部分空間定理

数学において、部分空間定理とは、射影空間内の高さの小さい点は有限個の超平面上に存在するというものです。これは、ヴォルフガング・M・シュミット (1972) によって得られた結果です。

部分空間定理は、L ₁ ,..., L _{n が}代数係数を持つn変数の線形独立な 線型 形式であり、ε>0が任意の実数である場合、非ゼロ整数点xは

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }}$

Q ⁿの有限個の固有部分空間に存在する。

すべての解を含む部分空間の数を決定する定理の定量的な形式もシュミットによって得られ、定理はシュリケヴァイ (1977) によって一般化され、数体上のより一般的な絶対値が可能になりました。

この定理は、積分点に関するシーゲルの定理やS単位方程式の解など、ディオファントス方程式の結果を得るために使用できます。^[1]

部分空間定理の次の系は、しばしば部分空間定理と呼ばれる。a 1 ,..., a _nが代数的で、1、a ₁ ,..., a _{n が}Q上で線型独立であり_、 ε>0が任意の実数である場合、有理数n組( x ₁ /y,..., x _n /y) は有限個しか存在せず、

${\displaystyle |a_{i}-x_{i}/y|<y^{-(1+1/n+\epsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

n = 1 の特殊化により、 Thue-Siegel-Rothの定理が得られます。また、指数 1+1/ n +ε は、ディオファントス近似に関するディリクレの定理によって最もよく可能であることにも注意してください。

• ボンビエリ、エンリコ、ギュブラー、ウォルター（2006）。『ディオファントス幾何学の高さ』新数学モノグラフ第4巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-71229-3. MR  2216774. Zbl  1130.11034.
• Schlickewei, Hans Peter (1977). 「ノルム形式方程式について」. J. Number Theory . 9 (3): 370–380. doi : 10.1016/0022-314X(77)90072-5 . MR  0444562.
• Schmidt, Wolfgang M. (1972). 「ノルム形式方程式」. Annals of Mathematics . 第 2 シリーズ. 96 (3): 526–551. doi :10.2307/1970824. JSTOR  1970824. MR  0314761.
• Schmidt, Wolfgang M. (1980)。ディオファントス近似。数学講義ノート。第785巻（1996年、若干の訂正版）。ベルリン：Springer-Verlag。doi : 10.1007 / 978-3-540-38645-2。ISBN 3-540-09762-7. MR  0568710. Zbl  0421.10019.
• シュミット、ヴォルフガング M. ( 1991)。ディオファントス近似とディオファントス方程式。数学講義ノート。第 1467 巻。ベルリン: Springer -Verlag。doi :10.1007/ BFb0098246。ISBN 3-540-54058-X。MR  1176315。S2CID 118143570。Zbl 0754.11020  。 ​