算術と幾何学のフロベニウス

数学において、フロベニウス自己準同型は、特性p を持つ任意の可換環 Rにおいて定義されます。ここでpは素数です。つまり、 R内のrをr ^pに写す写像 φ は、Rの環自己準同型です。

φ の像はR ^p、つまりp乗からなるRの部分環です。有限体などの重要なケースでは、 φ は射影的です。それ以外の場合、φ は自己準同型ではありますが、環の自己同型ではありません。

幾何学的フロベニウスの用語は、環構成のスペクトルをφに適用することによって生じる。これは写像を与える。

φ*: Spec( R ^p ) → Spec( R )

アフィン方式の場合。R p = Rの場合でも、^Rが素体でない限り、これは恒等式ではありません。

ファイバー積と φ*、すなわち基底変換によって作成されるマッピングは、スキーム理論では幾何学的フロベニウスと呼ばれる傾向があります。用語が慎重に使用される理由は、ガロア群内のフロベニウス自己同型、または構造 の転送によって定義されるフロベニウス自己同型が、幾何学的フロベニウスの逆マッピングであることが多いためです。生成元が生成元の逆でもある巡回群の場合のように、多くの場合、フロベニウスには 2 つの定義が可能であり、一貫した規則がないとマイナス符号の問題が発生する可能性があります。

• フライタグ、エバーハルト。Kiehl、Reinhardt (1988)、Étale コホモロジーと Weil 予想、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 13、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-12175-6、MR  0926276、5ページ