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数学の哲学において、形式主義とは、数学や論理の命題は、確立された操作規則を用いて文字列（通常は方程式として表される、英数字の記号列）を操作した結果についての命題とみなすことができるという見解である。形式主義の中心的な考え方は、「数学は現実の抽象的な領域を表す命題の集合ではなく、ルドやチェスと同様に、対象や性質の存在論へのコミットメントを伴わないゲームに非常によく似ている」ということである。[ 1 ]
形式主義によれば、数学的命題は、物理命題が物質的な対象について述べるのとは異なり、数、集合、三角形、その他の数学的対象について述べるものではありません。むしろ、それらは純粋に構文的な表現、つまり、明示的な規則に従って操作される記号の形式的な列であり、固有の意味を持ちません。これらの記号表現は、チェスの駒が現実世界の実体を表すことなく動きの規則に従うのと同様に、私たちが解釈（または意味論）を割り当てることを選択した場合にのみ、解釈を獲得します。この見解は、数学的対象が何らかの抽象的な領域に実際に存在すると主張する数学的実在論とは著しく対照的です。
形式主義は、19世紀後半から20世紀初頭にかけての数学の基礎的な危機、特に集合論におけるパラドックスへの懸念や数学体系の一貫性に関する疑問への対応として出現した。形式主義は、論理主義や直観主義と並んで、この時期に発展した数学に対する3つの主要な哲学的アプローチの1つであるが、形式主義は、これらのより狭義に定義された見解よりも幅広い立場を包含している。形式主義者の中で、ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトが最も影響力のある提唱者であり、純粋に形式的な方法によって数学の一貫性を確立するためのヒルベルト・プログラムとして知られるようになったものを開発した。[ 2 ]
初期の数学形式主義者たちは、「抽象的な対象という問題のある領域への存在論的なコミットメントを（何らかの方法で）阻止、回避、または迂回する」ことを試みた。[ 3 ]ドイツの数学者エドゥアルト・ハイネとカール・ヨハネス・トーマエは、数学形式主義の初期の提唱者と考えられている。[ 3 ]ハイネとトーマエの形式主義は、ゴットロープ・フレーゲの『算術の基礎』における批判に見出すことができる。
アラン・ウィアーによれば、フレーゲが批判するハイネとトマエの形式主義は「項形式主義またはゲーム形式主義」と表現できる。[ 3 ]項形式主義とは、数式は数ではなく記号を指すという見解である。ハイネはこの見解を次のように表現した。「定義に関しては、私は純粋に形式的な立場を取り、特定の具体的な記号を数と呼ぶので、これらの数の存在は問題にならない。」[ 4 ]
トマエは、ゲーム形式主義者として特徴づけられており、次のように主張した。「形式主義者にとって、算術は空と呼ばれる記号を用いたゲームである。つまり、それらの記号は、特定の組み合わせ規則（ゲームの規則）に関する振る舞いによって割り当てられる内容以外には、（計算ゲームにおいて）何ら内容を持たない。」[ 5 ]
フレーゲはハイネとトマエの形式主義に対して3つの批判をしています。「[形式主義は]数学の応用を説明できないこと、形式理論とメタ理論を混同していること、無限数列の概念について首尾一貫した説明ができないこと」です。[ 6 ]フレーゲのハイネの形式主義に対する批判は、彼の形式主義が無限数列を説明できないという点です。ダメットは、ハイネの説明よりも発展した形式主義の説明は、具体的な対象ではなく抽象的な記号に関心があると主張することで、フレーゲの反論を回避できると主張しています。[ 7 ]フレーゲは、形式主義をチェスのようなゲームと比較することに反対しています。[ 8 ]フレーゲは、トマエの形式主義はゲームと理論を区別できていないと主張しています。
形式主義の主要人物の一人にデイヴィッド・ヒルベルトがおり、彼のプログラムは数学全体の完全かつ一貫した公理化を目指していた。 [ 9 ]ヒルベルトは、「有限算術」（哲学的に議論の余地がないように選ばれた正の整数の通常の算術のサブシステム）が一貫している（つまり、そのシステムから矛盾を導き出すことができない）という仮定から、数学システムの一貫性を示すことを目指した。
ヒルベルトが公理系が無矛盾であることを示そうとした方法は、特定の言語を用いてそれを形式化することでした。[ 10 ]公理系を形式化するために、まずそのシステム内で演算を表現および実行できる言語を選択する必要があります。この言語には次の5つの要素が含まれている必要があります。
ヒルベルトはこの言語を採用することで、あらゆる公理系において、公理そのものと選択された形式言語のみを用いて、すべての定理を証明できると考えた。
ゲーデルの不完全性定理における結論は、古典算術を含むほど豊かな、一貫性のある公理系の中では、一貫性を証明することはできないというものであった。一方では、この公理系を形式化するために選択された形式言語のみを使用しなければならない。他方では、この言語自体の一貫性を証明することは不可能である。[ 10 ]ヒルベルトは当初、ゲーデルの研究によって、数論のすべてを完全に形式化するという生涯の目標が打ち砕かれたため、落胆した。[ 11 ]しかし、ゲーデルは、ヒルベルトの形式主義的な見解のすべてに反論したとは感じていなかった。[ 12 ]ゲーデルが研究を発表した後、証明論には依然として何らかの有用性があることが明らかになったが、唯一の違いは、ヒルベルトが期待していたように、数論全体の一貫性を証明するために使用できないということであった。[ 11 ]
ヒルベルトは当初演繹主義者であったが、ある種のメタ数学的手法が本質的に意味のある結果をもたらすと考え、有限算術に関しては実在論者であった。後に彼は、解釈に関わらず、それ以外の意味のある数学は存在しないという見解を持つようになった。
ルドルフ・カルナップなどの他の形式主義者は、数学を形式的な公理系の研究とみなした。[ 13 ]
ハスケル・カリーは数学を「形式体系の科学」と定義している。[ 14 ]カリーの形式主義は、項形式主義者、ゲーム形式主義者、ヒルベルトの形式主義とは異なる。カリーにとって、数学的形式主義は数学の形式構造に関するものであり、形式体系に関するものではない。[ 14 ]スチュワート・シャピロは、カリーの形式主義は「数学の分野が発展するにつれて、その方法論はますます厳密になり、最終的にはその分野が形式的演繹体系に体系化されるという歴史的テーゼ」から始まると説明している。[ 15 ]
クルト・ゲーデルは、公理系における一貫性の問題を取り上げることで、形式主義の弱点の1つを指摘した。
バートランド・ラッセルは、「部屋には3人の男がいる」といった文における数の言語的適用が何を意味するのかを形式主義では説明できないと主張した。[ 16 ]
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