphi \circ \cdots \circ \varphi }
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
:
P
n
→
P
n
{\displaystyle \varphi :\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}}
d
>
1
{\displaystyle d>1}
φ
∗
O
(
1
)
=
O
(
n
)
{\displaystyle \varphi ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(n)}
V
{\displaystyle V}
L
{\displaystyle L}
h
^
V
,
φ
,
L
(
P
)
=
0
⟺
P
is preperiodic for
φ
.
{\displaystyle {\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=0~~\Longleftrightarrow ~~P{\text{ is preperiodic for }}\varphi .}
( その前方軌道に 有限個の異なる点のみが含まれる場合、それは前周期的である。)
P
{\displaystyle P}
P
,
φ
(
P
)
,
φ
2
(
P
)
,
φ
3
(
P
)
,
…
{\displaystyle P,\varphi (P),\varphi ^{2}(P),\varphi ^{3}(P),\ldots }
参考文献
^ アンドレ、ネロン (1965)。 「疑似機能と異常性の多様性」。 アン。数学の。 （フランス語で）。 82 (2): 249–331。 土井 ：10.2307/1970644。 JSTOR 1970644。MR 0179173 。 ^ ラング（1997）p.72 ^ ab ラング (1997) pp.73–74 ^ ラング（1997）243ページ ^ Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1988). 「楕円曲線上の標準高さと積分点」. Invent. Math. 93 (2): 419–450. doi :10.1007/bf01394340. MR 0948108. S2CID 121520625. Zbl 0657.14018. ^ Masser, David W. (1989). 「楕円曲線上の小さな高さの点の数え上げ」. Bull. Soc. Math. France . 117 (2): 247–265. doi : 10.24033/bsmf.2120 . MR 1015810. ^ ミシェル・ローラン (1983). 「Minoration de la hauteur de Néron–Tate」[ネロン＝テートの高さの下限]。ベルタン著、マリー＝ジョゼ編（編）。 Séminaire de théorie des nombres、パリ 1981–82 [ 数論セミナー、パリ 1981–82 ]。数学の進歩 (フランス語)。ビルクホイザー。 137–151ページ。 ISBN 0-8176-3155-0 . MR 0729165。 ^ Call, Gregory S.; Silverman, Joseph H. (1993). 「射を持つ多様体の標準高さ」 Compositio Mathematica . 89 (2): 163–205. MR 1255693.
標準高度理論に関する一般的な参考文献
外部リンク 
![{\displaystyle [-1]^{*}L=L^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c74764eb5baa8f9499ece4ee63670dc264ca6ad)
![{\displaystyle L^{\otimes 2}=(L\otimes [-1]^{*}L)\otimes (L\otimes [-1]^{*}L^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7c81c261c6eab126bf32e0d5be27e4ffc0a4c1)
![{\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)={\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L}(P)+{\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L^{-1}}(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3943a50edbbcb10fa808b5690c89eb8c699d3bc)
![{\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq {\frac {c(E/K)}{[K(P):K]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bce8f970efca487e35c1e91db7fc12d95c349d)
![{\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f278623b66f0d6bdde5d01dbc8391b4d82e4de)
![{\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{3+\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6051b28e1924da72c03f9b759cf6a9767d166590)
![{\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{1+\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fbff09bdc696774c7cd27e118c4227041a173f)
