無限降下法による証明

2の平方根（√2）が無理数（つまり、 2つの整数の分数として表せない）であるという証明は古代ギリシャ人によって発見され、おそらく無限降下法による証明の最も古い既知の例である。ピタゴラス派は、正方形の対角線は辺と通約できないこと、つまり現代の言葉で言えば、2の平方根が無理数であることを発見した。この発見の時期や状況については確かなことはほとんど知られていないが、メタポントゥムのヒッパソスの名前がよく挙げられる。しばらくの間、ピタゴラス派は2の平方根が無理数であるという発見を公式の秘密として扱い、伝説によると、ヒッパソスはそれを漏らしたために殺害された。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} 2の平方根は、例えばコンウェイとガイ（1996）のように、「ピタゴラス数」または「ピタゴラス定数」と呼ばれることもある。^{[ 9 ]}

古代ギリシャ人は代数学を持たなかったため、無限降下法による幾何学的証明を考案した（ジョン・ホートン・コンウェイは、より分かりやすい別の無限降下法による幾何学的証明を提示している^{[ 10 ]}）。以下は、同様の方法による代数的証明である。

√2が有理数であると仮定すると、次のように書ける。

$\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$

2つの自然数pとqについて。すると、2乗すると

${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}},}$

${\displaystyle 2q^{2}=p^{2},}$

したがって、2 はp ²を割り切る必要があります。2 は素数なので、ユークリッドの補題によりpも割り切る必要があります。したがって、p = 2rとなります ( rはある整数) 。

しかしその後、

${\displaystyle 2q^{2}=(2r)^{2}=4r^{2},}$

${\displaystyle q^{2}=2r^{2},}$

これは、 qも2で割り切れることを示しています。したがって、q = 2s（ sはある整数）となります。

これにより

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}}$。

したがって、√2を有理数として表すことができれば、常に小さな部分を持つ有理数として表すことができ、さらに小さな部分を持つ有理数として表すことができ、無限に続くことになる。しかし、これは自然数の集合では不可能である。√2は実数であり、実数は有理数または無理数のいずれかであるため、残された唯一の選択肢は √2 が無理数であるということである。^{[ 11 ]}

（あるいは、これは√2が有理数であれば、分数による「最小」表現は存在し得ないことを証明する。なぜなら、p / qの「最小」表現を見つけようとすると、それよりも小さい表現が存在することになり、同様の矛盾が生じるからである。）

正の整数kに対して、√ k は整数ではなく有理数であり、自然数mとnに対して⁠ m / n ⁠と表せると仮定し、q を√ kより小さい最大の整数(つまり、qは√ kの床関数) とする。すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[6pt]&={\frac {m\left({\sqrt {k}}-q\right)}{n\left({\sqrt {k}}-q\right)}}\\[6pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{\sqrt {k}}-nq}}\\[6pt]&={\frac {\left(n{\sqrt {k}}\right){\sqrt {k}}-mq}{n\left({\frac {m}{n}}\right)-nq}}\\[6pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}\end{aligned}}}$

分子と分母はそれぞれ、正だが 1 未満の式 ( √ k  − q ) を掛け、その後個別に簡略化しました。したがって、結果として得られる積、例えばm′とn′は、それぞれ整数であり、 mとnより小さいです。したがって、 √ kを表すためにどのような自然数mとn が使われても、同じ比率を持つより小さい自然数m′ < mとn′ < nが存在します。しかし、自然数上での無限降下は不可能なので、これは√ k が自然数の比率として表せるという元の仮定を否定します。 ^{[ 12 ]}     

解けない$\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4}}$整数で表すと、解が存在しないことを示すのに十分である。$q^{4}+s^{4}=t^{4}}$整数では、これはフェルマーの最終定理の特殊なケースであり、後者の歴史的な証明は、無限降下法を用いて前者をより広く証明することによって進められました。次のより最近の証明は、最小のそのような三角形が存在しないため、ピタゴラス三角形の任意の 2 つの辺がそれぞれ正方形または 2 つの正方形になることはできないことをさらに広く証明することによって、これら 2 つの不可能性を実証しています。^{[ 13 ]}

そのようなピタゴラス三角形が存在すると仮定します。すると、それを縮小して、同じ性質を持つ原始ピタゴラス三角形（つまり、1以外の共通因数を持たない三角形）を得ることができます。原始ピタゴラス三角形の辺は次のように表すことができます。${\displaystyle x=2ab,}$${\displaystyle y=a^{2}-b^{2},}$${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$aとbが互いに素であり、a+bが奇数であるため、 yとzも両方とも奇数である。yとzがそれぞれ奇数である という性質は、yもzも2乗平方根にはなり得ないことを意味する。さらに、xが平方根または2乗平方根である場合、aとbはそれぞれ平方根または2乗平方根である。どの2辺がそれぞれ平方根または2乗平方根であると仮定するかによって、3つのケースがある。

• yとz：この場合、 yとzはどちらも正方形です。しかし、直角三角形の辺は${\displaystyle {\sqrt {yz}}}$そして${\displaystyle b^{2}}$斜辺$\displaystyle a^{2}}$また、正方形の脚を含む整数辺を持つ（${\displaystyle b^{2}}$）と正方形の斜辺（$\displaystyle a^{2}}$）となり、斜辺は小さくなる（$\displaystyle a^{2}}$に比べ${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$)
• zとx： zは正方形です。直角三角形の辺の長さは整数です。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$斜辺${\displaystyle {\sqrt {z}}}$また、2つの側面がある（${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$）それぞれが正方形または2倍の正方形であり、より小さい斜辺（${\displaystyle {\sqrt {z}}}$に比べ${\displaystyle z}$)。
• yとx： yは正方形です。直角三角形の辺の長さは整数です。${\displaystyle b}$そして${\displaystyle {\sqrt {y}}}$斜辺${\displaystyle a}$2 つの辺 ( bとa )を持ち、それぞれの辺は正方形または正方形の 2 倍で、元の三角形よりも斜辺が小さくなります (${\displaystyle a}$に比べ${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$)

いずれの場合も、2辺がそれぞれ正方形または2倍の正方形であるピタゴラス三角形が、より小さな三角形を生み出し、それがさらに小さな三角形を生み出す、といった具合に連鎖的に続いていきます。このような連鎖は無限に続くことはできないため、そのような三角形が存在するという前提自体が間違っていることになります。

これは、方程式が

${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4},}$

${\displaystyle r^{4}+s^{2}=t^{4},}$そして

$\displaystyle r^{4}+s^{4}=t^{2}}$

非自明な解は存在し得ない。なぜなら、非自明な解は2辺が正方形であるピタゴラス三角形を与えるからである。

フェルマーの定理のn = 4 の場合の無限降下法による同様の証明については、Grant と Perella ^{[ 14 ]}および Barbara ^{[ 15 ]の論文を参照してください。}