直観主義

数学の哲学において、直観主義、あるいは新直観主義（前直観主義に反対）は、数学を客観的現実に存在すると主張される基本原理の発見ではなく、純粋に人間の構成的な精神活動の結果とみなすアプローチである。^{[ 1 ]}つまり、論理学と数学は、客観的現実の深い特性が明らかにされ応用される分析活動とはみなされず、客観的現実における独立した存在の可能性に関係なく、より複雑な精神的構成物を実現するために使用される内部的に一貫した方法の適用とみなされる。

直観主義の根本的な特徴は、数学的命題が真であるとはどういうことかという解釈にある。ブロウワーの本来の直観主義では、数学的命題の真偽は主観的な主張である。数学的命題は精神的な構成に対応し、数学者は直観によってその構成の妥当性を検証することによってのみ、命題の真偽を主張できる。直観主義における真理の概念の曖昧さは、その意味についての誤解を招くことが多い。クリーネは実在論の立場から直観主義的真理を形式的に定義したが、ブロウワーは実在論／プラトン主義の立場を否定していたため、この形式化を無意味なものとして拒否するだろう。したがって、直観主義的真理は依然としてやや曖昧なままである。しかし、直観主義的真理の概念は古典数学の真理の概念よりも制約が厳しいため、直観主義者は、証明するものがすべて実際に直観主義的に真であることを保証するために、古典論理のいくつかの仮定を拒否しなければならない。これが直観主義論理を生み出すのである。

直観主義者にとって、ある特定の性質を持つ対象が存在するという主張は、その性質を持つ対象を構築できるという主張に等しい。あらゆる数学的対象は精神の構築物であると考えられており、したがって、対象の存在は、その構築の可能性と同義である。これは、実体の存在は、その非存在を反駁することによって証明できるとする古典的なアプローチとは対照的である。直観主義者にとって、これは妥当ではない。非存在の反駁は、想定される対象の構築を見つけることが可能であることを意味するものではなく、その存在を主張するために必要なことではない。このように、直観主義は数学的構成主義の一種であるが、唯一の種類ではない。

直観主義論理では、否定の解釈は古典論理とは異なります。古典論理では、命題の否定は命題が偽であると主張しますが、直観主義者にとっては、命題が反駁可能であることを意味します。^{[ 2 ]}したがって、直観主義では肯定命題と否定命題の間に非対称性があります。命題Pが証明可能であれば、P は確かに反駁できません。しかし、 P が反駁できないことが示されたとしても、これはPの証明にはなりません。したがって、Pはnot-not-Pよりも強い命題です。

同様に、直観主義者にとって、AまたはBが成り立つと主張することは、 AまたはBのいずれかが証明可能であると主張することである。特に、排中律「AまたはAでない 」は、有効な原理として受け入れられない。例えば、Aが直観主義者がまだ証明も反証もしていない数学的命題である場合、その直観主義者は「 AまたはAでない」の真偽を主張しない。しかし、直観主義者は「 AかつAでない」は真ではあり得ないことを受け入れる。したがって、直観主義論理の論理結合子「かつ」と「または」は、古典論理のようにド・モルガンの法則を満たさない。

直観主義論理は、抽象的な真理の代わりに構成可能性を採用し、現代数学におけるモデル理論の証明から抽象的な真理への移行と関連付けられています。論理計算は、派生命題を生み出す変換において、真理ではなく正当化を保持します。これは、マイケル・ダメットの反実在論をはじめとするいくつかの哲学学派に哲学的根拠を与えていると考えられてきました。したがって、その名称から受ける第一印象とは異なり、特定のアプローチや分野（例えばファジィ集合やファジィシステム）で実現されているように、直観主義数学は、皮肉なことに、直観主義が構築／反駁／再確立しようとする基礎要素が直観的に与えられたものとして扱われる従来の基礎に基づく数学よりも厳密です。

直観主義の様々な定式化の中には、無限の意味と実在性について、いくつかの異なる立場が存在する。

潜在的無限という用語は、無限に続く一連のステップが存在する数学的手順を指します。各ステップが完了した後も、常に次のステップが実行されます。例えば、数を数えるプロセスを考えてみましょう。${\displaystyle 1,2,...}$

実際の無限という用語は、無限個の要素を含む完成した数学的対象を指します。例としては、自然数の集合が挙げられます。${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,...\}}$。

カントールの集合論の定式化では、多くの異なる無限集合が存在し、その中には他の集合よりも大きいものもある。例えば、すべての実数の集合などである。${\displaystyle \mathbb {R} }$より大きい${\displaystyle \mathbb {N} }$なぜなら、自然数を実数と1対1に対応させようとする試みは必ず失敗し、常に無限個の実数が「余る」ことになるからである。自然数と1対1に対応させることができる無限集合は「可算」または「列挙可能」と呼ばれる。これより大きい無限集合は「非可算」と呼ばれる。^{[ 3 ]}

カントールの集合論は、ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の公理系へと発展し、これは現在、現代数学の最も一般的な基礎となっている。直観主義は、部分的にはカントールの集合論への反動として生まれた。

現代の構成的集合論には、ZFC の無限公理 (またはこの公理の改訂版) と集合が含まれます。${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数の集合。現代の構成的数学者のほとんどは、可算無限集合の存在を認めている（ただし、アレクサンダー・エセニン＝ヴォルピンの反例を参照）。

ブロワーは現実の無限という概念を否定したが、潜在的な無限という考え方を認めた。

ワイル（1946年）によれば、「ブロウワーは、私が疑いの余地なく確信しているように、すべての自然数の全体性の存在論的性格を裏付ける証拠は存在しないことを明確にした。次の数に移ることで既に到達した段階を超えて成長する数列は、無限に向かって開かれた可能性の多様体であり、創造の状態を永遠に保ち続けるが、それ自体で存在するものの閉じた領域ではない。一方を他方に盲目的に変換したことが、矛盾を含む我々の困難の真の源であり、ラッセルの悪循環原理が示唆するよりも根本的な性質の源である。ブロウワーは我々の目を開かせ、人間の実現可能性を超越する『絶対』への信念によって養われた古典数学が、証拠に基づいた真の意味と真実を主張できるような言明をどれほど超えているかを我々に示してくれた。」

直観主義の歴史は、19世紀の数学における二つの論争に遡ることができる。

その最初の例は、ゲオルク・カントールによる超限算術の発明と、その後、彼の師であるレオポルド・クロネッカー（確固たる有限主義者）をはじめとする多くの著名な数学者によるその否定である。

その2つ目は、ゴットロープ・フレーゲが集合論を通して数学のすべてを論理的な定式化に還元しようとした試みと、若きバートランド・ラッセル（ラッセルのパラドックスの発見者）によるその試みの頓挫である。フレーゲは3巻からなる決定的な著作を計画していたが、第2巻が印刷に回される直前に、ラッセルはフレーゲに手紙を送り、フレーゲの自己参照規則の1つが自己矛盾していることを示したパラドックスを概説した。第2巻の付録で、フレーゲは自身の体系の公理の1つが実際にラッセルのパラドックスにつながったことを認めた。^{[ 4 ]}

伝えられるところによると、フレーゲは鬱状態に陥り、予定していた第3巻を出版しなかった。詳しくは、デイヴィス（2000）の第3章と第4章「フレーゲ：突破から絶望へ」および「カントール：無限への迂回路」を参照のこと。原著およびヴァン・ヘイエノールトの解説については、ヴァン・ヘイエノールトを参照のこと。

これらの論争は密接に関連している。なぜなら、カントールが超限算術における自らの成果を証明する際に用いた論理的手法は、ラッセルがパラドックスを構築する際に用いた手法と本質的に同じだからである。したがって、ラッセルのパラドックスをどのように解決するかは、カントールの超限算術に与えられる地位に直接的な影響を与える。

20世紀初頭、LEJ Brouwerは直観主義の立場を、David Hilbertは形式主義の立場を代表した（van Heijenoortを参照）。Kurt Gödelはプラトン主義と呼ばれる意見を述べた（Gödelに関する様々な資料を参照）。Alan Turingは、「証明のすべてのステップが機械的ではなく、一部が直観的である非構成的論理体系」を考察した。 ^{[ 5 ]}その後、Stephen Cole Kleeneは、メタ数学入門（1952年）で直観主義についてより合理的な考察を行った。^{[ 6 ]}

ニコラ・ジザンは直観主義数学を採用して量子不確定性、情報理論、時間の物理学を再解釈している。^{[ 7 ]}

• アンリ・ポアンカレ(前直観主義/慣例主義)
• LEJ ブロワー
• マイケル・ダメット
• アーレント・ヘイティング
• スティーブン・クリーネ

• 直観主義論理
• 直観主義算術
• 直観主義型理論
• 直観主義集合論
• 直観主義分析

• 「分析」。ブリタニカ百科事典。2006年。ブリタニカ百科事典2006 アルティメット・リファレンス・スイートDVD 2006年6月15日、「建設的分析」（著者：イアン・スチュワート）
• WS アングリン、『数学：簡潔な歴史と哲学』、シュプリンガー・フェルラーク、ニューヨーク、1994年。

第39章「基礎」において、アングリンは20世紀に関して、プラトン主義（ゲーデルに関して）、形式主義（ヒルベルトに関して）、直観主義（ブラウワーに関して）について、非常に正確かつ簡潔な説明を行っている。

• マーティン・デイヴィス編（1965年）『決定不能なもの』レイヴン・プレス、ヒューレット、ニューヨーク。ゲーデル、チャーチ、クリーネ、チューリング、ロッサー、ポストによるオリジナル論文集。マーティン・デイヴィス編（2004年）『決定不能なもの』クーリエ・ドーバー出版として再版。ISBN 978-0-486-43228-1。
• マーティン・デイビス（2000）。『論理のエンジン：数学者とコンピュータの起源』（第1 版）。WWノートン社、ニューヨーク。ISBN 0-393-32229-7。
• ジョン・W・ドーソン・ジュニア著、 『論理的ジレンマ：クルト・ゲーデルの生涯と業績』、AKピーターズ社、ウェルズリー、マサチューセッツ州、1997年。

ゴールドスタインの著作ほど読みやすくはないが、第3章「余談」において、ドーソンは「1928年までの論理学発展の簡潔な歴史」という優れた概説を提供している。

• レベッカ・ゴールドスタイン著、『不完全性：クルト・ゲーデルの証明とパラドックス』、アトラス・ブックス、WWノートン、ニューヨーク、2005年。

第2章「ヒルベルトと形式主義者たち」では、ゴールドシュタインはさらに歴史的背景を解説している。プラトン主義者であったゲーデルは、ウィーン学団の論理実証主義に対しては消極的であった。ゴールドシュタインは、ウィトゲンシュタインの影響と形式主義者たちの影響について論じている。ゴールドシュタインは、直観主義者たちは形式主義以上にプラトン主義に反対していたと指摘している。

• (フランス語) Jacques HartongおよびGeorges Reeb、Intuitionnisme 84 (初出はLa Mathématique Non-standard、éditions du CNRS)

構成的数学や非標準解析などの観点から直観主義を再評価する。

• フレーゲ、ゴットロープ（1893）。算術の基本法則（ドイツ語）。第 1巻。イエナ：ヘルマン・ポーレ。部分翻訳：モンゴメリー・ファース、1964年。算術の基本法則。カリフォルニア大学出版局。フレーゲ（1960）の抜粋部分の翻訳。両巻の完全翻訳：フィリップ・A・エーベルトとマーカス・ロスバーグ、2013年。算術の基本法則。オックスフォード大学出版局。

• ゴットロブのフレーゲ(1903)。Grundgesetze der Arithmetik (ドイツ語)。 Vol.  2. イエナ：ヘルマン・ポール。Frege (1960)の選択されたセクションの翻訳。両巻の完全な翻訳: Philip A. Ebert および Marcus Rossberg、2013 年、Basic Laws of Arithmetic。オックスフォード大学出版局。

• フレーゲ、ゴットロブ(1960) [1893]。 「Grundgesetze der Arithmetik: Nachwort」[ラッセルのパラドックスに関するフレーゲ]。ギーチでは、ピーター。ブラック、マックス（編）。Gottlob Frege の哲学的著作からの翻訳(第 2 版)。オックスフォード：バジル・ブラックウェル。

• van Heijenoort, J.、『From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931』、ハーバード大学出版局、マサチューセッツ州ケンブリッジ、1967年。1977年に訂正版が再版された。van Heijenoortには以下の論文が掲載されている。

• LEJ Brouwer、1923年、「数学、特に関数論における排中律の意義について」 [解説付き再録、334ページ、van Heijenoort]
• アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフ、1925年、『排中律について』[解説付き再録、414ページ、ファン・ヘイエノールト]
• LEJ Brouwer、1927年、「関数の定義域について」、[解説付き再録、p. 446、van Heijenoort]

直接関係はないものの、ブロウワーは（1923年）の中で、本論文で定義されたいくつかの用語を使用している。

• LEJ Brouwer、1927(2)、『形式主義に関する直観主義的考察』、[解説付き再録、p. 490、van Heijenoort]
• ジャック・エルブラン（1931b）「算術の一貫性について」[解説付きで再録、618頁以降、ファン・ヘイエノールト]

ファン・ヘイエノールトの解説からは、ヘルブランドが真の「直観主義者」であったかどうかは明らかではない。ゲーデル（1963）は確かに「…ヘルブランドは直観主義者であった」と主張した。しかし、ファン・ヘイエノールトは、ヘルブランドの概念は「ブラウワーの教義に適用された『直観主義的』というよりも、ヒルベルトの『有限的』という言葉にずっと近い」と述べている。

• ヘッセリング、デニス・E. (2003).霧の中の小人たち：1920年代におけるブロウワーの直観主義の受容. ビルクハウザー. ISBN 3-7643-6536-6。
• アーレント・ヘイティング：ヘイティング、アーレント（1971）[1956]。直観主義入門（第3版改訂版）。アムステルダム：ノースホランド出版。ISBN  0-7204-2239-6。
• クリーネ、スティーブン・C. (1991) [1952].メタ数学入門（第10版、1991年 ）。アムステルダム、ニューヨーク：ノースホランド出版。ISBN 0-7204-2103-9。

第3章「数学的推論の批判」第11節「パラドックス」において、クリーネは直観主義と形式主義を詳細に論じている。本書の残りの部分では、形式主義（古典的）論理と直観主義論理の両方を扱い、比較しているが、特に形式主義に重点を置いている。

• スティーブン・コール・クリーネとリチャード・ユージン・ヴェスリー共著『直観主義数学の基礎』（ノース・ホランド出版、アムステルダム、1965年）。冒頭の一文「数学における構成的傾向…」がすべてを物語っている。専門家向けのテキストだが、クリーネの驚くほど明快な文体で書かれている。
• ラカトシュ、イムレ（2015）[1976]。証明と反駁：数学的発見の論理。ケンブリッジ哲学古典叢書。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-11346-6。

• AA Markov (1954)アルゴリズムの理論。[Jacques J. Schorr-Kon および PST スタッフによる翻訳] 発行元 モスクワ、ソ連科学アカデミー、1954 年 [すなわち、エルサレム、イスラエル科学翻訳プログラム、1961 年。米国商務省技術サービス局、ワシントンから入手可能] 内容 444 ページ、 28  cm。ソ連科学アカデミー数学研究所の著作のロシア語翻訳、第 42 巻に追加の tp。原題: Teoriya algorifmov。[QA248.M2943 ダートマス大学図書館。米国商務省技術サービス局、番号OTS 60–51085。] 専門家向けの二次資料: マルコフは、「アルゴリズムの概念をより正確にすることの数学における意義は、数学の構成的基礎の問題に関連して現れる」と意見を述べた。[p. 3、強調追加] マルコフは、自身の研究のさらなる応用は「著者が将来執筆したいと考えている特別な本に値する」と信じていた（p.  3）。残念ながら、その研究は結局出版されなかったようだ。
• ヒラリー・パトナム、ポール・ベナセラフ著『数学の哲学：選集』、ニュージャージー州エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール、1964年。第2版、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、1983年。ISBN 0-521-29648-X

第1部数学の基礎、数学の基礎に関するシンポジウム

• ルドルフ・カルナップ著『数学の論理主義的基礎』 41ページ
• アーレント・ヘイティング著『数学の直観主義的基礎』 52ページ
• ヨハン・フォン・ノイマン、『数学の形式主義的基礎』、61ページ
• アーレント・ヘイティング、『論争』、66ページ
• LEJ Brouwer、『直観主義と形式主義』、77ページ
• LEJ Brouwer、『意識、哲学、そして数学』、90ページ

• コンスタンス・リード、ヒルベルト、コペルニクス – シュプリンガー出版、初版1970年、第2版1996年。

ヒルベルトの決定版伝記は、彼の「綱領」を、その後の直観主義者と形式主義者の間の、時に激しい論争とともに、歴史的な文脈の中に位置づけている。

• ポール・ローゼンブルーム著、『数学論理学の基礎』、ドーバー出版、ニューヨーク州ミネオラ、1950年。

『プリンキピア・マテマティカ』に近いスタイルで、多くの記号が用いられており、中には古代のものやドイツ語の文字から取られたものもあります。直観主義に関する非常に優れた議論は、以下の箇所で展開されています。第4章「多値論理、様相論理、直観主義」の51～58ページ、第3章「命題関数の論理」第1節「非公式な導入」の69～73ページ、および第7節「選択公理」の146～151ページ。

• チューリング、アラン M. ( 1939). 「順序数に基づく論理体系」 .ロンドン数学会紀要. 2. 第 45 巻. pp. 161–228 . 2024 年1 月 17 日取得. 

• フェルドマン、ウィム（2021年2月）。「直観主義：インスピレーションか？」。doi：10.13140/RG.2.2.12313.54881。

• フィーザー、ジェームズ；ダウデン、ブラッドリー（編）。「数学における直観主義」。インターネット哲学百科事典。ISSN 2161-0002。OCLC 37741658。  
• Iemhoff, Rosalie (2019年6月11日). 「数学の哲学における直観主義」 . Zalta, Edward N. (編).スタンフォード哲学百科事典(2019年夏 版). ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  

• モスコヴァキス、ジョアン（ 2022年12月16日）。「直観主義論理」。ザルタ、エドワード・N （編）。スタンフォード哲学百科事典（2022年冬 版）。ISSN 1095-5054。OCLC 429049174。  

• ウォルチョーバー、ナタリー（2020年4月7日）。「時間は本当に流れるのか？100年前の数学的アプローチから新たな手がかりが得られる」。QuantaMagazine.org。Quanta Magazine。