局所ゼータ関数

数論では、局所ゼータ関数 Z ( V ,  s )（合同ゼータ関数またはハッセ・ヴェイユゼータ関数と呼ばれることもある）は次のように定義される。

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {N_{k}}{k}}(q^{-s})^{k}\right)}$

ここで、Vはq個の元を持つ体Fq上の非特異 n次元射影代数多様体であり、Nk_はFqの有限体拡大Fqk上で定義された_Vの_^点の数である。^[1]

変数変換t  =  q ^{− s}を行う と、

${\displaystyle {\mathit {Z}}(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}{\frac {t^{k}}{k}}\right)}$

変数における形式的な冪級数として。 ${\displaystyle t}$

同様に、局所ゼータ関数は次のように定義されることもあります。

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{dt}}\log {\mathit {Z}}(V,t)=\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}t^{k-1}\ .}$

言い換えれば、有限体F _qに係数を持つ局所ゼータ関数Z ( V ,  t )は、その対数微分によって、次数k拡大F _{q ^k}におけるVを定義する方程式の解の個数N _{k が}生成される関数として定義されます。

有限体Fが与えられたとき、同型_を除い て、

${\displaystyle [F_{k}:F]=k\,}$、

k = 1, 2, ...である。Fがq個の元を持つ唯一の体であるとき、F _{k は}の元を持つ唯一の体である。F上で定義された多項式方程式の集合、または代数多様体Vが与えられれば、次の数を数えることができる。 ${\displaystyle q^{k}}$

${\displaystyle N_{k}\,}$

F _kの解を生成関数を作成する

${\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,}$。

Z ( t )の正しい定義は、log ZをGと等しく設定することなので、

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

そして、G (0) = 0であり、Z ( t )は先験的に形式的な冪級数であるため、 Z (0) = 1である。

対数微分

${\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

生成関数に等しい

${\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$。

例えば、すべてのN _kが1であると仮定します。これは、例えばX = 0のような方程式から始めて、幾何学的にVを点と 見なした場合に起こります。すると、

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

は対数の展開です（| t | < 1の場合）。この場合、

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .}$

もっと興味深いことに、V をF上の射影直線とします。F に q 個の要素がある場合、これには無限遠点1 点を含めてq + 1 個の点があります。したがって、

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

そして

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

| t | は十分に小さいので、

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

これらの関数に関する最初の研究は、1923年のエミール・アルティンの博士論文で行われた。アルティンは超楕円曲線の場合の結果を得て、曲線に適用した場合の理論のさらなる主要点を予想した。この理論はその後、FKシュミットとヘルムート・ハッセによって発展した。^[2]局所ゼータ関数の最も初期の非自明な例は、カール・フリードリヒ・ガウスの『算術論』第358条に暗示されている。そこでは、複素乗算を持つ有限体上の楕円曲線の特定の例について、円分法によって点が数えられている。^[3]

定義と例については、^{[4]も参照。}

GとZの定義の関係は、さまざまな方法で説明できます。(たとえば、以下のZの無限積の公式を参照してください。) 実際には、 Z はtの有理関数になり、これは有限体上の楕円曲線であるVの場合でも興味深いことです。

局所Zゼータ関数を掛け合わせると、グローバルゼータ関数が得られる。 ${\displaystyle \zeta}$

${\displaystyle \zeta =\prod Z}$

これらは通常、異なる有限体 (たとえば、p がすべての素数上で実行される場合のZ / p Zの体族全体) を伴います。

これらの体では、変数t はp ^−sに置き換えられます。ここで、s はディリクレ級数で伝統的に使用される複素変数です。(詳細については、ハッセ–ヴェイユゼータ関数を参照してください。)

したがって、前のセクションで例として使用した 2 つのケースにおけるZのグローバル積は、とするととなり、となります。 ${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$${\displaystyle q=p}$

特異でないF上の射影曲線Cについては、

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

ここでP ( t ) は 2 g次多項式であり、g はCの種数である。書き直すと

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

有限体上の曲線に対するリーマン予想は、

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

たとえば、楕円曲線の場合、2 つの根があり、根の絶対値がq ^1/2であることを示すのは簡単です。ハッセの定理は、それらの根の絶対値が同じであるというもので、これは点の数に直接影響を及ぼします。

アンドレ・ヴェイユは、1940年頃（コント・ランデュス誌、1940年4月号の注記）、一般の場合にこれを証明した。その後、彼は関連する代数幾何学の執筆に多くの時間を費やした。これが彼を一般ヴェイユ予想へと導いた。アレクサンダー・グロタンディークは、これらを解決するためにスキーム理論を開発した。一世代後、ピエール・ドリーニュが証明を完成させた。（一般理論の基本式については、 エタール・コホモロジーを参照。）

これはフロベニウス写像に対するレフシェッツのトレース公式の結果である。

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

ここでは、を元を持つ有限体F上の有限型の分離スキームであり、 Frob _qはのコンパクトな台を持つ -進エタールコホモロジー上に作用する幾何フロベニウスであり、 を体Fの代数的閉包に持ち上げたものである。これは、ゼータ関数が の有理関数であることを示す。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$

の無限積の式 は ${\displaystyle Z(X,t)}$

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

ここで、積はXのすべての閉点xにわたって値域を持ち、deg( x )はxの次数です。局所ゼータ関数Z(X,t)は、変数変換q ^−sを介して複素変数sの関数として見られます。

X が上で議論した多様体Vである場合、閉点は上の点Pの同値類x=[P]であり、2 つの点はF上の共役であれば同値である。 xの次数はP の座標によって生成されるFの体拡大の次数である。無限積Z(X, t)の対数微分は、上で議論した生成関数であることが容易にわかる。すなわち、 ${\displaystyle {\overline {V}}}$

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$。

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