対角線形式

数学において、対角形式とは、異なる不定項を含む交差項のない代数形式（同次多項式）である。つまり、次の形式である。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{x_{i}}^{m}\ }$

ある次数mについて。

このような形式Fと、それが射影空間で定義する超曲面 F = 0 は、多くの対称性を持ち、幾何学的に非常に特殊です。また、フェルマー曲線などの有名なケースや、ディオファントス方程式の理論でよく知られている他の例も含まれます。

彼らの理論については、代数幾何学、ヤコビ和による局所ゼータ関数、ハーディ・リトルウッド円法など、多くの研究がなされてきました。

任意の2次同次多項式は、変数置換によって対角形式に変換できます。^[1]高次同次多項式は、そのカタレクティカントがゼロでない場合にのみ対角化できます。

このプロセスは、2 次形式 ( 2 次形式)を表す対称行列の 固有値に基づいて、特に単純になります。

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0}$P ²の単位円である

${\displaystyle X^{2}-Y^{2}-Z^{2}=0}$はP ²における単位双曲線です。

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=0}$は、27 本の直線でP ³のフェルマーの 3次曲面を表します。この例の 27 本の直線は、明示的に記述するのは簡単です。つまり、 aとbが 3 乗 -1 の固定数である ( x  : ax  : y  : by )の形式の 9 本の直線と、座標の順列によるそれらの 18 本の共役線です。

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$P ³にK3 曲面を与えます。