算術の基礎

『算術の基礎』（ドイツ語: Die Grundlagen der Arithmetik ）は、ゴットロープ・フレーゲが1884年に出版した著書で、算術の哲学的基礎を探求したものである。フレーゲは、他の観念論的および唯物論的な数の理論を反駁し、独自のプラトン主義的な数の理論を展開した。 『算術の基礎』は、フレーゲの後の論理主義に関する著作の動機付けにもなった。

この本は言語哲学においても重要な位置を占めた。マイケル・ダメットは、言語論的転回をフレーゲの『基礎論』と彼の文脈原理にまで遡って考察している。

この本は出版当時、あまり好評を得られず、広く読まれることもなかった。しかし、バートランド・ラッセルとルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインの注目を集め、彼らは共にフレーゲの哲学に大きな影響を受けていた。英語訳はJLオースティンによって出版され（オックスフォード、1950年） 、1960年に第2版が出版された。 ^{[ 1 ]}

ゴットロープ・フレーゲ、 『算術の基礎』序論（1884/1980）

以下の調査において、私は以下の3つの基本原則を遵守した。

常に心理的なものと論理的なもの、主観的なものと客観的なものを明確に区別すること。

単語の意味を単独で問うのではなく、命題の文脈の中でのみ問うべきである。

概念と対象の区別を決して見失ってはならない。

カントの数に関する問い、「数の概念や直観を持たない私たちに、数はどのように与えられるのか？」に答えるために、フレーゲは本書の冒頭で述べた「文脈原理」、すなわち命題の文脈においてのみ言葉は意味を持つという原理を援用し、その解決策を「数詞が現れる命題の意味」を定義することにあると見出す。こうして、従来観念論的な観点から解決されてきた存在論的・認識論的な問題が、言語学的な観点から解決されることになる。

この本には、フレーゲの有名な反構造主義的なユリウス・カエサル問題が含まれている。フレーゲは、適切な数学理論があれば、ユリウス・カエサルが数ではない理由が説明できると主張している。^{[ 11 ] [ 12 ]}

フレーゲは、1+1=2 のような特定の数値命題と、a+b=b+a のような一般的な命題を区別している。後者は前者と同様に数について真である命題である。したがって、数の概念そのものの定義を問う必要がある。フレーゲは、数が外部の事物によって決定される可能性を調査する。彼は、自然言語において数が形容詞のように機能することを示している。「この机には引き出しが 5 つある」は、「この机には緑色の引き出しがある」と形式が似ている。引き出しが緑色であることは、外部世界に基づいた客観的事実である。しかし、5 の場合はそうではない。フレーゲは、各引き出しはそれぞれ緑色であるが、すべての引き出しが 5 つであるわけではないと主張する。^{[ 13 ]} フレーゲは、このことから数が主観的である可能性があるとは結論付けられないことを覚えておくよう促している。実際、少なくとも両方とも完全に客観的であるという点で、数は色に似ている。フレーゲは、数詞が形容詞的に現れる数詞文（例：「馬が4頭いる」）を、数詞が単数形で現れる数詞文（「馬の数は4頭である」）に変換できると述べている。^{[ 14 ]} フレーゲは、数を対象物とみなすため、このような翻訳を推奨している。4 未満の対象物があるかどうかを問うことは意味がない。フレーゲは、数が対象物であると考える理由をいくつか述べた後、数の文は概念についての主張であると結論付けている。

フレーゲはこの観察を『基礎論』の根本的な考え方と捉えている。例えば、「納屋にいる馬の数は4頭である」という文は、4つの対象が「納屋にいる馬」という概念に含まれることを意味する。フレーゲは、基数演算（「～の数」、または「～の数」）の文脈的定義を通して、私たちが数を理解する仕組みを説明しようとしている。${\displaystyle Nx:Fx}$) 彼は、ヒュームの原理（F の数と G の数が等しいのは、F と G が同数、つまり一対一対応である場合に限る）に依拠して、数的同一性に関する判断の内容を構築しようと試みる。[ ^{15 ]彼}は、この定義は「F の数」という形式ではない単数項が同一性記号の両側にある場合、同一性命題の真偽値を確定しないため、この定義を拒否する。フレーゲは概念の拡張という観点から数の明示的な定義を与えるが、いくらか躊躇している。

本書は、数学の基礎と哲学という二つの主要な学問分野の発展において極めて重要な役割を果たした。バートランド・ラッセルは後にフレーゲの基本法則第5条に重大な欠陥を発見したが（この欠陥はラッセルのパラドックスとして知られ、公理的集合論によって解決される）、本書は『プリンキピア・マテマティカ』などのその後の発展に大きな影響を与えた。本書は、主に言語の分析を中心に展開し、数の概念を明確にすることを目的としているため、分析哲学の出発点とも言える。フレーゲの数学に関する見解は、数と数学全般の認識論に関する革新的な説明、すなわち論理主義を導入しているため、数学哲学の出発点とも言える。

• ゴットロブのフレーゲ (1884)。Die Grundlagen der Arithmetik。論理数学の基礎は Begriff der Zahl にあります。ブレスラウ: フェルラーク・フォン・ヴィルヘルム・ケブナー。
• フレーゲ、ゴットロープ（1960）。『算術の基礎：数の概念に関する論理数学的探究』 。JLオースティン訳（第2 版）。イリノイ州エバンストン：ノースウェスタン大学出版局。ISBN 0810106051. OCLC 650 . {{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

• 概念記号
• 基礎主義
• 丸い四角いコピュラ
• 概念的な馬のパラドックス

• ブーロス、ジョージ（1998）。「第9章：ゴットロープ・フレーゲと算術の基礎」。『論理、論理、そして論理』。リチャード・C・ジェフリー編、ジョン・P・バージェス序文。マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。ISBN 9780674537675. OCLC 37509971 . 
• シャピロ、スチュワート（2000）。『数学について考える：数学の哲学』ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、95-98頁。ISBN  9780192893062OCLC 43864339。​ 

• フレーゲ、ゴットロープ（1960）。算術の基礎
• Die Grundlagen der Arithmetik at Project Gutenberg – 無料、全文ドイツ語版
• Die Grundlagen der Arithmetik atarchive.org– 無料、全文ドイツ語版 (ハーバード大学のコレクションからの書籍)
• Die Grundlagen der Arithmetik atarchive.org– 無料、全文ドイツ語版 (オックスフォード大学のコレクションからの書籍)
• ザルタ、エドワード。「フレーゲの定理と算術の基礎」。スタンフォード哲学百科事典。
• ネチャエフ、VI（2001）[1994]、「数」、数学百科事典、EMS Press
• スーバー、ピーター（2002）。「幾何学と算術は総合的である」。