絶対値（代数）

代数学において、絶対値（評価、絶対値、ノルムとも呼ばれるが、^[1]「ノルム」は通常、体上の特定の種類の絶対値を指す）は、体または積分領域内の要素の「大きさ」を測定する関数である。より正確には、Dが積分領域である場合、絶対値とは、 Dから実数Rへの次の条件を満たす写像|x|である。

これらの公理から、|1| = 1 かつ |−1| = 1 となる。さらに、任意の正の整数 nに対して、

| n | = |1 + 1 + ... + 1 ( n回)| = |−1 − 1 − ... − 1 ( n回)| ≤  n。

古典的な「絶対値」は、たとえば |2| = 2 のようなものです。ただし、古典的な絶対値の 平方根(ただし、その二乗ではありません) など、他の多くの関数も上記の要件を満たします。

絶対値は、計量（およびトポロジー）を誘導します。${\displaystyle d(f,g)=|fg|.}$

• 整数の標準絶対値。
• 複素数上の標準絶対値。
• 有理数上のp進絶対値。
• R が体F上の有理関数体であり、 がF上の固定された既約多項式である場合、以下はR上の絶対値を定義します。Rにおいてをと定義します。ここで、 および${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle 2^{-n}}$${\displaystyle f(x)=p(x)^{n}{\frac {g(x)}{h(x)}}}$${\displaystyle \gcd(g(x),p(x))=1=\gcd(h(x),p(x)).}$

自明な絶対値は、x = 0 のときに | x | = 0 となり 、それ以外のときに | x | = 1 となる絶対値です。^{[2]すべての積分領域は、少なくとも自明な絶対値を持つことができます。自明な値は、}有限体 上で唯一可能な絶対値です。なぜなら、任意の非ゼロ元をあるべき乗で 1 にすることができるからです。

絶対値がすべてのxとyに対してより強い特性 | x  +  y | ≤ max(| x |, | y |) を満たす場合、 | x | は超距離的絶対値または非アルキメデスの絶対値と呼ばれ、そうでない場合はアルキメデスの絶対値と呼ばれます。

| x | ₁と | x | ₂が同じ積分領域D上の 2 つの絶対値である場合、すべてのxに対して| x | ₂ < 1 である場合に限り、 | x | _{1 < 1 である 2 つの絶対値は}等価です。2 つの非自明な絶対値が等価である場合、ある指数eに対して、すべてのxに対して| x | ₁ ^e = | x | _{2 が}成り立ちます。絶対値を 1 未満の累乗にすると別の絶対値になりますが、1 より大きい累乗にすると必ずしも絶対値になるわけではありません (たとえば、実数の通常の絶対値を 2 乗すると、規則 | x + y | ≤ | x |+| y | に違反するため、絶対値ではない関数が生成されます)。等価性までの絶対値、つまり絶対値の同値類は、位と呼ばれます。

オストロフスキーの定理は、有理数 Qの非自明な桁は、各素数pの通常の絶対値とp進絶対値であることを述べている。^[3] 与えられた素数pに対して、任意の有理数q はp ⁿ ( a / b )と表記される。ここで、 aとbはpで割り切れない整数であり、n は整数である。qのp進絶対値は

${\displaystyle \left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.}$

通常の絶対値とp進絶対値は上記の定義によれば絶対値なので、これらは場所を定義します。

ある超距離絶対値と任意の基数b  > 1に対して、 x  ≠ 0 かつν (0) = ∞ に対してν ( x ) = −log _b | x | と定義すると（∞ はすべての実数より大きくなるように順序付けられる）、 DからR ∪ {∞}への関数が得られ 、次の特性を持つ：

• ν ( x ) = ∞ ⇒ x = 0,
• ν ( xy ) = ν ( x ) +  ν ( y )、
• ν ( x + y ) ≥ min(ν( x ), ν ( y ))。

このような関数は、ブルバキの用語では評価として知られていますが、他の著者は絶対値に対して評価という用語を使用し、評価ではなく指数評価と言います。

絶対値を持つ整域Dが与えられている場合、すべての ε > 0 に対して、すべての整数m , n > Nに対して| x _m − x _n | < εを満たすような正の整数Nが存在することを要求することで、絶対値に関する D の元のコーシー列を定義できます。コーシー列は、点ごとの加算と乗算の下で環を形成します。また、| a n | がゼロに収束するような D の元の列 ( a n ) としてヌル列を定義することもできます。ヌル_列はコーシー列_の環における素イデアルであり、したがって商環は整域です。領域D はこの商環に埋め込まれ、絶対値 | x |に関するDの完備化と呼ばれます。

体は整域なので、これは絶対値に関する体の完備化の構成でもあります。結果が単なる整域ではなく体であることを示すには、ヌル列が最大イデアルを形成することを示すか、逆を直接構築します。後者は、商環のすべての非ゼロ元に対して、列の最後のゼロ元を超える点から始まる列を取ることで簡単に行うことができます。商環の任意の非ゼロ元は、そのような列とはヌル列だけ異なり、点ごとに反転を取ることで、代表的な逆元を見つけることができます。

アレクサンダー・オストロフスキーの別の定理によれば、アルキメデスの絶対値に関して完備な任意の体は実数または複素数と同型であり、その値は通常の値と同等である。 ^[4] ゲルファント＝トルンハイムの定理によれば、アルキメデスの付値を持つ任意の体はCの部分体と同型であり、その値はC上の通常の絶対値と同等である。^[5]

Dが絶対値| x |を持つ整域である場合、絶対値の定義をDの分数体に拡張して、

${\displaystyle |x/y|=|x|/|y|.\,}$

一方、F が超計量絶対値 | x |を持つ体である場合、 | x | ≤ 1となるFの元の集合は付値環 を定義します。これはFの部分環Dであり、 Fのすべての非ゼロ元xに対して、 xまたはx ⁻¹の少なくとも 1 つがDに属します。Fは体であるため、D には零因子がなく、整域です。 D には、 | x | < 1となるすべてのxからなる唯一の最大イデアルがあり、したがって局所環です。