スティーブン・ヤブロ

次の無限の文の集合を考えてみましょう。

S _{1 :} i > 1のそれぞれについて、 S _iは真ではない。

S _{2 :} i > 2の各 i に対して、 S _iは真ではない。

S _{3 :} i > 3のそれぞれについて、 S _iは真ではありません。

...

任意のnに対して、命題S _nは全称量化形式であり、無限個の主張（それぞれがより大きな添え字を持つ命題の否定）を表します。命題として、任意のS _{n は}、例えばS _{n + 1}が真ではないことも表します。

n < m を満たす任意の数の組nとmに対して、命題S _{n は}、後述のS _mによっても主張されるすべての主張を包含する。このような数の組すべてについてこれが成り立つため、すべてのS _{n は}、n < mを満たす任意のS _mを意味することがわかる。例えば、任意のS _{n は}S _{n + 1}を意味する。

いずれの命題（「次の命題は真ではない」）による主張も、論理的に導き出せる含意（次の命題の正当性は現在の命題によって示唆される）と矛盾する。このことから、S _{n を}仮定すると矛盾が生じることがわかる。そしてこれは、S _{n が}すべて偽であることが証明されたことを意味する。

しかし、S _{n が}すべて偽であるということは、まさにそれらの主張を裏付けることにもなる。つまり、ヤブロのリストにある各文は、真ではないと同時に真であるというパラドックスが生じる。

いかなる場合でも${\displaystyle P}$命題論理の否定導入原理は否定する${\displaystyle P\leftrightarrow \neg P}$したがって、一貫性のある理論は、その命題の一つが自身の否定と等価であることを証明できない。メタ論理的に言えば、そのような等価性の形式の公理はすべて矛盾していることになる。これは、嘘つきのパラドックスの形式的な対極の一つである。

同様に、任意の単項述語について${\displaystyle Q}$そしてもし${\displaystyle R}$は完全な推移的関係であるため、上記の形式的分析により、述語論理はの普遍閉包を否定する。

${\displaystyle Q(n)\leftrightarrow \forall i.{\big (}R(i,n)\to \neg Q(i){\big )}}$

自然数では、${\displaystyle R}$平等とみなされる${\displaystyle =}$これは、嘘つきのパラドックスの分析からも導かれる。${\displaystyle R}$標準順序とみなされる「${\displaystyle >}$「それでも、すべての同値性を個別に連結することによって定義されるオメガ不整合理論の非標準算術モデルを得ることは可能である。 ^{[ 9 ]}