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数学の哲学は、数学の本質と、特に認識論や形而上学といった他の哲学分野との関係を扱う哲学の一分野である。中心的な問いとしては、数学的対象が純粋に抽象的な実体なのか、それとも何らかの具体的な実体なのか、また、そのような対象が物理的現実とどのような関係にあるのか、といったことが挙げられる。[ 1 ]
数学哲学で扱われる主なテーマには、以下のようなものがある。
数学と物質的現実との関連性は、少なくともピタゴラスの時代から哲学的な議論を引き起こしてきた。古代の哲学者プラトンは、物質的現実を反映する抽象概念自体が、空間と時間の外に存在する現実性を持つと主張した。その結果、数学的対象が何らかの形で抽象化の中でそれ自体で存在するという哲学的見解は、しばしばプラトン主義と呼ばれる。現代の数学者は、哲学的な見解とは関係なく、研究対象を実在の対象として考え、語るため、一般的にプラトン主義者とみなすことができる。[ 2 ]
アルマン・ボレルは、数学の現実に関するこの見解を次のように要約し、自身の見解を裏付けるGHハーディ、シャルル・エルミート、アンリ・ポアンカレ、アルベルト・アインシュタインの引用を提示した。[ 3 ]
何かが客観的になるのは（「主観的」ではなく）、それが他者の心の中にも私たちと同じ形で存在し、私たちがそれについて考え、議論できると確信した時である。[ 4 ]数学の言語は非常に正確であるため、そのような合意が存在する概念を定義するのに理想的である。私の意見では、それだけで数学の客観的な存在、現実感を私たちに与えるのに十分である。
しかしながら、プラトン主義と抽象化に関する同時期の見解は、数学の不合理な有効性を説明するものではない（プラトン主義は数学が独立して存在すると仮定しているが、それが現実と一致する理由を説明していない）。[ 5 ]
数学的推論には厳密さが求められる。これは、定義が絶対的に曖昧であってはならず、証明は経験的証拠や直観を一切用いずに、三段論法や推論規則の連続的な適用に還元できなければならないことを意味する。[ a ] [ b ] [ 6 ]
厳密な推論の規則は、古代ギリシャの哲学者たちによって論理学という名のもとに確立された。論理学は数学に特有のものではないが、数学における厳密性の基準は他の分野よりもはるかに高い。
何世紀にもわたり、論理学は数学的証明に用いられてきたものの、哲学に属し、数学者によって特別に研究されることはなかった。[ 7 ] 19世紀末頃、いくつかのパラドックスによって数学の論理的基礎、ひいては数学全体の妥当性が疑問視されるようになった。これは数学の基礎的危機と呼ばれている。これらのパラドックスの中には、平行線公準が間違っている有効な非ユークリッド幾何学を構築できる可能性、連続だがどこでも 微分できないワイエルシュトラス関数、無限集合の研究によって無限のさまざまなサイズ（無限基数）を考えるに至ったことなど、一般的な直観と矛盾するように見える結果が含まれている。さらに驚くべきことに、ラッセルのパラドックスは、「すべての集合の集合」というフレーズが自己矛盾であることを示している。
この問題を解決するために、論理的枠組みを変えることで解決できる方法がいくつか提案されている。例えば、 構成的数学や直観主義論理などである。大まかに言えば、前者はすべての存在定理に明示的な例が必要であることを要求し、後者は排中律と二重否定除去を数学的推論から除外するものである。
これらの論理体系は、古典論理に比べて推論規則が少ない。一方、古典論理は一階述語論理であり、これはおおよそ、量化子を無限集合に自由に適用できないことを意味する。このため、古典論理では実数の集合を定義することができず、中間値の定理を証明することもできない。こうしたことから、現在数学で広く用いられている高階述語論理が導入されるに至った。
数学の基礎に関する問題は、数学の新しい分野として数理論理学が台頭したことで、最終的に解決されました。この枠組みでは、数学的または論理的な理論は、整形式の主張を定義する形式言語、公理と呼ばれる一連の基本主張、および1つまたは複数の既知の主張から新しい主張を生成することを可能にする推論規則の集合から構成されます。このような理論の定理は、公理であるか、または推論規則を適用することによって既知の定理から得られる主張のいずれかです。一般にZFCと呼ばれる選択公理を持つツェルメロ＝フレンケル集合論は、すべての数学が再定式化された高階論理であり、どの基礎に基づいているかを明示的に指定していないすべての数学のテキストで暗黙のうちに使用されています。さらに、他の提案された基礎もZFC内でモデル化および研究することができます。
その結果、「厳密性」は数学においてもはや適切な概念ではなくなり、証明は正しいか間違っているかのどちらかであり、「厳密な証明」は単なる冗長表現となる。厳密性の特別な概念が重要になるのは、証明の社会化された側面においてである。特に、証明は詳細に記述されることはまれであり、証明のいくつかのステップは一般的に自明、容易、または単純であると考えられ、読者に委ねられる。証明の誤りのほとんどはこれらの省略されたステップで発生するため、新しい証明は当該分野の他の専門家によって検証される必要があり、専門家のコミュニティに受け入れられた後にのみ信頼できるとみなされるが、これには数年かかる場合がある。[ 8 ]
また、「厳密性」という概念は、数学的証明とは何かを初心者に教える上で依然として有用である可能性がある。[ 9 ]
数学はほとんどの科学において現象をモデル化するために用いられ、それによって実験法則から予測を行うことができる。[ 10 ]数学的真理がいかなる実験からも独立しているということは、そのような予測の正確さはモデルの適切さのみに依存することを意味する。[ 11 ]不正確な予測は、無効な数学的概念によって引き起こされるのではなく、使用されている数学モデルを変更する必要性を示唆している。[ 12 ]例えば、水星の近日点歳差運動は、ニュートンの万有引力の法則に代わるより優れた数学モデルとしてアインシュタインの一般相対性理論が登場した後にのみ説明できた。[ 13 ]
数学が科学であるかどうかについては、いまだ哲学的な議論が続いている。しかし実際には、数学者は通常科学者とグループ分けされ、数学は物理科学と多くの共通点を持っている。物理科学と同様に、数学は反証可能である。つまり、数学では、結果や理論が間違っている場合、反例を示すことでそれを証明できる。科学と同様に、理論や結果（定理）は実験から得られることが多い。[ 14 ]数学における実験は、特定の例に対する計算、あるいは数学的対象の図やその他の表現（多くの場合、物理的な裏付けのない心の表象）の研究から成り立つ。例えば、ガウスは自分の定理をどのようにして得たのかと尋ねられたとき、「体系的な実験によって」と答えたことがある。[ 15 ]しかし、数学は経験的証拠に頼らない点で、現代の科学の概念とは異なると強調する著者もいる。[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]
数学の不合理な有効性は、物理学者ユージン・ウィグナーによって名付けられ、初めて明確にされた現象である。[ 20 ]これは、多くの数学理論（最も純粋なものでさえ）が、当初の対象以外の分野にも応用されているという事実である。これらの応用は、当初の数学の領域とは全く異なる場合があり、数学理論が導入された時点では全く知られていなかった物理現象に関係している場合もある。[ 21 ]数学理論の予期せぬ応用例は、数学の多くの分野で見られる。
注目すべき例としては、RSA暗号システムによる安全なインターネット通信で一般的に使用される2000年以上前に発見された自然数の素因数分解が挙げられます。[ 22 ] 2つ目の歴史的な例は楕円の理論です。楕円は古代ギリシャの数学者によって円錐曲線（つまり、円錐と平面の交線）として研究されていました。それからほぼ2000年後、ヨハネス・ケプラーが惑星の軌道が楕円であることを発見しました。 [ 23 ]
19 世紀には、幾何学 (純粋数学) の内部発展により、非ユークリッド幾何学、3 次元を超える空間、多様体の定義と研究が行われました。当時、これらの概念は物理的現実とは全く無関係に思えましたが、20 世紀初頭にアルベルト・アインシュタインは、これらの概念を根本的に利用する相対性理論を発展させました。特に、特殊相対性理論の時空は4 次元の非ユークリッド空間であり、一般相対性理論の時空は4 次元の (曲がった) 多様体です。[ 24 ] [ 25 ]
数学と物理学の相互作用における顕著な側面の一つは、数学が物理学の研究を推進する点である。これは陽電子とバリオンの発見によって示されている。どちらの場合も、理論の方程式には説明のつかない解があり、未知の粒子の存在が推測され、これらの粒子の探索につながりました。どちらの場合も、これらの粒子は数年後に特定の実験によって発見されました。[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]
数学の起源は議論と意見の相違にある。数学の誕生が偶然によるものか、物理学などの類似の分野の発展の過程で必然的に生じたものかは、依然として議論の的となっている。[ 29 ] [ 30 ]
数学の哲学における長年の課題の一つは、論理学と数学の共通の基礎における両者の関係性である。20世紀の哲学者たちは、この記事の冒頭で述べたような問いを問い続けたが、20世紀の数学の哲学は、形式論理学、集合論（素朴集合論と公理的集合論の両方）、そして基礎論的な問題への関心が圧倒的に高かった。
数学的真理は、一方では抗いがたい必然性を持っているように見える一方で、他方ではその「真実性」の源泉が依然として捉えどころがないというのは、実に奥深い謎である。この問題の研究は、数学の基礎研究として知られている。
20世紀初頭には、数学哲学者たちは、これらの問題すべてに関して、数学的認識論と存在論に関するそれぞれの見解によって大きく分けられる様々な学派に分かれ始めていた。形式主義、直観主義、論理主義という3つの学派がこの時期に出現したが、これは、当時の数学、特に解析学が、当然のこととされてきた確実性と厳密性の基準を満たしていないという懸念が広まりつつあったことへの対応という側面もあった。それぞれの学派は、当時浮上した問題に取り組み、それらを解決しようと試みるか、あるいは数学は最も信頼できる知識としての地位に値しないと主張するかのいずれかであった。
20世紀初頭の形式論理学と集合論における驚くべき、そして直感に反する発展は、 従来数学の基礎と呼ばれてきたものに関する新たな疑問を生み出した。世紀が進むにつれ、当初の関心は数学の基本公理の探求へと拡大した。公理的アプローチは、紀元前300年頃のユークリッド の時代から、数学の自然な基礎として当然のこととされてきた。公理、命題、証明の概念、そして数学的対象について命題が真であるという概念が形式化され、数学的に扱うことが可能になった。集合論のツェルメロ＝フレンケル公理が定式化され、多くの数学的議論を解釈するための概念的枠組みが提供された。物理学と同様に、数学においても、新しく予期せぬアイデアが生まれ、大きな変化が訪れようとしていた。ゲーデル数化によって、命題はそれ自身や他の命題を参照していると解釈できるようになり、数学理論の一貫性を探求することが可能になった。検討対象の理論が「それ自体が数学的研究の対象となる」というこの反省的批判により、ヒルベルトはそのような研究をメタ数学または証明論と呼ぶようになった。[ 31 ]
20世紀半ば、サミュエル・アイレンバーグとサンダース・マックレーンによって圏論と呼ばれる新しい数学理論が創り出され、数学的思考の自然言語の新たな有力候補となった。[ 32 ]しかし、 20 世紀が進むにつれて、世紀初頭に提起された基礎論に関する疑問がどれほど根拠のあるものだったのかについて、哲学的な見解は分かれていった。ヒラリー・パトナムは、世紀末の3分の1における状況に関する一般的な見解を次のように要約している。
哲学が科学の誤りを発見したとき、時には科学を変えなければならないこともある――ラッセルのパラドックスや、バークリーによる実際の無限小への批判などが思い浮かぶ――が、多くの場合、変えなければならないのは哲学の方である。私は、哲学が今日古典数学に見出している困難は真の困難ではないと考えている。そして、至る所で提示されている数学の哲学的解釈は間違っており、「哲学的解釈」こそが数学に必要ではないものだと考えている。[ 33 ]： 169-170
現代の数学哲学は、数学哲学者、論理学者、数学者など、様々な研究者によって複数の異なる研究方向から進められており、この分野には多くの学派が存在する。次節では、これらの学派を個別に取り上げ、それぞれの前提を説明する。
現代の数学哲学における思想潮流には、芸術主義、プラトン主義、数学主義、論理主義、形式主義、慣習主義、直観主義、構成主義、有限主義、構造主義、身体化された心の理論（アリストテレス的実在論、心理主義、経験主義）、虚構主義、社会構成主義、および非伝統的な学派が含まれる。
しかし、これらの学派の多くは相互に両立可能です。例えば、現代の数学者のほとんどはプラトン主義者であり形式主義者でもあり、美学を非常に重視し、公理は現実に対する人間の直観との整合性（慣習主義）ではなく、それが生み出す結果に基づいて選択されるべきであると考えています。[ 26 ]
数学は仮定の美的組み合わせであると主張する見解があり、さらに数学は芸術であると主張する。この主張をした有名な数学者はイギリスのGHハーディである。ハーディは著書『数学者の弁明』の中で、数学の定義は概念の美的組み合わせに近いと述べた。[ 34 ]
数学的プラトン主義とは、数学的実体は抽象的であり、時空間的性質や因果的性質を持たず、永遠不変であると主張する実在論の一形態である。これはしばしば、大多数の人々が数に対して抱いている見解であると主張される。
マックス・テグマークの数学的宇宙仮説（または数学主義）は、すべての数学的対象が存在するだけでなく、それ以外のものは存在しないと主張する点で、プラトン主義よりもさらに進んでいます。テグマークの唯一の公準は、数学的に存在するすべての構造は物理的にも存在する、ということです。つまり、「自己認識する部分構造を含むほど複雑な[世界]では、それらは物理的に『現実の』世界に存在すると主観的に認識する」という意味です。[ 35 ] [ 36 ]
論理主義とは、数学は論理に還元可能であり、したがって論理の一部に過ぎないというテーゼである。[ 37 ]： 41論理主義者は、数学はアプリオリに知ることができると主張するが、数学に関する我々の知識は、一般的に論理に関する我々の知識の一部にすぎず、したがって分析的であり、特別な数学的直観能力を必要としないと示唆している。この見解では、論理は数学の適切な基礎であり、すべての数学的命題は必然的な論理的真理である。
ルドルフ・カルナップ（1931）は論理主義のテーゼを2つの部分に分けて提示している。[ 37 ]
ゴットロープ・フレーゲは論理主義の創始者である。彼の代表作『算術の基本法則』において、彼は「基本法則V」（概念FとGについて、すべての対象aに対してFaがGaに等しい場合に限り、 Fの拡張はGの拡張に等しい）と呼ばれる一般原理を持つ論理体系から算術を構築した。彼はこの原理を論理の一部として受け入れることができると考えていた。
フレーゲの構成には欠陥があった。バートランド・ラッセルは、基本法則Vが矛盾していることを発見した（これがラッセルのパラドックスである）。フレーゲはこの後まもなく論理主義のプログラムを放棄したが、ラッセルとホワイトヘッドによって引き継がれた。彼らはこのパラドックスを「悪循環」に起因するものとし、それに対処するために分岐型理論と呼ばれる体系を構築した。この体系において、彼らは最終的に現代数学の大部分を構築することができたが、それは改変され、過度に複雑な形式であった（例えば、各型に異なる自然数が存在し、型は無限に多かった）。また、彼らは「還元可能性の公理」など、数学の多くを発展させるためにいくつかの妥協をせざるを得なかった。ラッセル自身も、この公理は実際には論理学に属するものではないと述べている。
現代の論理学者（ボブ・ヘイル、クリスピン・ライト、その他）は、フレーゲの体系に近いプログラムへと回帰している。彼らは基本法則Vを放棄し、ヒュームの原理（概念Fに属する対象の数と概念Gに属する対象の数が等しいのは、 Fの拡張とGの拡張が1対1に対応できる場合に限る）のような抽象化原理を採用している。フレーゲは基本法則Vが数の明確な定義を与えることができることを要求したが、数のすべての性質はヒュームの原理から導き出すことができる。しかし、これはフレーゲにとっては十分ではなかった。なぜなら（彼の言葉を言い換えれば）、数3が実際にはユリウス・カエサルである可能性を排除できないからである。さらに、基本法則Vに代わるものとして採用せざるを得なかった多くの弱体化した原理は、もはや明らかに分析的、したがって純粋に論理的であるとは言えなくなっている。
形式主義によれば、数学的命題は、特定の文字列操作規則の結果に関する命題として考えることができる。例えば、ユークリッド幾何学の「ゲーム」 （これは「公理」と呼ばれるいくつかの文字列と、与えられた文字列から新しい文字列を生成するためのいくつかの「推論規則」から構成されていると見なされる）では、ピタゴラスの定理が成り立つことを証明できる（つまり、ピタゴラスの定理に対応する文字列を生成できる）。形式主義によれば、数学的真理は数や集合や三角形などに関するものではなく、実際には何についても「関係」を持たない。
形式主義の別の形態は演繹主義として知られています。[ 38 ]演繹主義では、ピタゴラスの定理は絶対的な真理ではなく、適切な公理から演繹的に導かれる場合、相対的な真理です。他のすべての数学的命題についても同じことが言えると考えられています。
形式主義は、数学が単なる無意味な記号ゲームに過ぎないという意味ではない。通常、ゲームのルールが成り立つような解釈が存在することが期待される。（この立場を構造主義と比較せよ。）しかし、形式主義は、現役の数学者が自身の研究を続け、そのような問題を哲学者や科学者に任せることを可能にする。多くの形式主義者は、実際には、研究すべき公理系は科学や他の数学分野の要求によって示唆されるだろうと言うだろう。
形式主義の初期の主要な提唱者の一人は、数学のすべてを完全かつ無矛盾な公理化にすることを目指したデイヴィッド・ヒルベルトであった。 [ 39 ]ヒルベルトは、「有限算術」（哲学的に議論の余地がないように選ばれた正の整数の通常の算術のサブシステム）が無矛盾であるという仮定から、数学体系の無矛盾性を示すことを目指した。完全かつ無矛盾な数学体系を作るというヒルベルトの目標は、十分に表現力のある無矛盾な公理体系は決して自身の無矛盾性を証明できないというゲーデルの不完全性定理の第二定理によって深刻な打撃を受けた。そのような公理体系は有限算術をサブシステムとして含むため、ゲーデルの定理は、有限算術に関して体系の無矛盾性を証明することは不可能であることを意味した（なぜなら、そうすると体系は自身の無矛盾性を証明することになり、ゲーデルはそれが不可能であることを示したからである）。したがって、数学の公理系が実際に無矛盾であることを示すためには、まず、証明しようとする数学体系よりもある意味で強い数学体系の無矛盾性を仮定する必要がある。
ヒルベルトは当初演繹主義者であったが、上記からも明らかなように、ある種のメタ数学的手法は本質的に意味のある結果をもたらすと考え、有限算術に関しては実在論者であった。後に彼は、解釈に関わらず、それ以外の意味のある数学は存在しないという見解を持つようになった。
ルドルフ・カルナップ、アルフレッド・タルスキ、ハスケル・カリーといった他の形式主義者たちは、数学を形式的な公理系の研究と捉えていた。数理論理学者は形式体系を研究するが、形式主義者であると同時に実在論者でもある場合が多い。
形式主義者は、論理学への新しいアプローチ、非標準的な数体系、新しい集合論などに対して比較的寛容で、積極的に受け入れる傾向がある。研究するゲームが多ければ多いほど良い。しかし、これら3つの例すべてにおいて、動機は既存の数学的または哲学的関心事から引き出されている。「ゲーム」は通常、恣意的なものではない。
形式主義に対する主な批判は、数学者が実際に取り組んでいる数学的概念は、上述の文字列操作ゲームとはかけ離れているという点にある。そのため、形式主義はどの公理系を研究すべきかという問題については沈黙しており、形式主義的な観点からすれば、どの公理系も他より優れているとは言えない。
最近、形式主義数学者の中には、数学的証明の自動検証や、数学理論やコンピュータソフトウェアの開発における対話型定理証明の利用を容易にするために、形式的な数学的知識すべてをコンピュータが読み取れる形式で体系的に符号化すべきだと提唱する者もいる。コンピュータ科学との密接な関係から、この考えは「計算可能性」の伝統における数学的直観主義者や構成主義者によっても支持されている。
フランスの数学者アンリ・ポアンカレは、慣習主義的な見解を最初に提唱した人物の一人である。微分方程式の研究において非ユークリッド幾何学を用いたポアンカレは、ユークリッド幾何学を先験的な真理とみなすべきではないと確信した。彼は、幾何学における公理は、物理世界に関する人間の直観との見かけ上の整合性ではなく、それがもたらす結果に基づいて選択されるべきであると主張した。
数学において、直観主義は「経験されない数学的真理は存在しない」というモットーを掲げる方法論改革のプログラムである（LEJ Brouwer）。この出発点から、直観主義者たちは、カントの存在、生成、直観、知識の概念に従って、数学の修正可能な部分だと考えられるものを再構築しようとしている。この運動の創始者であるBrouwerは、数学的対象は、経験的対象の知覚を規定する意志のアプリオリな形式から生じると主張した。 [ 40 ]
直観主義の主要な推進者の一人は、数学においていかなる形式化された論理も有用ではないと主張したLEJ・ブロウワーであった。彼の弟子であるアーレント・ヘイティングは、古典的なアリストテレス論理とは異なる直観主義論理を提唱した。この論理は排中律を含まないため、背理法による証明を否定する。選択公理もほとんどの直観主義集合論では否定されているが、一部のバージョンでは受け入れられている。
直観主義においては、「明示的構成」という用語は明確に定義されておらず、それが批判を招いてきた。このギャップを埋めるためにチューリングマシンや計算可能関数の概念を用いる試みがなされ、有限アルゴリズムの挙動に関する問題のみが有意義であり、数学において研究されるべきであるという主張につながった。これが、アラン・チューリングによって初めて導入された計算可能数の研究へとつながった。したがって、この数学へのアプローチが理論計算機科学と関連付けられることがあるのは、当然のことと言えるだろう。
直観主義と同様に、構成主義は、ある意味で明示的に構成できる数学的実体のみが数学的言説に認められるべきであるという規制原理を含んでいます。この見方では、数学は人間の直観の訓練であり、意味のない記号で遊ぶゲームではありません。むしろ、それは精神活動を通して直接創造できる実体に関するものです。さらに、これらの学派の支持者の中には、対象の存在を示すときや命題の真偽を確立しようとするときに背理法を用いるなど、非構成的な証明を拒否する人もいます。重要な業績は、エレット・ビショップによってなされました。彼は1967年の著書『構成的解析の基礎』の中で、実解析の最も重要な定理のいくつかのバージョンを構成的解析として証明することに成功しました。[ 41 ]
有限主義は構成主義の極端な形態であり、それによれば、数学的対象は有限個の手順で自然数から構成できない限り存在しない。メアリー・タイルズは著書『集合論の哲学』の中で、可算無限の対象を認める人々を古典的有限主義者、可算無限の対象さえも否定する人々を厳格有限主義者と特徴づけた。
有限主義の最も有名な提唱者はレオポルド・クロネッカー[ 42 ]であり、彼は次のように述べている。
神は自然数を創造した。それ以外はすべて人間の仕事である。
超有限主義は有限主義のさらに極端なバージョンであり、無限だけでなく、利用可能なリソースでは実現不可能な有限量も拒否します。有限主義のもう1つの変種はユークリッド算術であり、ジョン・ペン・メイベリーが著書『集合論における数学の基礎』で開発したシステムです。[ 43 ]メイベリーのシステムは、一般的にアリストテレスに触発されており、数学の基礎における操作主義や実現可能性の役割を強く拒否しているにもかかわらず、超指数関数は正当な有限関数ではないなど、やや似た結論に達しています。
構造主義とは、数学理論は構造を記述するものであり、数学的対象はそうした構造における位置によって完全に定義され、したがって固有の性質を持たないという立場である。例えば、1という数について知るべきことは、それが0の次の最初の整数であるということだけだと主張するだろう。同様に、他のすべての整数も、数直線という構造における位置によって定義される。数学的対象の他の例としては、幾何学における直線や平面、抽象代数学における要素や演算などが挙げられる。
構造主義は、数学的命題が客観的な真理値を持つという点で、認識論的に実在論的な見解である。しかし、その中心的な主張は、数学的対象がどのような実体であるかということにのみ関係し、数学的対象や構造がどのような存在を持つか（言い換えれば、それらの存在論）には関係しない。数学的対象が持つ存在の種類は、明らかにそれらが埋め込まれている構造の存在の種類に依存するだろう。この点に関して、構造主義のさまざまな下位分類は、異なる存在論的主張をしている。[ 44 ]
先物構造主義（「事物以前」）は、プラトン主義と類似した存在論を持つ。構造は、実在するものの抽象的で非物質的な存在を持つとされる。そのため、抽象的な構造と生身の数学者との相互作用を説明するという、標準的な認識論的問題に直面する。
構造主義（「物の中に」）は、アリストテレス的実在論に相当する。構造は、何らかの具体的なシステムがそれを例示する限りにおいて存在するとされる。しかし、これには、完全に正当な構造が偶然にも存在しない場合や、有限な物理世界が、本来正当な構造を収容するには「大きすぎる」場合など、通常生じる問題が伴う。
ポストレム構造主義（「事物後」）は、名目論と並行する形で構造に関して反実在論的である。名目論と同様に、ポストレムのアプローチは、関係構造における位置以外の性質を持つ抽象的な数学的対象の存在を否定する。この見解によれば、数学体系は存在し、共通の構造的特徴を持つ。ある構造について何かが真であれば、その構造を例示するすべての体系について真となる。しかし、体系間で構造が「共通している」と語ることは単なる道具に過ぎず、実際には構造は独立した存在を持たない。
身体化された心の理論では、数学的思考は、私たちの物理的な宇宙に存在する人間の認知機構の自然な発展であると考えられています。例えば、数の抽象概念は、個々の物体を数える経験（物体を検出するための視覚や触覚、そして脳からの信号伝達など、人間の感覚を必要とする）から生まれます。数学は普遍的なものではなく、人間の脳内以外にはいかなる意味においても実在しないと考えられています。人間は数学を構築するのであって、発見するのではないのです。
パターンを見つけたり、物体を区別したりする認知プロセスも神経科学の対象です。数学が自然界に関連していると考えられる場合（純粋な独我論とは対照的に、現実主義やその程度から）、
現実との実際の関連性は、信頼できる近似値として受け入れられているものの（知覚、身体、感覚の進化は生存に必要であった可能性も示唆されている）、完全な現実主義に必ずしも正確ではなく（錯覚、仮定（結果として、人間が数学を形成してきた基礎と公理）、一般化、欺瞞、幻覚などの欠陥の影響を受ける）、そのため、現代の科学的方法が一般数学と互換性があるかどうかについても疑問が生じる可能性がある。なぜなら、比較的信頼できるものの、経験主義によって測定できる範囲が限られており、それが以前想定されていたほど信頼できない可能性があるからである（量子非局所性や遠隔作用などの「直感に反する」概念も参照）。
もう一つの問題は、ある数体系が必ずしも問題解決に適用できるとは限らないという点です。複素数や虚数といった概念は、より一般的に用いられる数学の公理に特別な変更を加える必要があり、そうでなければ適切に理解することができません。
あるいは、コンピュータプログラマーは、バイナリコード化された値を人間にとって分かりやすい形で表現するために、 10進数（人間には指が10本あるため、数えるのに便利）ではなく、16進数を使用することもある。数学の背後にある公理や論理規則も時代とともに変化する（例えば、ゼロの発明と適用など）。
人間の脳からの知覚は、錯覚、仮定、欺瞞、（誘発された）幻覚、認知エラー、または一般的な文脈での仮定の影響を受けるため、それらが正確であるか、または厳密に真実を示しているかどうか（存在の哲学も参照）、および宇宙との関係における経験主義自体の性質、そしてそれが感覚や宇宙から独立しているかどうかが疑問視される可能性があります。
人間の精神は、現実や数学に基づいて構築された現実へのアプローチに対して特別な権利を持つものではない。オイラーの等式のような概念が正しいとすれば、それは人間の精神と認知の地図として正しいということになる。
身体化された心の理論家たちは、数学の有効性を説明する。すなわち、数学はこの宇宙で有効に機能するために脳によって構築されたのだと。
この視点を最も分かりやすく、有名で、そして悪名高い形で扱ったのが、ジョージ・レイコフとラファエル・E・ヌニェスによる『数学の起源』である。さらに、数学者のキース・デブリンは著書『数学の本能』で、神経科学者のスタニスラス・デハネは著書『数感覚』で、同様の概念を探求している。
アリストテレス実在論は、数学は対称性、連続性、秩序といった物理世界（あるいは存在するかもしれない他の世界）で文字通り実現可能な性質を研究すると主張する。これは、数などの数学の対象が「抽象的な」世界に存在せず、物理的に実現可能であるという点でプラトン主義とは対照的である。例えば、数4は、オウムの山と、その山を何羽ものオウムに分ける普遍的な「オウムであること」との関係において実現される。[ 45 ] [ 46 ]アリストテレス実在論は、数学の哲学においてジェームズ・フランクリンとシドニー学派によって擁護されており、卵パックを開けると3つの卵のセット（つまり、物理世界で実現される数学的実体）が知覚されるというペネロペ・マディの見解に近い。 [ 47 ]アリストテレス実在論の問題は、物理世界では実現不可能かもしれない高次の無限をどのように説明するかである。
ジョン・ペン・メイベリーが著書『集合論における数学の基礎』[ 43 ]で展開したユークリッド算術もまた、アリストテレス的実在論の伝統に属する。メイベリーはユークリッドに倣い、数を単に自然界で実現される「明確な単位の集合」とみなす。例えば、「ロンドン交響楽団のメンバー」や「バーナムの森の木々」などである。ユークリッドの共通概念5（全体は部分よりも大きい）が成り立たず、結果として無限とみなされるような明確な単位の集合が存在するかどうかは、メイベリーにとって本質的に自然に関する問題であり、超越論的な仮定を伴うものではない。
数学哲学における心理主義とは、数学的概念や真理は、心理学的事実（または法則）に基づいている、そこから導き出される、あるいはそれによって説明されるという立場である。
ジョン・スチュアート・ミルは、ある種の論理的心理主義の支持者であったようで、19世紀のドイツの論理学者であるジグヴァルトやエルドマン、そして過去と現在の多くの心理学者（例えばギュスターヴ・ル・ボン）も同様であった。心理主義は、フレーゲが『算術の基礎』や、フッサールの『算術の哲学』の書評を含む多くの著作やエッセイで批判したことで有名である。エドムント・フッサールは、 『論理学研究』の第1巻「純粋論理学の序論」で心理主義を徹底的に批判し、そこから距離を置こうとした。「序論」は、フレーゲの批判よりも簡潔で公平かつ徹底的な心理主義への反駁であると考えられており、また、心理主義への決定的な打撃として、今日でも多くの人々に記憶に残る反駁とみなされている。心理主義は、チャールズ・サンダース・パースやモーリス・メルロ＝ポンティによっても批判された。
数学的経験主義は、数学はそもそも先験的に知ることができないと主張する実在論の一形態である。それは、他の科学の事実と同様に、数学的事実は経験的研究 によって発見されると主張する。これは、20世紀初頭に提唱された古典的な 3 つの立場の 1 つではなく、主に世紀半ばに現れたものである。しかし、このような見解の重要な初期の提唱者の 1 つはジョン・スチュアート・ミルであった。ミルの見解は、AJ エア[ 48 ]などの批評家によれば、「2 + 2 = 4」のような命題を不確実で偶発的な真理として提示し、2 つのペアが集まって 4 つを形成する事例を観察することによってのみ知ることができるため、広く批判された。
カール・ポパーもまた、数学の経験的側面を指摘した哲学者の一人であり、「ほとんどの数学理論は、物理学や生物学の理論と同様に、仮説演繹的である。したがって、純粋数学は、仮説が推測である自然科学に、つい最近まで思われていたよりもはるかに近いことがわかった」と述べている。[ 49 ]ポパーはまた、「経験によって検証可能な場合にのみ、システムを経験的または科学的と認める」とも述べている。[ 50 ]
WVO・クワインとヒラリー・パトナムによって定式化された現代の数学的経験主義は、主に不可欠性論証によって支えられています。すなわち、数学はあらゆる経験科学に不可欠であり、科学によって記述される現象の現実性を信じたいのであれば、その記述に必要な実体の現実性も信じなければならない、というものです。言い換えれば、物理学が電球の振る舞いを説明するために電子について語る必要があるのだから、電子は存在しなければならない。物理学が何らかの説明をする際に数について語る必要があるのだから、数も存在しなければならない。クワインとパトナムの全体的な哲学に沿って、これは自然主義的な議論です。それは、経験に対する最良の説明として数学的実体の存在を主張し、それによって数学を他の科学から区別するものを取り除いてしまうのです。
パトナムは、「プラトン主義」という用語は、数学の実践に実際には必要のない過度に限定的な存在論を意味するとして、強く否定した。彼は、真理の神秘的な概念を否定し、数学における準経験主義を多く受け入れる「純粋実在論」の一形態を提唱した。これは、20世紀後半にますます広まった、数学の単一の基礎が存在することを証明することは不可能であるという主張から発展したものである。また、「数学におけるポストモダニズム」と呼ばれることもあるが、この用語は一部の人には過剰に解釈され、他の人には侮辱的だと考えられている。準経験主義は、数学者は研究を行う際に、定理を証明するだけでなく仮説も検証すると主張する。数学的議論は、前提から結論に真理を伝えるのと同様に、結論から前提に偽を伝えることもできる。パトナムは、数学的実在論のいかなる理論も準経験的方法を含むと主張した。彼は、数学を行う異星種族は、厳密で公理的な証明をしばしば放棄することをいとわず、主に準経験的方法に頼り、それでもなお数学を行っている可能性があると提案した。ただし、計算の失敗のリスクは多少高くなるかもしれない。彼は『新方向』でこのことについて詳細な議論を展開した。[ 51 ]準経験主義はイムレ・ラカトシュによっても発展させられた。
数学の経験主義的見解に対する最も重要な批判は、ミルに対する批判とほぼ同じである。数学が他の科学と同様に経験主義的であるならば、その結果も他の科学と同様に誤りやすく、偶然に左右されるということになる。ミルの場合、経験的正当化は直接的に得られるが、クワインの場合は、科学理論全体の整合性、すなわちE・O・ウィルソン以降のコンシリエンスを通して間接的に得られる。クワインは、数学が完全に確実なように見えるのは、それが私たちの信念体系において極めて中心的な役割を果たしているためであり、それを修正することは不可能ではないものの、極めて困難であると示唆している。
クワインとゲーデルのアプローチの欠点を克服しようと、それぞれの側面を取り入れた数学哲学については、ペネロペ・マディの『数学における実在論』を参照されたい。実在論の理論のもう一つの例は、身体化された心の理論である。
数学的虚構主義は、1980年にハートリー・フィールドが『数なき科学』[ 52 ]を出版したことで有名になった。この著作は、クワインの不可欠性論を否定し、実際には逆転させた。クワインは、数学は最良の科学理論にとって不可欠であり、したがって独立して存在する実体について語る真理の体系として受け入れられるべきだと示唆したが、フィールドは、数学は不要であり、したがって現実について何も語らない虚偽の体系として考えるべきだと示唆した。彼は、数や関数に全く言及することなく、ニュートン力学の完全な公理化を与えることでこれを行った。彼は、空間を座標化せずに特徴付けるためにヒルベルトの公理の「中間性」から始め、次に、以前はベクトル場が行っていた仕事をするために点間の追加の関係を追加した。ヒルベルトの幾何学は抽象的な点について語っているので数学的だが、フィールドの理論では、これらの点は物理空間の具体的な点なので、特別な数学的対象は全く必要ない。
数値を用いずに科学を行う方法を示したフィールドは、数学を一種の有用なフィクションとして再評価することに着手した。彼は、数理物理学は自身の非数学的物理学の保守的な拡張であること（つまり、数理物理学で証明可能なすべての物理的事実は、フィールドの体系からすでに証明可能であること）を示し、数学は、その記述自体は偽であっても、物理的応用はすべて真である信頼できるプロセスであると主張した。したがって、数学を行うとき、私たちは、あたかも数値が存在するかのように語り、一種の物語を語っていると考えることができる。フィールドにとって、「2 + 2 = 4」のような記述は、「シャーロック・ホームズはベーカー街221Bに住んでいた」という記述と同じくらい架空のものであるが、どちらもそれぞれのフィクションにおいては真である。
別のフィクション作家であるメアリー・レンは、数学と物理世界との間の見かけ上のつながりを「偶然の一致」として一蹴することで、この視点を簡潔に表現している。この否定は、数学自体を人工的なものと見なしつつも、何らかの形で現実に制約されたり適合したりする他の形態の反実在論からフィクション主義を区別するものである。[ 53 ]
この説明によれば、数学特有の形而上学的あるいは認識論的な問題は存在しない。残る懸念は、非数学的な物理学、そして一般的にフィクションに関する一般的な懸念だけである。フィールドのアプローチは非常に影響力があったが、広く拒絶されている。これは、彼の還元を実行するために強力な二階述語論理の断片が必要となること、そして保守性の主張が抽象的なモデルや演繹に対する量化を必要とするように見えることが一因である。
社会構成主義は、数学を主に社会的な構築物、つまり文化の産物であり、修正や変化の対象となるものと捉える。他の科学と同様に、数学も経験的な営みであり、その結果は絶えず評価され、場合によっては破棄されることもある。しかし、経験主義的な見方では評価は「現実」との比較であるのに対し、社会構成主義者は、数学研究の方向性は、それを行う社会集団の流行、あるいはそれを資金提供する社会のニーズによって決定されると強調する。しかし、こうした外的要因によって数学研究の方向性が変わる可能性はあるものの、数学者が文化的に培われてきた数学の伝統、方法、問題、意味、価値観といった強力な内的制約が存在し、歴史的に定義された学問分野を維持しようと努めている。
これは、数学は純粋で客観的であるという、現役数学者の伝統的な信念に反する。しかし、社会構成主義者は、数学は実際には多くの不確実性に基づいていると主張する。数学の実践が進化するにつれて、以前の数学の地位は疑わしくなり、現在の数学コミュニティが必要とする、あるいは望む程度に修正される。これは、ライプニッツとニュートンの微積分を再検討することから解析学が発展したことに見られる。彼らはさらに、公理的証明と査読という実践を過度に重視するあまり、完成された数学が過大評価され、民俗数学が過小評価されることが多いと主張する。
数学の社会的な性質は、そのサブカルチャーに顕著に表れている。ある数学分野で重要な発見がなされ、それが別の分野にも関連することがあるにもかかわらず、数学者間の社会的交流の欠如のために、その関係性が発見されないままになっていることがある。社会構成主義者は、それぞれの専門分野が独自の認識共同体を形成しており、しばしばコミュニケーションに大きな困難を抱え、異なる数学分野を結びつける可能性のある統一的な推測の探求を促すことが難しいと主張する。社会構成主義者は、「数学を行う」というプロセスこそが意味を生み出すものだと考える一方、社会現実主義者は、人間の抽象化能力の欠如、人間の認知バイアス、あるいは数学者の集合知の欠如が、数学的対象の真の宇宙を理解することを妨げていると考える。社会構成主義者は、数学の基礎を探求することは必ず失敗する、無意味、あるいは無益であるとして、それを拒絶することもある。
この学派にはイムレ・ラカトシュとトーマス・ティモチュコが貢献しているが、どちらもこの名称を支持するかどうかは明らかではない。最近では、ポール・アーネストが数学の社会構成主義哲学を明確に定式化している。[ 54 ]ポール・エルデシュの業績全体がこの見解を前進させたと考える人もいる（エルデシュ自身はこれを否定しているが）。これは、エルデシュ数などを通じて、他の人々が「数学を社会活動として捉え、研究する」よう促した、他に類を見ない幅広い協力関係によるものである。ルーベン・ハーシュも数学の社会観を推進し、それを「人間主義的」アプローチと呼んでいる。[ 55 ]これはアルヴィン・ホワイトに関連付けられているものと似ているが、全く同じではない。[ 56 ]ハーシュの共著者の1人であるフィリップ・J・デイビスも社会観に共感を示している。
数学的真理の本質についての狭い議論や、証明といった数学者特有の手法に焦点を当てるのではなく、1960年代から1990年代にかけて、数学が機能する理由の基礎を探したり、唯一の正解を見つけたりするという考え方に疑問を投げかける動きが広がり始めた。その出発点となったのは、ユージン・ウィグナーの1960年の有名な論文「自然科学における数学の不合理な有効性」であり、その中で彼は、数学と物理学がこれほど見事に一致しているという幸運な偶然は不合理で説明しにくいと主張した。
実在論と構成主義の理論は通常、相反するものと見なされます。しかし、カール・ポパー[ 57 ]は、 「2個のリンゴ＋2個のリンゴ＝4個のリンゴ」のような数命題は2つの意味で解釈できると主張しました。1つの意味では、それは反駁不可能で論理的に真です。2つ目の意味では、それは事実的に真であり、反証可能です。別の言い方をすれば、1つの数命題は2つの命題を表すことができ、そのうちの1つは構成主義的な観点から説明でき、もう1つは実在論的な観点から説明できるということです。[ 58 ]
モハン・ガネサリンガムは、形式言語学の手法を用いて数学言語を分析した。[ 59 ]ガネサリンガムは、数学言語を分析する際には自然言語のいくつかの特徴（時制など）は必ずしも必要ではないが、多くの分析ツール（文脈自由文法など）は使用できると指摘している。重要な違いの一つは、数学的対象には明確に定義された型があり、それをテキスト内で明示的に定義できることである。「事実上、文のある部分で単語を導入し、別の部分でその品詞を宣言することが許されている。そして、この操作は自然言語には存在しない。」[ 59 ] : 251
ウィラード・クワインとヒラリー・パトナムに関連するこの議論は、スティーブン・ヤブロによって、数や集合などの抽象的な数学的実体の存在を認めることを支持する最も困難な議論の1つであると考えられている。[ 60 ]この議論の形式は次のとおりである。
最初の前提の正当化が最も議論の的となっている。パトナムとクワインはともに自然主義を持ち出して、非科学的な実体をすべて排除することを正当化し、それゆえ「すべてかつ唯一」の「唯一」の部分を擁護している。数を含む科学理論で想定される「すべて」の実体は実在として受け入れられるべきであるという主張は、確証全体論によって正当化される。理論は断片的にではなく全体として確認されるため、十分に確証された理論で言及されている実体を排除する正当化はない。これは、例えば集合や非ユークリッド幾何学の存在を排除したいが、クォークやその他の検出不可能な物理学上の実体の存在は含めたいと考える名目論者を困難な立場に置くことになる。[ 61 ]
プラトン主義に対する反実在論的な「認識論的議論」は、ポール・ベナセラフとハートリー・フィールドによってなされた。プラトン主義は、数学的対象は抽象的な実体であると主張する。一般的に、抽象的な実体は具体的な物理的実体と因果的に相互作用することはできない（「我々の数学的主張の真偽値は、時空外の領域に存在するプラトン的実体に関する事実に依存する」[ 62 ]）。具体的な物理的対象に関する我々の知識は、それらを知覚し、したがってそれらと因果的に相互作用する能力に基づいているが、数学者が抽象的な対象に関する知識を得る方法については、同様の説明はない。[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]この点を別の言い方で説明すると、プラトン的世界が消滅したとしても、数学者が証明などを生成する能力には何ら影響はなく、それはすでに彼らの脳内の物理的プロセスによって完全に説明できる。
フィールドは自身の見解をフィクション主義へと発展させた。ベナセラフもまた、数学的対象は存在しないとする数学的構造主義の哲学を発展させた。とはいえ、構造主義のいくつかのバージョンは、実在論のいくつかのバージョンと両立可能である。
この議論は、思考過程を脳の過程という観点から満足のいく自然主義的な説明で数学的推論を含むあらゆるものについて説明できるという考えに基づいている。これに対する一つの反論は、これは誤りであり、数学的推論はプラトン的領域との接触を伴う特別な直観を用いるというものである。この議論の現代版は、サー・ロジャー・ペンローズによって提示されている。[ 66 ]
もう一つの反論は、抽象的な対象は数学的推論において非因果的な関係を持ち、知覚とは類似していないと主張することである。この議論は、ジェロルド・カッツが2000年の著書『現実主義的合理主義』で展開している。
より過激な反論としては、物理的現実の否定、すなわち数学的宇宙仮説が挙げられる。この場合、数学者の数学に関する知識とは、ある数学的対象が別の数学的対象と接触することである。
多くの数学者は、数学の中に美しさを見出すことから、この分野に惹かれてきた。数学者は哲学は哲学者に任せて、数学に戻りたい、つまり、おそらく美しさは数学の中にあるのだろう、という意見を耳にすることもある。
H・E・ハントリーは、神聖比に関する著作の中で、数学の定理の証明を他者が書いたものを読んで理解する感覚を、芸術の傑作を鑑賞する感覚になぞらえている。証明を読む者は、証明の原著者と同様に、理解した時の高揚感を覚える。ハントリーによれば、傑作を鑑賞する者は、原画家や彫刻家と同様の高揚感を覚えるのである。実際、数学や科学の著作は文学として研究することができる。
フィリップ・J・デイビスとルーベン・ハーシュは、数学の美しさに対する感覚は、数学者の間で普遍的なものであると述べています。例として、彼らは√2の無理数性を証明する2つの方法を示しています。1つ目は、ユークリッドに帰せられる伝統的な背理法による証明です。2つ目は、算術の基本定理を用いたより直接的な証明であり、彼らはこの証明こそが問題の本質に迫るものだと主張しています。デイビスとハーシュは、数学者にとって2つ目の証明の方が美的に魅力的に映るのは、問題の本質により近いからだと論じています。
ポール・エルデシュは、最も優雅で美しい数学的証明を収めた架空の「書物」という概念でよく知られていた。しかし、ある結果に「最も優雅な」証明が一つだけ存在するという点については、必ずしも意見が一致しているわけではない。グレゴリー・チャイティンはこの考えに反論している。
哲学者たちは、数学者の美意識や優雅さに対する感覚は、せいぜい漠然としたものだと批判してきた。しかしながら、数学の哲学者たちは、論理的に正しい証明が複数ある場合、なぜ一方の証明が他方よりも望ましいのかを明らかにしようと努めてきた。
数学に関する美学のもう一つの側面は、数学者が非倫理的または不適切な目的で数学を使用する可能性について抱く見解である。この見解を最もよく表しているのは、G・H・ハーディの著書『数学者の弁明』であり、ハーディはこの中で、純粋数学は戦争やそれに類する目的に使用できないというまさにその理由から、応用数学よりも美しさにおいて優れていると主張している。
