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代数幾何学において、特異点解消の問題は、すべての代数多様体V が、適切な双有理写像W → Vを持つ非特異多様体Wである解消を持つかどうかを問うものです。標数 0の体上の多様体については、これは1964 年に平助弘中によって証明されました[ 1 ]。一方、標数pの体上の 4 次元以上の多様体については、これは未解決問題です[ 2 ]。
元々、特異点解消の問題は、多様体Xの関数体に対する非特異モデル、つまり同じ関数体を持つ完全な非特異多様体 X ′を見つけることでした 。実際には、次のような異なる条件を求める方が便利です。多様体X は、非特異多様体X ′と、X ′からXへの適切な双有理写像を見つけることができれば、特異点解消を持つと言えます。写像が適切であるという条件は、X ′ を X の非特異点の部分多様体とするような自明な解を除外するために必要です。
より一般的には、より大きな多様体Wに埋め込まれた多様体Xの特異点を解消することがしばしば有用である。Xが正則多様体Wに閉じた形で埋め込まれていると仮定する。Xの強い特異点解消は、以下の条件のいくつかを満たす、正則多様体W ′からWへの適切な双有理射によって与えられる（条件の正確な選択は著者によって異なる）。
広中氏は、標数0の体上でXが定義されている場合、上記の最初の3つの条件を満たす強い特異点解消が存在することを示し、彼の構成は複数の著者によって改良され（下記参照）、上記のすべての条件を満たすようになった。
すべての代数曲線は一意の非特異射影モデルを持つため、すべての分解手法は本質的に同じである。なぜなら、それらはすべてこのモデルを構築するからである。しかし、高次元ではこれはもはや当てはまらない。多様体は多くの異なる非特異射影モデルを持つ可能性がある。
Kollár (2007)は、曲線の特異点の解消を証明する約20の方法を挙げている。
曲線の特異点の解消は、基本的にニュートン（1676年）によって最初に証明されました。彼は曲線のピュイズー級数の存在を示し、そこから解消が容易に導き出されました。
リーマンは、複素代数曲線の関数体から滑らかなリーマン面を構成し、それによって特異点を解消した。これは、リーマン面の代わりにその体の離散付値環の集合を用いることで、より一般的な体に対しても行うことができる。
アルバネーゼの方法は、十分に大きな次元（曲線の次数の2倍以上）の射影空間を張る曲線を取り上げ、特異点からより小さな次元の射影空間へ繰り返し射影していくというものである。この方法は高次元多様体にも拡張でき、任意のn次元多様体は、特異点の多重度が最大でn !である射影モデルを持つことを示している。曲線の場合、n = 1となるため、特異点は存在しない。
MuhlyとZariski（1939）は、曲線の正規化を行うことで曲線の特異点を解消する1段階の方法を提示した。正規化は余次元1のすべての特異点を除去するため、曲線には有効だが、高次元には有効ではない。
曲線の特異点を解消するもう一つのワンステップ法は、その曲線の関数体の付値環の空間を取ることである。この空間は、元の曲線と双有理的な非特異射影曲線に変換することができる。
曲線の特異点を繰り返し拡大していくと、最終的には特異点が解消される。この方法の主な課題は、特異点の複雑さを測定する方法を見つけ、拡大によってその尺度が改善されることを示すことである。これには多くの方法がある。例えば、曲線の算術種数を用いることができる。
ノーター法は、平面曲線に二次変換（特異点と一般位置にある2点によって決定される）を繰り返し適用する。最終的に、特異点が通常の多重点のみである平面曲線が得られる（すべての接線は多重度2を持つ）。
ベルティーニの方法はノーターの方法と似ている。平面曲線から始め、その平面に双有理変換を繰り返し適用して曲線を改良していく。双有理変換はノーターの方法で使用される二次変換よりも複雑だが、特異点が通常の二重点のみとなるというより良い結果が得られる。
曲面には、非特異な射影モデルが多数存在します（曲線の場合、非特異な射影モデルは一意です）。しかし、曲面には一意の最小解像度が存在し、他のすべての解像度はそれを通して分解されます（他のすべての解像度はその最小解像度です）。高次元では、最小解像度は必ずしも存在しません。
複素数上の曲面の特異点解消は、デル・ペッツォ (1892)、レヴィ (1899)、セヴェリ (1914)、キシニ (1921)、アルバネーゼ (1924)によって証明されようと試みられたが、ザリスキ (1935 、第 I 章第 6 節)は、これらの初期の試みはいずれも完全ではなく、議論の重要な点で曖昧 (あるいは間違っている) であると指摘している。最初の厳密な証明はウォーカー (1935)によって与えられ、標数 0 のすべての体に対する代数的証明はザリスキ (1939)によって与えられた。アビヤンカー (1956) は標数がゼロでない曲面に対する証明を与えた。特異点解消は、リプマン (1978)によってすべての優れた2 次元スキーム (すべての算術曲面を含む)についても示されている。
ザリスキーの曲面の特異点解消法は、曲面を正規化する（これにより余次元1の特異点が解消される）ことと点をブローアップする（これにより余次元2の特異点が改善されるが、新たな余次元1の特異点が生じる可能性がある）ことを繰り返し交互に行うことである。この方法だけでも曲面の特異点は解消されるが、ザリスキーはより回りくどい方法を用いた。まず、曲面のすべての評価が解消可能であることを示す局所一様化定理を証明し、次にザリスキー・リーマン面のコンパクト性を利用して、各評価の中心が少なくとも1つの曲面上で単純となるような有限個の曲面の集合を見つけることが可能であることを示し、最後に曲面間の双有理写像を研究することで、この有限個の曲面の集合を単一の非特異曲面に置き換えることができることを示した。
ユング（1908）は、曲線に対して強力な埋め込み分解を適用することで、比較的特殊な特異点（アーベル商特異点）のみを持つ曲面に還元し、それらの特異点を明示的に処理した。この方法の高次元版がデ・ヨングの方法である。
一般に、曲線に対するアルバネーゼの方法の類似例によれば、任意の多様体に対して、特異点を最大でn !のオーダーにまで縮小できることが示されている。ここでnは次元である。曲面の場合、これはオーダー2の特異点の場合に帰着し、これは明示的に行うのに十分容易である。
アビヤンカー（1956）は、付値環に対する局所一様化定理を証明することにより、任意の標数の体上の曲面の特異点解消を証明した。最も難しいのは、付値群が有理数の非離散部分群である階数1の付値環である。証明の残りの部分はザリスキの方法に従う。
広中氏の任意特性多様体に対する方法は、特異集合内の点や滑らかな曲線を繰り返し拡大することによって曲面を分解する方法を提供する。
リップマン（1978）は、曲面Y（2次元縮小ネーター空間）が特異点解消を持つのは、その正規化がY上で有限かつ解析的に正規（特異点の補完が正規である）であり、かつ特異点が有限個しかない場合のみであることを示した。特に、Yがエクセレントであれば、特異点解消を持つ。
彼の方法は、双有理写像によってYに写像される正規曲面Zを考え、最小の算術種数を持つ最小の正規曲面が存在することを示すことであった。そして、この最小のZのすべての特異点が擬有理数であることを示し、擬有理数の特異点は点を繰り返しブローアップすることで解消できることを示した。
高次元における特異点の解消問題は、多くの誤った証明が公表されたり、実際には発表されなかった証明が発表されたりすることで悪名高い。
3次元多様体の場合、特異点の解消は標数0においてザリスキー（1944）によって証明された。彼はまず、標数0の任意の体上の任意の次元の多様体に対して有効な、付値環の局所一様化に関する定理を証明した。次に、付値のザリスキー・リーマン空間が準コンパクトであることを示した（任意の体上の任意の次元の任意の多様体に対して）。これは、任意の射影多様体のモデルの有限族が存在し、任意の付値がこれらのモデルの少なくとも1つ上で滑らかな中心を持つことを意味する。証明の最後で最も難しい部分は、多様体が3次元であるという事実を利用するが、すべての標数に対して有効であり、2つのモデルが与えられたとき、それぞれのモデルが解消する特異点を解消する3つ目のモデルを見つけることができることを示すことである。
アビヤンカー (1966) は、標数が 6 より大きい 3 次元多様体の特異点解消を証明した。標数に関する制限は、アビヤンカーが、標数より小さい多重度の 3 次元多様体の任意の特異点を解消できることを示し、アルバネーゼの方法を用いて、特異点を最大でも (次元)! = 3! = 6 の多重度にまで縮小できることを示したことから生じる。カットコフスキー (2009) は、アビヤンカーの証明の簡略版を示した。
CossartとPiltant （2008、2009 ）は、次元が最大3の局所一様化を証明することによって、すべての特性における3次元多様体の特異点の解消を証明し、その後、これが3次元多様体の解消を意味するというZariskiの証明が正の特性の場合にも有効であることを確認した。
標数 0 の特異点の解消は、あらゆる次元において最初に広中 (1964)によって証明されました。彼は、次元に関する非常に複雑な帰納法を用いて、非特異部分多様体に沿って繰り返しブローアップすることで、標数 0 の体上の多様体の特異点を解消できることを証明しました。彼の難解な証明の簡略版は、Bierstone & Milman (1991)、Bierstone & Milman (1997)、Villamayor (1992)、Encinas & Villamayor (1998)、Encinas & Hauser (2002)、Wlodarczyk (2005)、Kollár (2007)など、数名によって与えられました。最近の証明の中には、広中の元の証明の約 10 分の 1 の長さのものもあり、入門的な大学院の講義で教えるのに十分簡単です。この定理の解説については（Hauser 2003 ）を、歴史的な議論については（Hauser 2000 ）を参照してください。
de Jong (1996)は、特異点解消への別のアプローチを発見し、曲面に対する Jung の方法を一般化しました。これは、 Bogomolov & Pantev (1996)およびAbramovich & de Jong (1997)によって、標数 0 における特異点解消を証明するために使用されました。 De Jong の方法は、標数pにおけるすべての次元の多様体に対してより弱い結果を与えましたが、これは多くの目的において解消の代替として機能するのに十分な強さです。 De Jong は、体上の任意の多様体Xに対して、正則多様体からXへの次元を保存する支配的な固有射が存在することを証明しました。これは双有理写像である必要はないため、特異点解消ではありません。これは一般的に 1 に有限である可能性があり、 Xの関数体の有限拡張を伴うためです。デ・ヨングのアイデアは、 Xをより小さな空間Y上の曲線であるファイバーを持つファイブレーションとして表現し（これにはXの変更が必要になる場合がある）、次に次元に関する帰納法によってYの特異点を除去し、最後にファイバーの特異点を除去するというものだった。
分解の定義をすべてのスキームに拡張するのは容易である。すべてのスキームが特異点の分解を持つわけではない。Grothendieck & Dieudonné (1965 、第 7.9 節)は、局所的にネーター的スキームXが、 X上の任意の有限積分スキームの特異点を分解できる性質を持つならば、X は準優秀でなければならないことを示した。Grothendieck はまた、その逆も成り立つ可能性があることを示唆した。言い換えれば、局所的にネーター的スキームXが縮約かつ準優秀であれば、その特異点を分解できる。Xが標数 0 の体上で定義され、ネーター的である場合、これは広中定理から導かれ、Xの次元が最大 2 である場合は Lipman によって証明された。
ハウザー（2010）は、未解決の特性p分解問題に関する研究の概説を行った。
分解定理の証明は非常に難しいという根強い認識は、徐々に現実から乖離していった。…初級代数幾何学の最後の2週間で分解定理を証明することは可能である。
強力な非特異化の構成法は数多く存在するが、いずれも本質的に同じ結果をもたらす。いずれの場合も、大域オブジェクト（非特異化される多様体）は局所データ（多様体のイデアル層、例外因子のイデアル層、およびそのステップでイデアルをどの程度分解すべきかを表すいくつかの順序）に置き換えられる。この局所データを用いて、ブローアップの中心が定義される。中心は局所的に定義されるため、それらが大域的な中心と一致することを保証することが課題となる。これは、各イデアルを分解するために許容されるブローアップを定義することによって実現できる。適切に行えば、中心は自動的に一致する。別の方法として、多様体と分解の履歴（以前の局所中心）に依存する局所不変量を定義し、中心がその不変量の最大軌跡となるようにする方法がある。この定義は、この選択が意味を持ち、例外因子に対して横断的な滑らかな中心が得られるように行われる。
いずれの場合も、問題はイデアル層と追加データ（例外因子と、そのイデアルの分解の対象となる位数d ）によって形成されるタプルの特異点を解消することに帰着します。このタプルはマーク付きイデアルと呼ばれ、イデアルの位数がdより大きい点の集合は、そのコサポートと呼ばれます。マーク付きイデアルに分解が存在することの証明は、次元に関する帰納法によって行われます。帰納法は、次の 2 つのステップで展開されます。
ここで、マーク付きイデアルが最大位数であるとは、その共台上のいずれかの点でイデアルの位数がdに等しい場合をいう。強分解の重要な要素は、多様体内の点の局所環のヒルベルト・サミュエル関数の使用である。これは分解不変量の構成要素の 1 つである。
特異点の最も明白な不変量はその多重度である。しかし、これは爆発現象によって必ずしも減少するとは限らないため、改善度を測るにはより微妙な不変量を用いる必要がある。
例えば、菱形カスプ y 2 = x 5は原点に 2 位の特異点を持つ。特異点で爆発した後、通常のカスプy 2 = x 3となり、依然として 2 位の重複度を持つ。
定義多項式の次数が減少したため、特異点が改善されたことは明らかです。これは一般には起こりません。そうでない例として、 原点におけるx 2 + y 3 z + z 3 = 0 の孤立特異点が挙げられます。これを拡大すると、特異点x 2 + y 2 z + yz 3 = 0 が得られます。どちらの特異点も重複度が 2 であり、次数が 2、3、4 の単項式の和で与えられるため、この新しい特異点の方が優れているとはすぐにはわかりません。
特異点を改善するための自然なアイデアは、「最悪」の特異点の軌跡を拡大することです。 ホイットニーの傘x 2 = y 2 zはz軸上に特異点集合を持ち、その点のほとんどは通常の二重点ですが、原点にはより複雑な ピンチポイント特異点が存在するため、最悪な特異点を拡大するとは、まず原点を拡大することから始めるべきであることを示唆しています。しかし、原点を拡大すると、座標チャートの 1 つに同じ特異点が再現されます。したがって、（明らかに）「最悪」の特異点を拡大しても、特異点は改善されません。代わりに、z軸に沿って拡大することで特異点を解消できます。
ある意味で「最悪」の特異点を爆発させることで機能するアルゴリズムも存在する（Bierstone & Milman 1997など）が、この例は「最悪」の点の定義が非常に微妙である必要があることを示している。
x 2 = y m z nのようにx = yz =0に沿って特異な、より複雑な特異点の場合、原点の最悪の特異点を爆発させると、mとnが両方とも 3 以上であれば、元の特異点よりも悪い特異点x 2 = y m + n − 2 z n とx 2 = y m z m + n − 2が生成されます。
解決後、全変換（厳密変換と例外因子の和集合）は、単純正規交差型の特異点を持つ多様体となる。この種の特異点を解消せずに特異点を解消する可能性を考えるのは自然なことであり、これは滑らかで単純な正規交差点の集合上で同型となる解決を見つけることである。厳密変換が因子である場合（すなわち、滑らかな多様体の余次元1の部分多様体として埋め込むことができる場合）、単純正規交差点を回避する強力な解決が存在することが知られている。ホイットニーの傘は、正規交差特異点の爆発を回避して特異点を解消することは不可能であることを示している。
特異点を解消する自然な方法は、標準的に選択された滑らかな部分多様体を繰り返しブローアップすることです。しかし、これには次の問題があります。x 2 = y 2 z 2の特異集合は、 y軸とz軸によって与えられる一対の直線です。ブローアップするのに妥当な多様体は、原点、これら 2 つの軸のいずれか、または特異集合全体 (両方の軸) だけです。しかし、特異集合全体は滑らかではないため使用できず、2 つの軸のいずれかを選択すると、それらの間の対称性が破れるため標準的ではありません。つまり、まず原点をブローアップすることから始めなければなりませんが、これは元の特異点を再現するため、堂々巡りをしているように見えます。
この問題の解決策は、原点を爆発させても特異点の種類は変わらないものの、微妙な改善が得られるという点にある。つまり、一方の特異軸が以前の爆発の例外的な因子であるため、2つの特異軸間の対称性が破れ、どちらか一方だけを爆発させることが可能になる。ただし、この利点を活用するには、局所的には同じであっても、解決手順でこれら2つの特異点を異なる方法で処理する必要がある。これは、解決手順にメモリを与えることで実現される場合があり、各ステップでの爆発の中心は、特異点だけでなく、それを生成するのに使用された以前の爆発にも依存する。
（標数 0 の）いくつかの分解法は、すべての滑らかな射に対して関数的です。しかし、すべての（おそらく滑らかでない）射に対して強い分解関数を見つけることはできません。例として、アフィン平面A 2から円錐特異点x 2 + y 2 = z 2への写像( X , Y ) を (2 XY , X 2 − Y 2 , X 2 + Y 2 ) に写像します。XY平面は既に非特異なので、分解によって変更されるべきではなく、円錐特異点の任意の分解は、特異点をブローアップすることによって与えられる最小の分解を通して因数分解されます。しかし、 XY平面からこのブローアップへの有理写像は、正則写像に拡張されません。
最小解像度 (すべての解像度がそれらを通過するような解像度) は 1 次元と 2 次元には存在しますが、高次元では必ずしも存在するとは限りません。アティヤフロップは、最小解像度を持たない特異点の 3 次元の例を示しています。YをA 4のxy = zwの零点とし、V を原点でのYのブローアップとします。このブローアップの例外的な軌跡はP 1 × P 1と同型であり、 2 つの異なる方法でP 1にブローダウンすることができ、 Yの2 つの小さな解像度X 1とX 2が得られますが、どちらもそれ以上ブローダウンすることはできません。
Kollár (2007 、例 3.4.4、121 ページ)は、十分良い分解手順が積と可換であるとは期待できないことを示す次の例を挙げています。f : A → B がアフィン 3 空間の 2 次錐 B の原点のブローアップである場合、f × f : A × A → B × B はエタール局所分解手順では生成できません。これは、例外的な軌跡が交差する2つの成分を持つためです。
トーリック多様体の特異点は、明示的に解決しやすい高次元特異点の例となる。トーリック多様体は、格子内の円錐の集合である扇形によって定義される。特異点は、各円錐を格子の基底によって生成される円錐の和集合に分割し、対応するトーリック多様体を取ることによって解決できる。
多様体Xの特異点解消の構成では、 Xの滑らかな部分多様体であるブローアップの中心が得られない場合があります。抽象多様体Xの特異点解消の構成の多くは、 X を滑らかな多様体Wに局所的に埋め込み、 Wにおけるそのイデアルを考察し、このイデアルの標準的な特異点解消を計算することによって行われます。イデアルの特異点解消では、イデアルの位数をイデアルの特異性の度合いの尺度として使用します。イデアルの特異点解消は、局所的な中心がパッチを合わせて大域的な中心を与えることを正当化できるように行うことができます。この方法は、特異点の悪さの尺度としてヒルベルト・サミュエル関数を使用する広中氏の元の証明と比較して、比較的簡単に提示できる証明につながります。例えば、Villamayor (1992)、Encinas & Villamayor (1998)、Encinas & Hauser (2002)、Kollár (2007)の証明ではこのアイデアが使われています。しかし、この方法はWで正則なブローイングの中心を保証するだけです。
次の例は、この方法がXの (厳密な変換) と滑らかでない交差を持つ中心を生成できることを示しています。[ 3 ]したがって、抽象多様体Xに制限した場合、結果として得られる特異点解消は、Xの正則部分多様体を爆発させることによって得られるものではありません。
X を、座標x,y,z,wを持つ 4 次元アフィン平面の部分多様体とし、y 2 - x 3およびx 4 + xz 2 - w 3によって生成されるとする。これらの生成子によるイデアルの標準的な特異点解消は、 x = y = z = w =0で与えられる中心C 0をブローアップする。x チャートにおけるイデアルの変換は、 x - y 2およびy 2 ( y 2 + z 2 - w 3 )によって生成される。ブローアップの次の中心C 1は、 x = y =0で与えられる。しかし、 Xの厳密な変換はX 1であり、これはx - y 2およびy 2 + z 2 - w 3によって生成される。これは、 C 1とX 1の交点がx = y =0 およびz 2 - w 3 =0で与えられることを意味し、これは正則ではない。
Xの正則部分多様体であるブローイングの中心を生成するには、Wへの局所埋め込みにおけるそのイデアルの位数ではなく、Xの局所環のヒルベルト・サミュエル関数を使用するという、より強力な証明が存在します。[ 4 ]
分解後、厳密な変換Xと例外因子の和集合である全変換は、せいぜい単純な正規交差特異点を持つようにできる多様体です。したがって、この種の特異点を分解せずに特異点を分解する可能性を検討するのは自然なことです。問題は、滑らかで単純な正規交差点の集合上で同型となる分解を見つけることです。X が因子、つまり滑らかな多様体の余次元 1 の部分多様体として埋め込むことができる場合、単純な正規交差点を回避する強い分解の存在が真であることが知られています。一般の場合、または異なるタイプの特異点を回避するための一般化はまだ知られていません。[ 5 ]
特定の特異点を回避することは不可能である。例えば、法線交差特異点の爆発を避けて特異点を解消することはできない。実際、ピンチポイント特異点を解消するには、法線交差特異点が存在する点も含め、特異点軌跡全体を爆発させる必要がある。
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