代数幾何学コード

代数幾何学コード（ AGコードとも略される）は、リード・ソロモンコードを一般化した線形コードの一種である。ロシアの数学者VDゴッパが1982年に初めてこのコードを構築した。^[1]

これらのコードの名前は、これらを説明したゴッパの論文が出版されて以来、進化してきました。歴史的には、これらのコードは幾何学的ゴッパコードとも呼ばれてきましたが、^{[2]これはもはや符号理論の文献で使用される標準的な用語ではありません。これは、}ゴッパコードが1970年代初頭にゴッパによって構築された独特のコードクラスであるという事実によるものです。^{[3] [4] [5]}

これらのコードは、ギルバート・ヴァルシャモフ限界を超える能力を持っているため、符号理論コミュニティの関心を集めました。これが発見されたとき、ギルバート・ヴァルシャモフ限界は発見以来30年間破られていませんでした。^[6]これは、コード構築が発表されたのと同じ年に、Tfasman、Vladut、Zinkによって論文「モジュラー曲線、Shimura曲線、およびGoppaコード、ヴァルシャモフ・ギルバート限界よりも優れている」で実証されました。^[7]この論文の名前は、1980年代から1990年代の符号理論の文献全体を通じて代数幾何学コードへの言及に影響を与える混乱の原因の1つである可能性があります。

このセクションでは、代数幾何学コードの構築について説明します。このセクションは、代数幾何学コードの構築の動機となるリード・ソロモン コードの背後にあるアイデアから始まります。

代数幾何学符号はリード・ソロモン符号の一般化である。 1960年にアーヴィング・リードとギュスターヴ・ソロモンによって構築されたリード・ソロモン符号は、有限体 上の点で十分小さい次数の多項式を評価することにより、一変数多項式を使用して符号語を形成する。^[8]${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

正式には、リード・ソロモン符号は次のように定義される。 とする。正の整数 とする。 とする。リード・ソロモン符号は評価符号である。${\displaystyle \mathbb {F} _{q}=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{q}\}}$${\displaystyle k\leq n\leq q}$$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}[x]_{<k}:=\left\{f\in \mathbb {F} _{q}[x]:\deg f<k\right\}}$$${\displaystyle RS(q,n,k)}$$${\displaystyle RS(q,n,k)=\left\{\left(f(\alpha _{1}),f(\alpha _{2}),\dots ,f(\alpha _{n})\right):f\in \mathbb {F} _{q}[x]_{<k}\right\}\subseteq \mathbb {F} _{q}^{n}.}$$

ゴッパは、 はアフィン直線と見なすことができ、それに対応する射影直線があることを指摘した。すると、 の多項式（すなわち、上の次数未満の多項式）は、の無限遠点における極許容度が を超えない多項式として考えることができる。^[6]${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}[x]_{<k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}}$

この考えを念頭に置いて、ゴッパはリーマン・ロッホの定理に着目した。リーマン・ロッホ空間の元は、まさに極の位数が与えられた閾値以下に制限された関数であり、^{[9]制限は対応する}因子の係数にエンコードされている。これらの関数を上の代数曲線上の有理点（つまり、曲線 上の点）で評価すると、リード・ソロモン構成と同じ意味でのコードが得られる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{2}}$${\displaystyle X}$

しかし、代数幾何学符号のパラメータは代数関数体と結びついているため、符号の定義は有限体上の代数関数体の言語で与えられることが多い。^[10]それでも、代数曲線との結びつきを覚えておくことは重要であり、これはAG符号をリード・ソロモン符号の拡張として考える上で、より幾何学的に直感的な方法を提供する。^[9]

正式には、代数幾何学コードは次のように定義されます。^[10]が代数関数体、が1 次の の異なる場所の和、が から互いに素な台を持つ因子であるとします。因子とに関連付けられた代数幾何学コードは、次のように定義されます。これらのコードに関する詳細は、入門書^[6]と符号理論の上級書の両方に記載されています。^{[10] [11]}${\displaystyle F/\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle D=P_{1}+\dots +P_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F/\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C_{\mathcal {L}}(D,G)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle C_{\mathcal {L}}(D,G):=\lbrace (f(P_{1}),\dots ,f(P_{n})):f\in {\mathcal {L}}(G)\rbrace \subseteq \mathbb {F} _{q}^{n}.}$$

次のようなことが分かる

${\displaystyle RS(q,n,k)={\mathcal {C}}_{\mathcal {L}}(D,(k-1)P_{\infty })}$

ここで、は射影直線上の無限遠点であり、は他の -有理点の合計です。 ${\displaystyle P_{\infty}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}}$${\displaystyle D=P_{1}+\dots +P_{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

エルミート曲線は、体 上の方程式で与えられます。^[2]この曲線は、ハッセ・ヴェイユ境界を等式で満たし、したがって 上のアフィン点の最大数を持つため、特に重要です。^[12]代数幾何学コードに関して、これはエルミートコードが、定義されているアルファベットに比べて長いことを意味します。^[13]$${\displaystyle x^{q+1}=y^{q}+y}$$${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}}$

エルミート関数体のリーマン・ロッホ空間は次のように与えられます。^[2]で与えられるエルミート関数体、に対して、リーマン・ロッホ空間は、上の無限遠点である。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}(x,y)}$${\displaystyle x^{q+1}=y^{q}+y}$${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(mP_{\infty })}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(mP_{\infty })=\left\langle x^{a}y^{b}:0\leq b\leq q-1,aq+b(q+1)\leq m\right\rangle ,}$$${\displaystyle P_{\infty}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{q}(\mathbb {F} _{q^{2}})}$

これにより、1 点エルミート コードは次のように定義できます。を 上で定義されたエルミート曲線とします。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}}$

を 上の無限大点とし、を以外の上の異なる-有理点によってサポートされる因子とします。 ${\displaystyle P_{\infty}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{q}(\mathbb {F} _{q^{2}})}$$${\displaystyle D=P_{1}+\cdots +P_{n}}$$${\displaystyle n:=q^{3}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{q}}$${\displaystyle P_{\infty}}$

1点エルミートコードは ${\displaystyle C(D,mP_{\infty })}$

${\displaystyle C(D,mP_{\infty }):=\left\lbrace (f(P_{1}),\dots ,f(P_{n})):f\in {\mathcal {L}}(mP_{\infty })\right\rbrace \subseteq \mathbb {F} _{q^{2}}^{n}.}$