リーマンゼータ関数

リーマンゼータ関数またはオイラー・リーマンゼータ関数は、ギリシャ文字 ζ（ゼータ）で表され、に対してと定義される複素変数の数学的関数であり、他の場所での解析接続も可能である。^[2]$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

リーマンゼータ関数は解析的数論において極めて重要な役割を果たしており、物理学、確率論、応用統計学に応用されています。

18世紀前半、レオンハルト・オイラーが初めて実数上の関数を導入し研究した。ベルンハルト・リーマンの1859年の論文「与えられた絶対値より小さい素数の個数について」は、オイラーの定義を複素変数に拡張し、その有理型接続と関数方程式を証明し、その零点と素数の分布との関係を確立した。この論文には、多くの数学者が純粋数学における最も重要な未解決問題であると考えているリーマン予想、つまりリーマンゼータ関数の複素零点の分布に関する予想も含まれていた。^[3]

リーマンゼータ関数の偶数における値はオイラーによって計算された。最初の値であるζ (2)はバーゼル問題の解を与える。1979年にロジャー・アペリーはζ (3)の無理数を証明した。オイラーによって発見された負の整数点における値は有理数であり、モジュラー形式の理論で重要な役割を果たす。リーマンゼータ関数の一般化は、ディリクレ級数、ディリクレのL関数、L関数など、数多く知られている。

リーマンゼータ関数ζ ( s )は、複素変数s = σ + itの関数です。ここで、 σとtは実数です。(ゼータ関数の研究では、リーマンに従って、 s、σ、tという表記が伝統的に使用されています。) Re( s ) = σ > 1の場合、関数は収束する和または積分として表すことができます。

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)} }\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\,,}$

どこ

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x}$

はガンマ関数です。リーマンゼータ関数は、σ > 1に対して定義された関数の解析接続を介して他の複素数値に対して定義されます。

レオンハルト・オイラーは1740年にsの正の整数値について上記の級数を考え、後にチェビシェフは定義を^{[4]に拡張した。}${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

上記の級数は、σ > 1となるsに対して解析関数に絶対収束し、sの他のすべての値に対して発散する、典型的なディリクレ級数です。リーマンは、収束半平面上の級数によって定義された関数は、s ≠ 1のすべての複素値に解析的に接続できることを示しました。 s = 1に対して、級数は+∞に発散する調和級数であり、 したがってリーマンゼータ関数は、 s = 1で留数が1である単純な極を除いて、どこでも正則である、複素平面全体の有理型関数です。 $${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.}$$

1737年、ゼータ関数と素数の関係はオイラーによって発見され、彼は等式を証明した。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

ここで、定義により、左辺はζ ( s )であり、右辺の無限積はすべての素数pに渡って広がります（このような式はオイラー積と呼ばれます）。

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }$

オイラー積公式の両辺は、Re( s )>1のときに収束する。オイラーの等式は、等比級数の公式と算術の基本定理のみを用いて証明される。s = 1のときに得られる調和級数は発散するため、オイラーの公式（Π p ⁠となる）_は、 p/p − 1⁠ ）は、素数が無限に存在することを意味する。 ^[5] ⁠の対数はp/p − 1⁠はおよそ⁠1/p⁠、この式は、素数の逆数の合計が無限大であるというより強い結果を証明するのにも使用できます。一方、これをエラトステネスのふるいと組み合わせると、正の整数の集合内の素数集合の密度がゼロであることが示されます。

オイラー積の公式は、ランダムに選択された整数sが集合的に互いに素である漸近確率を計算するために使用できます。直感的には、任意の単一の数が素数（または任意の整数） pで割り切れる確率は⁠1/p⁠ . したがって、 s個の数がすべてこの素数で割り切れる確率は⁠1/ｐｓ^​⁠ であり、そのうちの少なくとも1つがそうでない確率は1 − ⁠1/ｐｓ^​⁠。ここで、異なる素数の場合、候補となる約数が互いに素であるため、これらの割り切れるイベントは互いに独立しています（数が互いに素な約数nとmで割り切れるのは、それがnmで割り切れる場合のみであり 、このイベントは確率 ⁠ で発生します ）。1/ナノメートル⁠ ）。したがって、 s個の数が互いに素である漸近確率は、すべての素数の積で与えられる。

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

このゼータ関数は、関数方程式 Γ( s )がガンマ関数である ときに満たされます。これは、複素平面全体で有効な有理型関数の等式です。この方程式は、点sと1 − sにおけるリーマンゼータ関数の値を関連付け、特に偶数の正の整数を奇数の負の整数に関連付けます。正弦関数の零点により、関数方程式は、ζ ( s )が各偶数の負の整数s = −2 nで単純な零点を持つことを意味し、これはζ ( s )の自明な零点として知られています。sが偶数の正の整数のとき、積sin( ⁠$${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\ ,}$$   π秒 /2⁠  )右側のΓ(1 − s )は、 Γ(1 − s )が単純な極、正弦因子の単純なゼロをキャンセルするため、ゼロではありません。

この関数方程式は、リーマンが 1859 年の論文「与えられた絶対値より小さい素数の個数について」で確立し、解析接続を構築するために最初に使用されました。

同等の関係は、100年以上前の1749年にオイラーによってディリクレのイータ関数（交代ゼータ関数）に対して推測されていました。 $${\displaystyle \eta (s)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\;(-1)^{n+1}}{\ n^{s}}}=\left(1-{2^{1-s}}\right)\ \zeta (s)~.}$$

ちなみに、この関係は、 0 < ℛ _ℯ ( s ) < 1 の領域、 すなわち、 η級数がより大きな半平面s > 0で収束する（絶対収束ではないが）領域でζ ( s )を計算するための方程式を与える（関数方程式の歴史に関するより詳細な調査については、例えば Blagouchine ^{[7] [8]}を参照）。 $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\;1-2^{1-s}\ }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{\;n^{s}\ }}}$$

リーマンは、ξ関数に適用できる関数方程式の対称バージョンも発見した。 これは以下を満たす。 $${\displaystyle \xi (s)\ =\ {\frac {1}{2}}\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\ s(s-1)\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s)\ ,}$$$${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)~.}$$

（リーマンの元のξ ( t )は若干異なっていました。）

この因子はリーマンの時代にはよく理解されていませんでしたが、ジョン・テイト(1950) の論文で、いわゆる「ガンマ因子」は実際にはアルキメデスの位置に対応する局所 L 因子であり、オイラー積展開の他の因子は非アルキメデスの位置の局所 L 因子であることが示されました。 ${\displaystyle \ \pi ^{-s/2}\ \Gamma (s/2)\ }$

関数方程式は、リーマンゼータ関数が−2、−4、...に零点を持つことを示しています。これらは自明な零点と呼ばれます。これらは、たとえばsin ⁠からその存在が比較的簡単に証明できるという意味で自明です。π秒/2⁠ は関数方程式で 0 になります。非自明な零点は、その分布があまり理解されていないだけでなく、より重要なことに、その研究が素数や数論の関連オブジェクトに関する重要な結果をもたらすため、はるかに多くの注目を集めています。任意の非自明な零点は、臨界ストリップと呼ばれる。この集合は臨界線と呼ばれます。数学における最大の未解決問題の一つと考えられているリーマン予想は、すべての非自明な零点は臨界線上にあると主張しています。1989年、コンリーはリーマンゼータ関数の非自明な零点の40％以上が臨界線上にあることを証明しました。 ^[9]${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :0<\operatorname {Re} (s)<1\}}$${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)=1/2\}}$

臨界線上のリーマンゼータ関数については、Z関数を参照してください。

が臨界帯 における零点の数で、その虚数部が区間 内にあるとする。Trudgian は、 ならば、^{[12]であることを証明した。}${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$${\displaystyle 0<\operatorname {Im} (s)<T}$${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle \left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$。

1914年、GHハーディはζ（⁠1/2⁠ + it）には実数零点が無限に存在する。 ^{[13] [14]}

ハーディとJEリトルウッドは、ζの零点間の密度と距離に関する2つの予想を立てた（⁠1/2⁠ + it ) を大きな正の実数の区間で展開します。以下では、 N ( T )は関数 ζ ( ⁠ の実数零点の総数、 N ₀ ( T )は関数ζ ( ⁠の奇数次零点の総数です1/2⁠ + it ) は区間(0, T ]内にあります。

これら 2 つの予想は、リーマンゼータ関数の研究に新たな方向性をもたらしました。

リーマンゼータ関数の零点の位置は数論において非常に重要である。素数定理は、Re( s )=1直線上にゼータ関数の零点が存在しないという事実と同等である。^[15]ヴィノグラドフの平均値定理の有効な形式から得られるより良い結果^[16]は、 ζ ( σ + it )≠0が常にかつ| t |≥3であるということである。 ${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{\frac {2}{3}}(\log {\log {|t|}})^{\frac {1}{3}}}}}$

2015年にモッシングホフとトルジアンは、ゼータが領域内にゼロを持たないことを 証明した^[17]。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.573412\log |t|}}}$

| t | ≥ 2の場合。これは、 の臨界ストリップ内で知られている最大のゼロフリー領域です。 ${\displaystyle 3.06\cdot 10^{10}<|t|<\exp(10151.5)\approx 5.5\cdot 10^{4408}}$

この種の最も強力な結果は、リーマン予想の真実性であり、これは数論において 多くの重大な結果をもたらすであろう。

臨界線上には無限個の零点が存在することが知られている。_リトルウッドは、上半平面上のすべての零点の虚数部を昇順で 並べた数列（γn ）が存在する場合、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

臨界線定理は、非自明な零点の正の比率が臨界線上にあることを主張します。(リーマン予想は、この比率が 1 であることを意味します。)

臨界帯において、負でない虚数部が最小となる零点は⁠1/2⁠ + 14.13472514... i ( OEIS : A058303 )。

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

すべての複素数s ≠ 1に対して、リーマンゼータ関数の零点は実軸に関して対称であることを意味する。さらに、この対称性を関数方程式と組み合わせると、非自明な零点は臨界線Re( s ) = ⁠に関して対称であることがわかる。1/2⁠ .

また、実数部が 1 の線上にはゼロが存在しないこともわかっています。

任意の正の偶数2 nについて、 B _{2 n は} 2 n番目のベルヌーイ数です。奇数の正の整数については、このような単純な式は知られていませんが、これらの値は整数の代数K理論に関連していると考えられています。 L関数の特殊な値を参照してください。 $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {|{B_{2n}}|(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}},}$$

非正の整数の場合、 n ≥ 0 に対して（ B ₁ = ⁠という規則を用いる）$${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$$1/2特に、すべての奇数mに対してB _m = 0 となるため、 ζ は負の偶数で消滅します。これらは、ゼータ関数のいわゆる「自明なゼロ」です。

解析接続により、次のことが示せます。 これは、弦理論などの特定の文脈（ラマヌジャンの総和）で使用されている 発散級数1 + 2 + 3 + 4 + ⋯に有限の値を割り当てるための口実を与えます。^[18] 同様に、特定の値は、 発散級数1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ に有限の結果を割り当てることと見なすことができます。 $${\displaystyle \zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}}$$$${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}}$$

この値 は線形運動方程式の運動境界層問題の計算に用いられる。^{[19] [20]}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=-1.46035450880958681288\ldots }$$

発散するが 、コーシー主値が存在し、オイラー・マスケロニ定数γ = 0.5772 に等しい...。^[21]$${\displaystyle \zeta (1)=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}}$$

特定の値の証明は バーゼル問題 として知られています。この和の逆数は、「ランダムに選択された2つの数が互いに素である確率はどれくらいか？」という質問に答えます。^[22] この値は アペリーの定数 です。 $${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$$${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.202056903159594285399...}$$

実数を通る極限をとると、 が得られる。しかし、リーマン球面上の複素無限大では、ゼータ関数は本質的な特異点を持つ。^[2]${\displaystyle s\rightarrow +\infty }$${\displaystyle \zeta (+\infty )=1}$

整数値および半整数値でのゼータ関数を含む合計については、有理ゼータ級数を参照してください。

ゼータ関数の逆数は、メビウス関数μ ( n )上のディリクレ級数として表すことができます。

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

実部が 1 より大きいすべての複素数sに対して成り立ちます。よく知られているさまざまな乗法関数を含む同様の関係が多数存在します。これらはディリクレ級数に関する記事に記載されています。

リーマン予想は、 sの実部がより大きい場合にこの式が有効であるという主張と同等である。1/2⁠ .

リーマンゼータ関数の臨界ストリップは普遍性という注目すべき性質を持つ。このゼータ関数の普遍性は、臨界ストリップ上のある位置が任意の正則関数を任意によく近似することを示す。正則関数は非常に一般的であるため、この性質は非常に注目に値する。普遍性の最初の証明は、1975年にセルゲイ・ミハイロヴィッチ・ボロニンによって提供された。^[23]より最近の研究では、ボロニンの定理の有効バージョン^[24]と、それをディリクレL関数に拡張することが含まれている。^{[25] [26]}

関数F ( T ; H )とG ( s ₀ ;Δ)を次の式で定義する。

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

ここでTは十分に大きい正の数、0 < H ≪ log log T、s ₀ = σ ₀ + iT、⁠1/2⁠ ≤ σ ₀ ≤ 1、 0 < Δ < ⁠1/3⁠ 。以下からFとG の値を推定すると、臨界線の短い間隔または臨界ストリップ0 ≤ Re( s ) ≤ 1にある点の小さな近傍でζ ( s )がどの程度大きな値 (係数) をとることができるかがわかります。

H ≫ log log TのケースはKanakanahalli Ramachandraによって研究されました。Δ > c（cは十分に大きい定数） のケースは自明です。

アナトリー・カラツバは[ ^{27] [28]}、特にHとΔの値が十分に小さい定数を超えると、推定値は

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

ここで、c ₁とc ₂は特定の絶対定数です。

機能

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

をリーマンゼータ関数の引数といいます。ここでarg ζ ( ⁠1/2⁠ + it ) は、点2、 2 + it、および⁠を結ぶ破線に沿ったarg ζ ( s )の任意の連続枝の増分です1/2⁠ +それ。

関数S ( t )の性質に関する定理はいくつかある。それらの結果^{[29] [30]には、} S ( t )の平均値定理とその第一積分 が含まれる。

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

実数直線の区間上の定理、および任意の区間（T、T + H ]）が

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

少なくとも

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

関数S ( t )が符号を変える点。以前、Atle Selbergによって同様の結果が得られた。

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

収束領域の拡張は、元の級数を並べ替えることによって得られる。^[31]級数

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

Re( s ) > 0では収束するが、

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

Re( s )>−1の場合でも収束します。このようにして、収束領域は任意の負の整数−kに対してRe ( s )>− kまで拡張できます。

再帰的関係はRe( s )>−2に有効な式から明確に見え、部分積分によるさらなる展開が可能になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)=&1+{\frac {1}{s-1}}-{\frac {s}{2!}}[\zeta (s+1)-1]\\-&{\frac {s(s+1)}{3!}}[\zeta (s+2)-1]\\&-{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}dt}{(n+t)^{s+3}}}\end{aligned}}}$

関数f ( x )のメリン変換は次のように定義される^[32]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

積分が定義されている領域では、ゼータ関数はメリン変換のような積分として様々な表現が可能です。sの実部が1より大きい場合、

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad }$そして、${\displaystyle \quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x}$

ここでΓはガンマ関数を表す。リーマンは、 等高線を修正することで、

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

すべてのsに対して^[33]（ここでHはハンケル曲線を表す）。

素数と素数定理に関連する表現も見つけることができます。π ( x ) が素数計算関数である場合、

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

Re( s ) > 1の値の場合。

同様のメリン変換には、リーマン関数J ( x )があり、これは重み ⁠ の素数累乗p ^{n を}数えます。1/ん⁠、そのため

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

今

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

これらの式は、逆メリン変換によって素数定理を証明するために使用できます。リーマンの素数計算関数は扱いやすく、メビウス反転によってπ ( x )を復元できます。

リーマンゼータ関数はメリン変換によって与えられる^[34]

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

ヤコビのシータ関数の観点から

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

ただし、この積分はsの実部が 1 より大きい場合にのみ収束しますが、正規化できます。これにより、ゼータ関数の次の式が得られます。これは、0 と 1 を除くすべてのsに対して適切に定義されます。

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

リーマンゼータ関数は、s = 1に1次の極を持つ有理型関数である。したがって、 s = 1の周りのローラン級数として展開することができ、級数展開は^[35]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

ここでの定数γ _{n は}スティルチェス定数と呼ばれ、次の限界で定義される。

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

定数項γ0_はオイラー・マスケロニ定数です。

すべてのs ∈ ℂ、s ≠ 1に対して、積分関係（アーベル・プラーナの公式を参照）

${\displaystyle \ \zeta (s)\ =\ {\frac {1}{\ s-1\ }}+{\frac {\ 1\ }{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(\ s\ \arctan t\ )}{\ \left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)\ }}\ \operatorname {d} t\ }$

は成り立ち、ゼータ関数の数値評価に使用できます。

複素平面全体にわたって有効な上昇階乗を用いた別の級数展開は^{[31]である。}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

これを再帰的に使用して、ディリクレ級数の定義をすべての複素数に拡張できます。

リーマンゼータ関数は、 x ^{s − 1}に作用するガウス-クズミン-ウィルシング演算子の積分においてもメリン変換に似た形で現れる。その文脈では、下降階乗による級数展開が生じる。^[36]

ワイエルシュトラスの因数分解定理に基づいて、アダマールは無限積展開を 与えた。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

ここで積はζの非自明な零点ρ上で、文字γは再びオイラー・マスケロニ定数を表す。より単純な無限積展開は

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

この形式は、 s = 1の単純な極、分母のガンマ関数項による −2、 −4、... の自明な零点、およびs = ρの非自明な零点を明確に表示します。 (後者の式で収束を確実にするために、積は「一致する零点のペア」にわたって取られるべきです。つまり、 ρと1 − ρの形式の零点のペアの因子を組み合わせる必要があります。)

ゼータ関数の大域収束級数。s = 1 + ⁠を除くすべての複素数sに対して有効。2π私/行 2⁠ n は、ある整数nに対して1926年にコンラート・ノップによって予想され^[37]、1930年にヘルムート・ハッセによって証明されました^[38]（オイラー和を参照）。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

このシリーズはハッセの論文の付録として発表され、1994年にジョナサン・ソンドウによって2度目の出版が行われた。^[39]

ハッセはまた、大域的に収束する級数も証明した。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

^[38]イアロスラフ・ブラグーチン^{[40] [37]}の研究では 、同様のシリーズが1926年にジョセフ・セルによって出版されていたことが判明した。^[41]

1997年にK. Maślankaはリーマンゼータ関数に対して 別の大域収束する（ s = 1を除く）級数を与えた。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}}$

ここで実係数は次のように与えられます。 ${\displaystyle A_{k}}$

${\displaystyle A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}}$

ここでベルヌーイ数、はポッホハマー記号を表す。^{[42] [43]}${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle (x)_{k}}$

ゼータ関数のこの表現は、本質的にはノードによる補間であり、ノードは点、つまりオイラーが示したようにゼータ値が正確にわかっている点であることに注意してください。カールソンの定理に基づくゼータ関数のこの表現の簡潔で簡潔な証明は、2006年にフィリップ・フラジョレによって発表されました。^[44]${\displaystyle s=2,4,6,\ldots }$

係数の漸近的挙動はむしろ興味深い。値が増加すると、ほぼ指数関数的に減少する振幅と、ゆっくりと減少する周波数（およそ）を伴う規則的な振動が観察される。鞍点法を用いると、次のことがわかる。 ${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{-2/3}}$

${\displaystyle A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}}$

ここで、以下を表します: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}}$

（詳細は^[45]を参照）。

この表現に基づいて、2003年にルイス・バエス＝ドゥアルテはリーマン予想の新たな基準を提示した。^{[46] [47] [48]}すなわち、係数を次のように 定義すると、${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$

すると、リーマン予想は

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {O}}{\biggl (}k^{-3/4+\varepsilon }{\biggl )}\qquad (\forall \varepsilon >0)}$

ピーター・ボーウェインは、チェビシェフ多項式をディリクレ・イータ関数に適用して、高精度の数値計算に適した非常に急速に収束する級数を生成するアルゴリズムを開発した。^[49]

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

ここでp _n #は原始数列であり、J _kはジョルダンのトーティエント関数である。^[50]

関数ζは、 Re( s )>1の場合、無限級数で 表すことができる。

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

ここでk∈ {−1, 0}、Wk_はランバートW関数のk番目の枝、B^{( μ )}
_{n ,≥2}は不完全ポリベルヌーイ数である。^[51]

この関数はエンゲル展開に現れる係数を見つけるために反復される。^[52]${\displaystyle g(x)=x\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

この写像のメリン変換は、リーマンゼータ関数と次の式で関係している。 ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

ディリクレ級数の特定の線形結合（係数がトゥー・モース数列の項である）は、リーマンゼータ関数を含む恒等式を生じる（Tóth, 2022 ^[53]）。例えば：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {5t_{n-1}+3t_{n}}{n^{2}}}&=4\zeta (2)={\frac {2\pi ^{2}}{3}},\\\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}}$

ここで はThue-Morse数列の項である。実際、より大きい実部を持つすべての に対して、 ${\displaystyle (t_{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle n^{\rm {th}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}$

ゼータ関数は n 番目の積分として表すこともできます。

${\displaystyle \zeta (n)=\int _{\cdots }\iint _{[0,1]^{n}}{\frac {dz_{1}\,dz_{2}\ldots \,dz_{n}}{1-z_{1}\,z_{2}\ldots \,z_{n}}}}$

そしてそれは ${\displaystyle n\in \mathbb {N} /\{1\}}$

1930年頃以前に使用されていた古典的なアルゴリズムは、オイラー・マクローリンの公式を適用して、 nとmの正の整数 に対して、

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{j=1}^{n-1}j^{-s}+{\tfrac {1}{2}}n^{-s}+{\frac {n^{1-s}}{s-1}}+\sum _{k=1}^{m}T_{k,n}(s)+E_{m,n}(s)}$

ここで、 は指定されたベルヌーイ数を表すとすると、 ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle T_{k,n}(s)={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}n^{1-s-2k}\prod _{j=0}^{2k-2}(s+j)}$

そして誤差は

${\displaystyle |E_{m,n}(s)|<\left|{\frac {s+2m+1}{\sigma +2m+1}}T_{m+1,n}(s)\right|,}$

ここでσ = Re( s )である。^[54]

最新の数値アルゴリズムは、Odlyzko-Schönhage アルゴリズムです。

ゼータ関数は、ジップの法則、ジップ・マンデルブロの法則、ロトカの法則などの応用統計学に登場します。

ゼータ関数の正規化は、量子場の理論における発散級数と発散積分の正規化の可能な手段の1つとして使用される。注目すべき例として、リーマンゼータ関数はカシミール効果を計算する1つの方法で明示的に現れる。ゼータ関数は動的システムの解析にも役立つ。^[55]

音楽の調律理論では、ゼータ関数は、倍音列の音程に非常に近いオクターブの等分割（EDO）を見つけるために使用できます。 の値が増加すると、 の値は ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert }$

このようなEDOに対応する整数付近でピークが見られます。^[56]例としては、12、19、53などの一般的な選択肢が挙げられます。^[57]

等間隔の正の整数で評価されたゼータ関数は、いくつかの定数の無限級数表現に現れる。^[58]

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

実際、偶数項と奇数項は2つの合計を与える。

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

そして

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

上記の合計のパラメータ化されたバージョンは次のように与えられる。

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(t\pi )\right)}$

そして

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

ここで、 および はそれぞれ ポリガンマ関数とオイラー定数であり、${\displaystyle |t|<2}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \gamma }$

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

これらはすべて で連続である。その他の和には以下が含まれる。 ${\displaystyle t=1}$

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}=\ln 2}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\Im {\bigl (}(1+i)^{n}-1-i^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$

ここで、 は複素数の 虚数部を表します。${\displaystyle \Im }$

レムニスケート定数の自然対数に関連するもう一つの興味深い数列は次の通りである。

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left[{\frac {2(-1)^{n}\zeta (n)}{4^{n}n}}-{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{2^{n}n}}\right]=\ln \left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)}$

調和数の 記事にはさらに多くの式が記載されています。

リーマンゼータ関数の一般化と考えられる関連ゼータ関数は数多くある。これにはフルヴィッツゼータ関数が含まれる。

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+q)^{s}}}}$

（収束級数表現は1930年にヘルムート・ハッセによって与えられた^[38]。フルヴィッツのゼータ関数を参照）、これはq = 1のときのリーマンゼータ関数（フルヴィッツのゼータ関数の総和の下限は1ではなく0である）、ディリクレのL関数、デデキントのゼータ関数と一致する。その他の関連する関数については、ゼータ関数とL関数の記事を参照。

多重対数は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}$

これはz = 1のときリーマンゼータ関数と一致します。クラウゼン関数 Cl _s ( θ )はLi _s ( e ^iθ )の実数部または虚数部として選択できます。

レルヒの超越関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

これは、 z = 1およびq = 1のときのリーマンゼータ関数と一致します(レルヒ超越関数の合計の下限は 1 ではなく 0 です)。

多重ゼータ関数は次のように定義される 。

${\displaystyle \zeta (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\sum _{k_{1}>k_{2}>\cdots >k_{n}>0}{k_{1}}^{-s_{1}}{k_{2}}^{-s_{2}}\cdots {k_{n}}^{-s_{n}}.}$

これらの関数は、 n次元複素空間に解析的に接続することができます。これらの関数が正の整数引数で取る特別な値は、数論学者によって多重ゼータ値と呼ばれ、数学や物理学のさまざまな分野に関連付けられています。

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• 算術ゼータ関数
• 一般化されたリーマン予想
• レーマーペア
• プライムゼータ関数
• リーマン Xi 関数
• 繰り込み
• リーマン・ジーゲルのθ関数
• ゼータグリッド

• ウィキメディア・コモンズのリーマンゼータ関数に関連するメディア
• 「ゼータ関数」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
• リーマンゼータ関数、Wolfram Mathworld より数学的なアプローチによる説明
• 選択されたゼロの表 2009年5月17日、Wayback Machineにアーカイブ
• 素数が結びつく 素数に関連したゼータ関数の重要性についての一般的で非技術的な説明。
• ゼータ関数の X 線 ゼータが実数であるか、完全に虚数であるかを視覚的に調査します。
• リーマンゼータ関数の公式と等式 functions.wolfram.com
• リーマンゼータ関数とその他の逆べき乗の和、アブラモウィッツとステグンのセクション23.2
• フレンケル、エドワード。「ミリオンダラー数学問題」（ビデオ）。ブレイディ・ハラン。2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2014年3月11日閲覧。
• メリン変換とリーマンゼータ関数の関数方程式 - リーマンゼータ関数を含むメリン変換法の計算例
• リーマンゼータ関数と解析接続の視覚化3Blue1Brownのビデオ