アイゼンシュタインの定理

数学において、アイゼンシュタインの定理は、ドイツの数学者ゴットホルト・アイゼンシュタインにちなんで名付けられ、有理数係数を持つ代数関数である任意のべき級数の係数に適用されます。この定理により、たとえば、指数関数は超越関数でなければならないことが容易に証明できます。

仮に

${\displaystyle \sum _{}^{}a_{n}t^{n}}$

は有理係数a _nを持つ形式的なべき級数であり、複素平面における非ゼロの収束半径を持ち、その中では実際には代数関数である解析関数を表します。アイゼンシュタインの定理は、 A ⁿ a _nがすべて整数となるような非ゼロの整数Aが存在することを述べています。

これはp 進数の観点から解釈できます。この考え方を適切に拡張すると、ほぼすべてのp (つまり、有限集合S の外側の素数) に対して、この級数のp進収束半径は少なくとも 1 になります。実際、この記述は、 pに応じて変化する可能性がある級数の初期部分和を無視している点で、少し弱いものです。他の素数の場合、半径はゼロではありません。

エイゼンシュタインのオリジナルの論文は、短い通信 Über eine allgemeine Eigenschaft der Reihen-Entwicklungen aller algebraischen Funktionen (1852) であり、Mathematische Gesammelte Werke, Band II、Chelsea Publishing Co.、New York、1975 年、p. 2 に再掲載されています。 765 ～ 767 年。

最近では、多くの著者が上記のほぼすべてを定量化する正確で効果的な境界を調査しました。たとえば、E. Bombieri と W. Gubler の本のセクション 11.4 と 11.55 を参照してください。

• ボンビエリ、エンリコ、ギュブラー、ウォルター (2008)。「局所アイゼンシュタイン定理: べき級数、ノルム、および局所アイゼンシュタイン定理」。ディオファントス幾何学の高さ。ケンブリッジ大学出版局。pp. 362–376。