代数サイクル

数学において、代数多様体V上の代数サイクルは、 Vの部分多様体の形式的な線形結合です。これらは、代数的手法によって直接アクセスできるVの代数的位相の一部です。多様体上の代数サイクルを理解することで、多様体の構造について深い洞察を得ることができます。

最も自明なケースは、余次元が 0 のサイクルであり、これは多様体の既約成分の線形結合です。最初の非自明なケースは、余次元が 1 の部分多様体で、因子と呼ばれます。代数サイクルに関する最も初期の研究は、因子、特に代数曲線上の因子の場合に焦点が当てられていました。代数曲線上の因子は、曲線上の点の形式的な線形結合です。代数曲線に関する古典的な研究では、これらがコンパクトなリーマン面上の正則微分などの内部データや、曲線の射影空間への埋め込みなどの外部特性に関連付けられていました。

高次元多様体上の因子は多様体の構造を決定する上で引き続き重要な役割を果たしますが、次元が 2 以上の多様体では、高次の余次元サイクルも考慮する必要があります。これらのサイクルの挙動は、因子の挙動とは著しく異なります。たとえば、すべての曲線には定数Nがあり、次数 0 のすべての因子は、次数N以下の 2 つの有効因子の差に線形同値です。David Mumford は、正の幾何学的種数を持つ滑らかな完全な複素代数曲面S上で、 Sの余次元 2 サイクルの有理同値類の群に対する類似のステートメントは偽であることを証明しました。^[1]幾何学的種数が正であるという仮説は、本質的に ( (1,1)-クラス 上の Lefschetz の定理により) コホモロジー群が超越情報を含むことを意味し、実質的に Mumford の定理は、 が純粋に代数的な定義を持つにもかかわらず、 と超越情報を共有することを示唆しています。マムフォードの定理はその後大きく一般化されました。^[2]${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$${\displaystyle H^{2}(S)}$${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$${\displaystyle H^{2}(S)}$

代数的サイクルの振る舞いは、現代数学における最も重要な未解決問題の一つである。クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つであるホッジ予想は、複素代数多様体の位相が特定の代数的サイクルの存在を強制することを予言している。テイト予想は、エタールコホモロジーについて同様の予言をしている。 アレクサンダー・グロタンディークの代数的サイクルに関する標準予想は、彼のモチーフのカテゴリーを構成するのに十分なサイクルをもたらし、代数的サイクルが代数多様体のコホモロジー理論において重要な役割を果たすことを意味する。逆に、アレクサンダー・ベイリンソンは、モチーフのカテゴリーの存在が標準予想を意味することを証明した。さらに、サイクルは、サイクルの群を有理同値性によってK理論層のコホモロジーとして表現するブロッホの公式によって代数K理論に結び付けられている。

X を体k上の有限型のスキームとする。X上の代数的rサイクルは形式的な線型結合である 。

${\displaystyle \sum n_{i}[V_{i}]}$

Xのr次元閉積分k部分スキーム。係数n _iはV _iの重複度です。すべてのrサイクルの集合は自由アーベル群です。

${\displaystyle Z_{r}X=\bigoplus _{V\subseteq X}\mathbf {Z} \cdot [V],}$

ここで、和はXの閉積分部分スキームV上である。rを変化させるサイクルのグループは、グループを形成する。

${\displaystyle Z_{*}X=\bigoplus _{r}Z_{r}X.}$

これは代数的サイクルのグループと呼ばれ、任意の要素は代数的サイクルと呼ばれます。サイクルのすべての係数が負でない場合、 サイクルは有効または正です。

Xの閉じた整式サブスキームは、マップの下でXのスキーム理論の点と 1 対 1 に対応します。マップは、一方の方向では各サブスキームをそのジェネリック ポイントに導き、もう一方の方向では各ポイントをポイントの閉包でサポートされる唯一の縮小サブスキームに導きます。したがって、Xの点上の自由アーベル群としても記述できます。 ${\displaystyle Z_{*}X}$

サイクルがゼロと有理的に同値でありと表記されるのは、 となるような、次元の部分多様体と非ゼロ有理関数が有限個存在する場合である。ここで はW _i上の有理関数の約数を表す。ゼロ と有理的に同値なサイクルはサブグループであり、有理的同値性を法とするrサイクルの群は商である。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha \sim 0}$${\displaystyle (r+1)}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r_{i}\in k(W_{i})^{\times }}$${\displaystyle \alpha =\sum [\operatorname {div} _{W_{i}}(r_{i})]}$${\displaystyle \operatorname {div} _{W_{i}}}$${\displaystyle Z_{r}(X)_{\text{rat}}\subseteq Z_{r}(X)}$

${\displaystyle A_{r}(X)=Z_{r}(X)/Z_{r}(X)_{\text{rat}}.}$

この群は とも表記される。群の元 ${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X)}$

${\displaystyle A_{*}(X)=\bigoplus _{r}A_{r}(X)}$

はX上のサイクルクラスと呼ばれます。サイクルクラスは、有効サイクルで表すことができる場合、 有効または正であると言われます。

Xが滑らかで射影的であり、純粋な次元Nである場合、上記の群はコホモロジー的に次のように再インデックスされることがある。

${\displaystyle Z^{Nr}X=Z_{r}X}$

そして

${\displaystyle A^{Nr}X=A_{r}X.}$

この場合、積積によって与えられる乗算演算を持つため、はXのChow 環と呼ばれます。 ${\displaystyle A^{*}X}$

上記の定義にはいくつかのバリエーションがあります。係数環として整数の代わりに別の環を代用することもできます。有理係数の場合は広く使用されています。基数上のサイクルの族を扱う場合、または算術的な状況でサイクルを使用する場合は、相対的な設定が必要です。 とします。ここで、Sは正則ノイザンスキームです。rサイクルは、相対次元がrであるXの閉じた整数サブスキームの形式的な和です。ここで、 の相対次元は、上のの超越次数からSにおけるの余次元を引いたものです。 ${\displaystyle \phi \colon X\to S}$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle k(Y)}$${\displaystyle k({\overline {\phi (Y)}})}$${\displaystyle {\overline {\phi (Y)}}}$

有理的同値性は、代数的サイクル上のいくつかの他のより粗い同値関係に置き換えることもできます。他の興味深い同値関係には、代数的同値性、固定されたコホモロジー理論（特異コホモロジーやエタールコホモロジーなど）のホモロジー同値性、数値的同値性、および上記のすべてを法とする捩れ関係すべてが含まれます。これらの同値関係は、動機の理論に（部分的に推測的に）応用できます。

代数的サイクル群には共変関数と反変関数があります。f  : X → X'を多様体の写像とします。

f が一定の相対次元の平坦な場合（つまり、すべてのファイバーが同じ次元を持つ場合）、任意のサブ多様体Y'  ⊂  X'に対して次のように定義できます。

${\displaystyle f^{*}([Y'])=[f^{-1}(Y')]\,\!}$

仮定により、これはY′と同じ余次元を持ちます。

逆に、fが適切な場合、Xの部分多様体Yに対してプッシュフォワードは次のように定義される。

${\displaystyle f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!}$

ここでnは、 fのYへの制限が有限である場合は関数体の拡張の次数[ k ( Y ): k ( f ( Y ))]であり、そうでない場合は0である。

線形性により、これらの定義はアーベル群の準同型に拡張される。

${\displaystyle f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X)\quad {\text{and}}\quad f_{*}\colon Z_{k}(X)\to Z_{k}(X')\,\!}$

(後者は慣例により) はアーベル群の準同型である。環構造に関連する関数性については Chow 環を参照。

• 除数（代数幾何学）
• 相対サイクル

• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。シリーズ第3弾。数学における現代調査シリーズ、vol. 2、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98549-7、MR  1644323
• ゴードン、B. ブレント、ルイス、ジェームズ D.、ミュラー・シ​​ュタッハ、ステファン、斉藤、修二、由井、紀子編 (2000)、代数サイクルの算術と幾何学： CRM サマースクールの議事録、1998 年 6 月 7 日～19 日、カナダ、アルバータ州バンフ、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1954-8