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数学において、アーベル多様体の算術とは、アーベル多様体、あるいはアーベル多様体の族の数論を研究する分野である。これは、現在楕円曲線として認識されているものに関するピエール・ド・フェルマーの研究に遡り、結果と予想の両面において、算術幾何学の非常に重要な分野となっている。これらの予想のほとんどは、数体K上のアーベル多様体Aに対して、あるいはより一般的には（大域体、あるいはより一般的な有限生成環や体に対して）立てることができる。
概念間には若干の矛盾が存在する。整数点は、ある意味でアフィン幾何学に属する一方、アーベル多様体は射影幾何学において本質的に定義される。整数点に関するジーゲルの定理などの基本的な結果は、ディオファントス近似の理論から得られる。
基本的な結果であるディオファントス幾何学におけるモルデル・ヴェイユの定理は、 A ( K )（ K上のA上の点の群）が有限生成アーベル群であることを述べている。少なくともAが楕円曲線である場合、その可能なねじれ部分群に関する多くの情報が知られている。階数の問題はL関数と密接に関係していると考えられている（後述参照）。
ここでのトルソル理論はセルマー群とテイト・シャファレビッチ群につながるが、後者（推測的に有限）は研究が難しい。
高さの理論は、アーベル多様体の算術において重要な役割を果たします。例えば、標準的なネロン・テート高さは、バーチ予想とスウィンナートン・ダイアー予想の記述に現れる注目すべき性質を持つ二次形式です。
アーベル多様体AをKの素イデアル(例えば素数p )で割って有限体上のアーベル多様体A pを得ることは、ほとんどすべてのpに対して可能である。特異点を獲得して縮約が退化するような「悪い」素数は、非常に興味深い情報を明らかにすることが知られている。数論ではよくあることだが、「悪い」素数は理論においてかなり積極的な役割を果たす。
ここでは、（実質的に） pを法とする還元に対する右随伴関係の洗練された理論、すなわちネロンモデルを常に避けることはできない。楕円曲線の場合、それを記述するジョン・テイトのアルゴリズムが存在する。
A pのようなアーベル多様体については、局所ゼータ関数の定義が利用可能です。A 自体の L 関数を得るには、そのような局所関数の適切なオイラー積を取ります。「悪い」素数の有限個の因子を理解するには、 A のTate 加群、すなわちエタールコホモロジー群 H 1 (A)と (双対) な、そしてその上のガロア群作用を参照する必要があります。このようにして、A のハッセ・ヴェイユ L 関数の適切な定義が得られます。一般に、関数方程式などのその性質は依然として予想です。谷山・志村予想(2001 年に証明されました) は単なる特殊なケースだったので、これは驚くべきことではありません。
バーチとスウィンナートン＝ダイアーの予想は、このL関数に基づいて提起されたものである。これは、整数sにおけるL関数L( s )の値に関する一般理論の中でも特に興味深い側面の一つであり、それを裏付ける多くの実証的証拠が存在する。
カール・フリードリヒ・ガウス（レムニスケート関数の場合を知っていた）の時代から、これらのアーベル多様体の特別な役割が知られていた。追加の自己同型写像、そしてより一般的には自己準同型写像を含む。環の観点からCM型アーベル多様体の定義があり、最も豊かなクラスが特定されています。これらは算術において特殊です。これは、L関数においてかなり好ましい形で現れます。必要な調和解析は、より一般的な保型表現を必要とするのではなく、すべてポントリャーギン双対型です。これは、テイト加群をガロア加群としてよく理解していることを反映しています。また、予想代数幾何学（ホッジ予想とテイト予想）の観点からは、これらを扱うのが難しくなります。これらの問題では、特殊な状況が一般的な状況よりも要求が厳しくなります。
楕円曲線の場合、クローネッカー青春の夢は、レオポルド・クローネッカーが提案したプログラムであり、CM型の楕円曲線を用いて虚二次体に対して類体論を明示的に行うというものであった。これは、有理数体に対して1の根を用いることで類体論を明示的に行うのと同様の方法である。この方法は一般化されるが、ある意味では明示的な情報が失われる（これは多変数複素数に典型的なことである）。
ユーリ・マニンとデイビッド・マムフォードによるマニン・マムフォード予想は、ミシェル・レイノーによって証明され、[ 1 ] [ 2 ]ヤコビ多様体J内の曲線Cは、C = Jでない限り、 J内の有限位数 (ねじれ点)の点を有限個しか含まないことを述べている。ボゴモロフ予想のように、この主張を非ねじれ点に一般化した、より一般的なバージョンもある。
