アラケロフ理論

数学において、アラケロフ理論（またはアラケロフ幾何学）は、スーレン・アラケロフにちなんで名付けられたディオファントス幾何学へのアプローチです。高次元の ディオファントス方程式を研究するために使用されます。

アラケロフ幾何学の背後にある主な動機は、素イデアルと有限の場所の間に対応関係があるが、アルキメデスの付値によって与えられる無限遠 の場所も存在するということである。この場所には対応する素イデアルはない。アラケロフ幾何学は、無限遠に素数がある完備空間にコンパクト化する手法を与える。アラケロフの独自の構成は、そのような理論の 1 つを研究するもので、そこでは、因子の定義は、無限遠でのすべての付値に対してリーマン面まで拡張されるような、相対次元 1 上のスキームの構成子である。さらに、彼はこれらのリーマン面に、の複素点であるX ( C )上の正則ベクトル束上のエルミート計量を備える。この追加のエルミート構造は、スキームSpec( Z )が完備多様体 にならないことの代替として適用される。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v_{\infty}}$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ $${\displaystyle {\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle X}$

F ₁幾何学の基礎となる を拡張した完全な空間を構築するための他の手法も存在することに注意してください。 ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

を体、その整数環、および上の種数曲線とし、この曲線は算術曲面 と呼ばれる特異でないモデルを持つものとします。また、を体の包含 (無限遠にある場所を表すものと想定) とします。また、 を基底から への関連するリーマン面とします。このデータを使用して、 c 因子を形式的な線形結合として定義できます。ここで、 は余次元 1、、およびの の既約閉部分集合であり、和はのすべての実埋め込み上の和と、各複素埋め込みのペアに対する 1 つの埋め込み上の和を表します。c 因子の集合は、グループ を形成します。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$$${\displaystyle \infty :K\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle X_{\infty}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }}$$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \lambda _{\infty }\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle \sum _{\infty }}$$${\displaystyle K\to \mathbb {R} }$${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})}$

アラケロフ (1974, 1975)は、数体上の滑らかな射影曲線に付随する算術曲面上の交差理論を定義し、関数体の場合に知られている特定の結果を数体の場合にも証明することを目指した。ゲルト・ファルティングス(1984) は、この文脈でリーマン・ロッホの定理、ノイマンの公式、ホッジ指​​数定理、双対層の自己交差の非負性  などの結果を確立することにより、アラケロフの研究を拡張した。

アラケロフ理論は、ポール・ヴォイタ(1991) がモーデル予想の新しい証明を与えるために使用され、またゲルト・ファルティングス(1991) がセルジュ・ラングのモーデル予想の一般化 を証明するためにも使用された。

ピエール・ドリーニュ(1987) は、アラケロフの整数環のスペクトル上の 算術曲面上で定義された交差ペアリングを定義するためのより一般的な枠組みを開発した。ショウ・ウー・チャン (1992) は、正直線束の理論を開発し、算術曲面に対するナカイ・モイシェゾン型定理を証明した。チャン (1993、1995a、1995b) とルシアン・スピロ、エマニュエル・ウルモ、チャン (1997) による正直線束の理論のさらなる発展は、ウルモ (1998) とチャン (1998) によるボゴモロフ予想の証明に結実した。 ^[1]

アラケロフの理論は、アンリ・ジレとクリストフ・スーレによって高次元に一般化された。つまり、ジレとスーレは数論多様体上の交差ペアリングを定義した。ジレとスーレの主な結果の 1 つは、ジレ & スーレ (1992) の数論的リーマン・ロッホの定理であり、これはグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理の数論的多様体への拡張である。これに対して、数論多様体Xの数論的チョウ群CH ^p ( X ) を定義し、数論的チョウ群に値を取るX上のエルミートベクトル束のチャーン類を定義する。数論的リーマン・ロッホの定理は、チャーン類が数論多様体の適切な写像の下でベクトル束のプッシュフォワードに対してどのように動作するかを記述する。この定理の完全な証明は、最近になって Gillet、Rössler、Soulé によって発表されました。

アラケロフの算術曲面の交差理論は、ジャン＝ブノワ・ボスト (1999) によってさらに発展しました。ボストの理論は、対数特異点を除いてソボレフ空間に属するグリーン関数の使用に基づいています。この文脈で、ボストは算術ホッジ指数定理を取得し、これを使用して算術曲面のレフシェッツ定理を取得しました。 ${\displaystyle L_{1}^{2}}$

余次元pの算術サイクルは、 Z  ∈  Z ^p ( X ) がX上のpサイクルであり、g がZのグリーンカレント、つまりグリーン関数の高次元一般化である場合のペア ( Z、  g )です。余次元pの算術 Chow 群は、この群を特定の「自明な」サイクルによって生成される部分群で割ったものです。^[2] ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)}$

通常のグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、チャーン指標ch が層のプッシュフォワードの下でどのように振る舞うかを記述し、 ch( f _* ( E ))= f _* (ch(E)Td _{X / Y} ) と述べている。ここでf はXからYへの真射であり、Eはf上のベクトル束である。算術的リーマン・ロッホの定理も同様であるが、トッド類が特定の冪級数で乗算される点が異なる。算術的リーマン・ロッホの定理は 、 $${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))}$$

• XとY は正規の射影演算スキームです。
• fはXからYへの滑らかな真写像である
• E はX上の算術ベクトル束です。
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}}$算術チャーン文字です。
• T _X/Yは相対接線束である
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}}$算数のトッドクラスです
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)}$は${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))}$
• R ( X ) は形式冪級数に関連付けられた加法特性類である。$${\displaystyle \sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].}$$

• ホッジ・アラケロフ理論
• ホッジ理論
• P進ホッジ理論
• アデリックグループ

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