最小公倍数

数学において、最小公倍数（略称：LCD）とは、一連の分数の分母の最小公倍数のことです。分数の加算、減算、比較を簡略化します。

一連の分数の最小公倍数は、すべての分母の倍数となる最小の数、つまり最小公倍数です。分母の積は常に共通分母になります。例：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}\;=\;{\frac {3}{6}}+{\frac {4}{6}}\;=\;{\frac {7}{6}}}$

しかし、それは必ずしも最小公倍数とは限りません。例えば、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}\;=\;{\frac {15}{36}}+{\frac {22}{36}}\;=\;{\frac {37}{36}}}$

ここで、36は12と18の最小公倍数です。2つの数の積である216も共通分母ですが、その分母で計算するにはより大きな数が必要になります。

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}={\frac {90}{216}}+{\frac {132}{216}}={\frac {222}{216}}.}$

数値ではなく変数の場合も、同じ原理が適用されます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {a}{bc}}+{\frac {c}{b^{2}d}}\;=\;{\frac {abd}{b^{2}cd}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}cd}}\;=\;{\frac {abd+c^{2}}{b^{2}cd}}}$

LCDを計算するいくつかの方法は、最小公倍数§ 計算にあります。

同じ分数は、さまざまな形で表現できます。分子と分母の比率が同じであれば、それらの分数は同じ数を表します。例えば：

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {6}{9}}={\frac {12}{18}}={\frac {144}{216}}={\frac {200,000}{300,000}}}$

なぜなら、それらはすべて1を掛けたもので、分数で表すと次のようになるからです。

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {6}{6}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {72}{72}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {100,000}{100,000}}.}$

分数を足したり、引いたり、比較したりするには、それぞれの分母が同じ「共通分母」である場合が最も簡単です。たとえば、共通分母を持つ分数の分子は単純に足し合わせることができ、${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {6}{12}}={\frac {11}{12}}}$そしてそれは${\displaystyle {\frac {5}{12}}<{\frac {11}{12}}}$各分数の共通分母は12なので、共通分母を計算しなければ、何が${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}}$等しいか、${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$より大きいか小さいか${\displaystyle {\frac {11}{18}}}$共通分母はどれでも構いませんが、通常は最小公倍数が望ましいです。なぜなら、そうすることで残りの計算が可能な限り簡単になるからです。^{[ 2 ]}

LCDには多くの実用的な用途があり、例えば、レンガ積み、タイル張り、テセレーションなどにおいて、長さの異なる2種類の物体を同じ位置から始まり同じ位置で終わる列に並べるために必要な数を決定するのに利用できます。また、従業員がx日ごとにy日間の休暇を取得するような勤務スケジュールを計画する際にも役立ちます。

音楽のリズムにおいて、LCD（最小単位）は、クロスリズムやポリメーターにおいて、 2つ以上の拍子分割が与えられた場合に時間を数えるのに必要な最小の音符数を決定するために使用されます。例えば、多くのアフリカ音楽は、各小節が4と3で分割され、そのLCDが12であるため、¹² _{8の西洋記譜法で記録されています。}

• 異常なキャンセル
• 最大公約数
• 部分分数分解は、共通でない分母に分数を足し合わせるプロセスを逆にしたものです。