楕円面

数学において、楕円曲面とは、楕円ファイバー化、つまり代数曲線に接続されたファイバーを持つ適切な射を持つ曲面であり、ほとんどすべてのファイバーは種数1の滑らかな曲線です。(複素数などの代数的に閉じた体上では、これらのファイバーは楕円曲線であり、おそらく原点が選択されていません。) これは、一般的なファイバーが種数 1 の滑らかな曲線であることと同等です。これは、適切な基底変換に従います。

曲面とベース曲線は非特異 (文脈に応じて複素多様体または正則スキーム) であると仮定されます。楕円曲線ではないファイバーは特異ファイバーと呼ばれ、小平邦彦によって分類されました。楕円ファイバーと特異ファイバーは両方とも弦理論、特にF 理論で重要です。

楕円面は、多くの興味深い曲面の例を含む大きなクラスの曲面を形成し、複素多様体と滑らかな 4 次元多様体の理論で比較的よく理解されています。楕円面は、数体上の楕円曲線に似ています (つまり、類似点があります) 。

• 任意の楕円曲線と任意の曲線の積は楕円面（特異繊維なし）になります。
• 小平次元1のすべての面は楕円面です。
• すべての複素エンリケス面は楕円形であり、射影直線上に楕円ファイバを持ちます。
• 小平の表面
• ドルガチェフ表面
• 塩田モジュラーサーフェス

楕円ファイバー化のファイバーのほとんどは (非特異) 楕円曲線です。残りのファイバーは特異ファイバーと呼ばれます。特異ファイバーは有限個存在し、それぞれが有理曲線の和集合で構成され、特異点または非ゼロ重複点を持つ可能性があります (したがって、ファイバーは非簡約スキームである可能性があります)。小平とネロンは、可能なファイバーを独立して分類し、テイトのアルゴリズムを使用して、数体上の楕円曲線のファイバーの種類を見つけることができます。

次の表は、極小楕円ファイバ化の可能なファイバを示しています。(「極小」とは、大まかに言えば、「より小さい」ファイバで因数分解できないファイバを意味します。正確には、特異ファイバには、自己交差数が -1 である滑らかな有理曲線が含まれてはなりません。) その結果、次のようになります。

• 小平の繊維のシンボル、
• アンドレ・ネロンの繊維のシンボル、
• ファイバーの既約成分の数（タイプI ₀以外はすべて有理数）
• 成分の交差行列。これは 1×1ゼロ行列、またはディンキン図が与えられたアフィン カルタン行列のいずれかです。
• 各繊維の多重度は Dynkin 図に示されます。

この表は次のようにして見つけることができます。幾何学的な議論によれば、ファイバーの成分の交差行列は、負の半正定値、連結、対称で、対角成分が -1 に等しいことはない (最小性による) 必要があります。このような行列は、0 またはADE型のアフィン ディンキン図のカルタン行列の倍数でなければなりません。

交差マトリックスは、次の 3 つの例外を除いて繊維の種類を決定します。

• 交差行列が 0 の場合、ファイバーは楕円曲線 (タイプ I ₀ )、二重点 (タイプ I ₁ )、または尖点 (タイプ II) のいずれかになります。
• 交差行列がアフィン A _{1の場合、交差多重度 2 の成分が 2 つあります。これらは、次数 1 の 2 つの点 (タイプ I 2} )で交わるか、次数 2 の 1 つの点 (タイプ III) で交わります。
• 交差行列がアフィン A ₂の場合、それぞれが他の 2 つの成分と交わる 3 つの成分があります。これらの成分は、3 つの異なるポイントでペアになって交わる場合 (タイプ I ₃ )、またはすべてが同じポイントで交わる場合 (タイプ IV ) があります。

各特異ファイバーの周りのモノドロミーは、行列式が 1 である 2 × 2 整数行列のグループ SL(2, Z ) 内の明確に定義された共役類です。モノドロミーは、滑らかなファイバー (Z 2 と同型) の最初のホモロジー群が特異ファイバーの周りを回るにつれてどのように変化するかを記述します。特異ファイバーに関連付けられ^たこれらの共役類の代表は、次のように与えられます。^[1]

タイプ II、III、IV、I ₀ ^*、IV ^*、III ^*、または II ^*の特異ファイバーの場合、モノドロミーは SL(2, Z ) で有限の位数を持ちます。これは、楕円ファイバー化がそのようなファイバーで潜在的に良好な縮小を持つという事実を反映しています。つまり、基本曲線の分岐有限被覆の後、特異ファイバーは滑らかな楕円曲線で置き換えることができます。どの滑らかな曲線が現れるかは、表のj 不変量によって説明されます。複素数上で、j不変量が 0 の曲線は、自己同型群の位数が 6 の唯一の楕円曲線であり、 j不変量が 1728 の曲線は、自己同型群の位数が 4 の唯一の楕円曲線です。(他のすべての楕円曲線は、自己同型群の位数が 2 です。)

断面を持つ楕円ファイバ分割はヤコビ楕円ファイバ分割と呼ばれ、各ファイバの滑らかな軌跡は群構造を持ちます。特異ファイバの場合、滑らかな軌跡上のこの群構造は、便宜上、基底体が複素数であると仮定して、表に示されています。(交差行列がアフィン ディンキン図 によって与えられる特異ファイバの場合、滑らかな軌跡の成分の群は、ここにリストされているように、ディンキン図 を持つ単連結単純リー群の中心と同型です。) 特異ファイバの群構造を知っていると、楕円ファイバ分割のモーデル・ヴェイユ群(断面の群)、特にそのねじれ部分群を計算するのに役立ちます。 ${\displaystyle {\チルダ {\Gamma }}}$${\displaystyle \ガンマ}$

楕円面が曲面の分類にどのように当てはまるかを理解するためには、極小楕円面f : X → Sの正準バンドルを計算することが重要である。複素数に対して、小平は次の正準バンドル公式を証明した: ^[2]

${\displaystyle K_{X}=f^{*}(L)\otimes O_{S}{\big (}\sum _{i}(m_{i}-1)D_{i}{\big )}.}$

ここで、 fの多重ファイバー（もしあれば）は と表記され、整数m _{i は}少なくとも 2 で、係数の最大公約数が 1 に等しい因子D _{i が}あり、 Lは滑らかな曲線S上のある線束です。Sが射影的（または同値でコンパクト）な場合、Lの次数はXとSの正則オイラー特性によって決まります：deg( L ) = χ( X , O _X ) − 2χ( S , O _S )。標準バンドル公式は、K _{X が}S上の何らかのQ因子の引き戻しにQ線型同値であることを意味します。ここでは、楕円面X → Sが極小であることが不可欠です。 ${\displaystyle f^{*}(p_{i})=m_{i}D_{i}}$

上野健治の研究を基に、藤田隆夫（1986）は、 K _Xが滑らかな繊維の変化にどのように依存するかを示す、標準バンドル公式の有用な変形を与えた。 ^{[3]すなわち、} Q線形同値 が存在する。

${\displaystyle K_{X}\sim _{\bf {Q}}f^{*}(K_{S}+B_{S}+M_{S}),}$

ここで判別因子 B _Sは、 fの特異ファイバーに関連付けられたS上の明示的な有効Q因子であり、モジュライ因子M _Sはであり、j : S → P ¹は滑らかなファイバーのj不変量を与える関数です。 (したがって、 M _{S は}、因子類群Cl( S ) とピカール群Pic( S )の間の同一視を使用した、Q因子のQ線型同値類です。) 特に、S射影の場合、モジュライ因子M _{S は}非負の次数を持ち、楕円面が等自明である場合、つまりすべての滑らかなファイバーが同型である場合に限り、次数 0 を持ちます。 ${\displaystyle (1/12)j^{*}O(1)}$

藤田の公式における判別式除数は次のように定義される。

${\displaystyle B_{S}=\sum _{p\in S}(1-c(p))[p]}$、

ここで、c ( p ) は対数標準閾値 です。これは、特異繊維の種類に応じて、0 から 1 の間の明示的な有理数です。明示的には、 lct は、滑らかな繊維またはタイプ の場合は 1 、多重繊維 の場合は1/ m、 の場合は 1/ 2、II の場合は 5/6、III の場合は 3/4、IV の場合は 2/3、IV* の場合は 1/3、III* の場合は 1/4、II* の場合は 1/6 です。 ${\displaystyle {\text{lct}}(X,f^{*}(p))}$${\displaystyle I_{\nu}}$${\displaystyle {}_{m}I_{\nu }}$${\displaystyle I_{\nu}^{*}}$

標準バンドル公式（藤田の形式）は、川又雄次郎らによって、任意の次元のカラビ・ヤウ多様体の族に一般化されている。 ^[4]

楕円面またはファイバの対数変換（中心pで次数m ）は、基本空間の点p上の多重度 1 のファイバを多重度mのファイバに変換します。これは逆に行うこともできるため、多重度の高いファイバをすべて多重度 1 のファイバに変換することができ、これを使用して多重ファイバをすべて削除できます。

対数変換は非常に激しいものになることがあります。小平次元を変更したり、代数面を非代数面に変換したりすることがあります。

例: L をCの格子Z +i Zと し、E を楕円曲線C / Lとします。すると、 E × CからCへの射影写像は楕円ファイバになります。 0 上のファイバを多重度 2 のファイバに置き換える方法を示します。

E × Cには、 ( c , s ) を ( c +1/2, −s )に写す 2 次自己同型写像​​があります。この群作用によるE × Cの商をXとします。 ( c , s ) をs ²に写すことで、 X をC上のファイバー空間にします。 ( c , s ) を ( c -log( s )/2πi, s ² )に写すことで、 Xマイナス0 上のファイバーからE × Cマイナス0 上のファイバーへの同型写像を構築します。(0 上の 2 つのファイバーは非同型楕円曲線であるため、ファイバー化X はC全体上のファイバー化E × Cと同型ではありません。)

すると、ファイバ化X は0 上の多重度 2 のファイバを持ち、それ以外はE × Cのようになります。Xは、中心 0 を持つE × Cに次数 2 の対数変換を適用することによって得られると言えます。

• エンリケス – 小平分類
• ネロンミニマルモデル

• ウルフ・P・バース;クラウス・ヒューレック;ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004) [1984]、Compact Complex Surfaces、Springer、doi :10.1007/978-3-642-57739-0、ISBN 978-3-540-00832-3、MR  2030225
• コセック、フランソワ。ドルガチョフ、イーゴリ（1989）。エンリケス サーフェス。ボストン：ビルクホイザー。土井：10.1007/978-1-4612-3696-2。ISBN 3-7643-3417-7. MR  0986969。
• 小平 邦彦(1963). 「コンパクトな解析面について II」.数学年報. 77 : 563–626. doi :10.2307/1970131. MR  0184257. Zbl  0118.15802.
• 小平 邦彦(1964)。「コンパクトな複素解析面の構造について。I」。Am . J. Math . 86 :751–798. doi :10.2307/2373157. MR  0187255. Zbl  0137.17501.
• コラール、ヤーノシュ(2007)、「小平の標準バンドル公式と付加」、3 重および 4 重のフリップ、オックスフォード大学出版局、pp. 134–162、doi :10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008、MR  2359346
• ネロン、アンドレ(1964)。 「ローコーとグロボーの軍団の多様性を備えたモデル」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS (フランス語)。21：5-128。土井：10.1007/BF02684271。MR  0179172。Zbl 0132.41403  。