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数論において、ヒーグナーの定理またはスターク・ヒーグナーの定理[ 1 ]は、整数環が主イデアル領域で ある二次虚数体の完全なリストを確立する。これは、与えられた固定類数を持つ二次虚数体の数を決定するというガウス類数問題 の特殊なケースを解決する。
Q を有理数の集合とし、d を平方因子を持たない整数とする。Qの二次拡張です。クラス番号はは、整数環がは主イデアル領域である。ベーカー・ヒーグナー・スタークの定理は次のように述べることができる。
これらはヒーグナー数として知られています。
d を判別式 Dに置き換えることでこのリストはしばしば次のように書かれます: [ 2 ]
この結果は、ガウスが著書『算術研究』（1798年）の第303節で最初に予想したものでした。 1952年にクルト・ヘーグナーによって実質的に証明されましたが[ 3 ] 、ヘーグナーの証明は、数学者のハロルド・スタークが1967年に証明を発表するまで受け入れられませんでした[ 4 ]。スタークは、ヘーグナーの研究と多くの共通点がありましたが、証明は異なると考えていました[ 5 ] 。ヘーグナーは「誰も彼の業績を真に理解する前に亡くなった」のです[ 6 ] 。スタークは（Stark 1969a ）で、ヘーグナーの証明を詳しく調べ、ヘーグナーの証明の欠陥が何であったかを明らかにしました。他の同時代の論文では、モジュラー関数を用いた様々な類似の証明が発表されました[ 7 ] 。（ヘーグナーの論文は主に合同数問題を扱っており、これもモジュラー関数を用いていました[ 8 ]） 。
アラン・ベイカーの少し前の1966年の証明は、全く異なる原理を用いており、計算量を有限に抑えることができた。スタークの1963/4年の論文では既にこの計算が示されていた。ベイカーはその手法でフィールズ賞を受賞した。スタークは後に、ベイカーの証明は3つの対数の線形形式を含むが、ゲルフォンドとリニックによって1949年から既に知られていた2つの対数に関する記述に還元できることを指摘した。[ 9 ]
スタークの 1969 年の論文( Stark 1969a )もウェーバーの 1895 年のテキストを引用し、ウェーバーが「ある方程式の還元可能性がディオファントス方程式につながるという観察だけをしていれば、クラス 1 の問題は 60 年前に解決されていたでしょう」と指摘した。ブライアン バーチは、ウェーバーの本、そして基本的にモジュラー関数の分野全体が半世紀にわたって関心を失っていたと指摘し、「残念なことに、1952 年には、ヒーグナーの業績を評価できるほどウェーバー代数学に精通している人は誰も残っていなかった」と述べている。[ 10 ]スタークの 1969 年の論文は、この結果をヒーグナーの定理と呼ぶための良い論拠と見なすことができる。
スターク[ 11 ] 、デューリング[ 12 ]、シーゲル[ 13 ] 、チョウラ[ 14 ]の直後の数年間で、モジュラー関数によるわずかに異なる証明が発表された。この種の他のバージョンも長年にわたって登場している。例えば、1985年にモンサー・ケンクはクライン四次関数を用いた証明を発表した（ただし、ここでもモジュラー関数を利用している）。[ 15 ]また、1999年にはイミン・チェンがモジュラー関数による別の異なる証明を発表した（シーゲルの概要に従っている）。[ 16 ]
GrossとZagier（1986） （Gross & Zagier 1986 ）の研究とGoldfeld（1976）の研究を組み合わせると、別の証明も得られます。[ 17 ]
一方、d > 0が無限に存在するかどうかは不明である。クラス番号1を持つフィールド。計算結果によると、このようなフィールドは多数存在する。クラス番号1を持つ数値フィールドの一覧には、これらのフィールドの一部が示されている。
