プリンキピア・マセマティカ

『プリンキピア・マテマティカ』（PMと略されることが多い）は、数学者であり哲学者でもあるアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによって書かれ、1910年、1912年、1913年に出版された、数学の基礎に関する全3巻の著作である。1925年から1927年には、重要な序文と、 ✱9を新しい付録Bと付録Cに置き換えた付録Aを加えた第2版が出版された。PM はラッセルの 1903 年の著書『数学原理』の続編として構想されましたが、PM が述べているように、これは実際的および哲学的な理由から実行不可能な提案となりました。「本書は当初、数学原理の第 2 巻に収録される予定でした...しかし、作業を進めるにつれて、この主題が当初考えていたよりもはるかに広範囲にわたることが次第に明らかになりました。さらに、以前の著作では不明瞭で疑問が残るままになっていた多くの基本的な問題に関して、私たちは満足のいく解決策にたどり着いたと考えています。」

PMの序文によると、次の 3 つの目的がありました。(1) 数理論理学の考え方と方法を可能な限り分析し、基本的な概念、公理、推論規則の数を最小限に抑えること。(2) 正確な表現が許す最も便利な表記法を使用して、記号論理学で数学的な命題を正確に表現すること。(3)ラッセルのパラドックスなど、20 世紀初頭に論理学と集合論を悩ませたパラドックスを解決すること。^[3]

この 3 番目の目的が、 PMで型理論を採用する動機となりました。型理論では、クラス、プロパティ、関数の無制限な理解を排除する式に対する文法上の制限を採用しています。その結果、ラッセル セットのようなオブジェクトの理解を可能にする などの式は、不完全な形式になります。つまり、 PMシステムの文法上の制限に違反していることになります。

PMは記号論理学への関心を呼び起こし、この分野を発展させ、普及させ、その力を実証した。^[4]モダン・ライブラリーは、 20世紀の英語ノンフィクション書籍トップ100のリストでPMを23位にランク付けした。 ^[5]

『プリンキピア』は集合論、基数、序数、実数のみを扱っていた。実解析のより深い定理は含まれていなかったが、第 3 巻の終わりまでに、採用された形式論で原理的には大量の既知の数学を展開できることが専門家には明らかになった。また、そのような展開にどれほどの時間がかかるかも明らかだった。

幾何学の基礎に関する第 4 巻も計画されていたが、著者らは第 3 巻の完成時に知的疲労を認めた。

クルト・ゲーデルによる理論批判（下記）で指摘されているように、形式主義理論とは異なり、PMの「論理主義」理論には「形式主義の構文の正確な記述」がありません。さらに、理論では、 （モデル理論の意味で）解釈が、記号「⊢」（真実の主張）、「~」（論理否定）、「V」（論理的包含的 OR）の振る舞いに対する真理値の観点から提示されていることがほぼすぐにわかります。

真理値: PM は、「真」と「偽」の概念を「基本命題」の概念に埋め込みます。生の (純粋な) 形式主義理論は、「基本命題」を形成する記号の意味を提供しません。記号自体はまったく恣意的で馴染みのないものです。理論は、理論の文法に基づいて記号がどのように動作するかのみを指定します。その後、 「値」を割り当てることで、モデルは式が言っていることの解釈を指定します。したがって、以下の形式的なKleene記号セットでは、記号が一般的に意味する「解釈」と、暗黙的に記号が最終的にどのように使用されるかが、括弧で示されます (例: 「¬ (not)」)。ただし、これは純粋な形式主義理論ではありません。

以下の形式主義理論は、 PMの論理主義理論と対照的に提示されています。現代の形式体系は次のように構築されます。

1. 使用される記号: このセットは開始セットであり、他の記号は定義によってこれらの開始記号からのみ出現できます。開始セットは、Kleene 1952 から派生した次のセットである可能性があります。
   • 論理記号:
     • 「→」（意味、IF-THEN、および「⊃」）、
     • "＆" （そして）、
     • 「V」（または）、
     • 「¬」（ない）、
     • 「∀」（全員）
     • 「∃」（存在する）
   • 述語記号: "=" (等しい);
   • 関数記号:
     • 「+」（算術加算）、
     • 「∙」（算術乗算）、
     • 「'」（後継）;
   • 個々の記号「0」（ゼロ）
   • 変数「a」、「b」、「c」など。
   • 括弧「(」と「)」。^[6]
2. 記号列：理論ではこれらの記号を連結（並置）して「列」を構築します。^[7]
3. 形成規則:理論は、通常「0」で始まる再帰定義として構文規則（文法規則）を指定し、許容される文字列または「整形式の式」（wffs）を構築する方法を指定します。^{[8]これには、「変数」と呼ばれる記号の文字列の「置換」 [9]}の規則が含まれます。
4. 変換規則:シンボルとシンボルシーケンスの動作を指定する公理。
5. 推論の規則、分離、モダス・ポネンス : 理論が「結論」をそれに至る「前提」から「分離」し、その後「前提」(線 │ の左側の記号、または水平の場合は線より上の記号) を破棄することを可能にする規則。そうでない場合、置換によって、繰り越さなければならない文字列がどんどん長くなります。実際、モダス・ポネンスを適用した後は、結論以外は何も残らず、残りは永久に消えます。
   現代の理論では、古典的な公理、あるいはmodus ponensまたは「分離のルール」を第一公理として指定することがよくあります。
   A、A ⊃ B | B
   記号「│」は通常、水平線として書かれ、ここで「⊃」は「意味する」という意味です。記号AとB は文字列の「代用」です。この表記法は「公理スキーマ」と呼ばれます (つまり、表記法が取り得る特定の形式は数え切れないほどあります)。これは IF-THEN と似た方法で読むことができますが、違いがあります。記号文字列が与えられ、IF Aであり、AがB を意味する場合、 THEN B (そして、Bのみを後で使用するために保持します)。ただし、記号には「解釈」がなく (たとえば、「真理値表」や「真理値」や「真理関数」はありません)、モーダスポネンスは文法のみによって機械的に進みます。

PMの理論は、当時の形式理論と大きな類似点と、同様の相違点の両方を持っています。^{[説明が必要]}クリーネは、「この数学の論理からの演繹は、直感的な公理として提示されました。公理は信じられる、または少なくとも世界に関するもっともらしい仮説として受け入れられることを意図していました」と述べています。^[10]実際、文法規則に従って記号を操作する形式主義理論とは異なり、PM は「真理値」、つまり現実世界の意味での真と偽の概念と「真実の主張」を、理論構造の 5 番目と 6 番目の要素としてすぐに導入します ( PM 1962:4–36)。

1. 変数
2. さまざまな文字の用途
3. 命題の基本機能: 「~」で表わされる「矛盾関数」と「∨」で表わされる「論理和または選言関数」が基本関数としてとらえられ、論理含意はp ⊃ q . = . ~ p ∨ q Df . ( PM 1962:11)と定義され (以下の例は、以下の 9.定義を説明するためにも使用されます) 、論理積はp . q . = . ~(~ p ∨ ~ q ) Df . ( PM 1962:12)と定義されます。
   
   
   
4. 同値性:算術的同値性ではなく論理的同値性: 「≡」は記号の使用方法のデモンストレーションとして与えられている。つまり、「したがって ' p ≡ q ' は '( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p )'を表す」( PM 1962:7)。表記法について議論するために、 PM は「メタ」表記法を "[スペース] ... [スペース]" で特定している点に注意: ^{[11]論理的同値性は}定義
   としても再び現れる: p ≡ q . = . ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) ( PM 1962:12)、括弧の出現に注意。この文法的な使用法は指定されておらず、散発的に現れる。ただし、括弧は記号列では重要な役割を果たしている。たとえば、現代の "∀ x "に対する表記法 "( x )" など。
   
   
5. 真理値: 「命題の『真理値』は、それが真であれば真理であり、偽であれば偽である」(このフレーズはゴットロープ・フレーゲによるものです) ( PM 1962:7)。
6. 主張記号：「'⊦ . p は『それは真である』と読むことができる...したがって、'⊦ : p . ⊃ . q 'は『 pがqを意味することは真である』を意味し、一方、'⊦ . p . ⊃⊦ . q 'は『pは真である。したがってqは真である』を意味する。これらの最初のものは、必ずしもpまたはqのどちらかの真実性を含むわけではないが、2番目のものは両方の真実性を含む」（PM 1962：92）。
7. 推論: PMのmodus ponensのバージョン。 「[もし] '⊦ . p ' と '⊦ ( p ⊃ q )' が起こった場合、記録に残したいのであれば '⊦ . q ' が起こります。推論のプロセスは記号に還元できません。その唯一の記録は '⊦ . q ' の出現です [言い換えれば、左側の記号は消えるか、消去できます]」( PM 1962:9)。
8. ドットの使用
9. 定義: これらは、右端に「Df」が付いた「=」記号を使用します。
10. 前述のステートメントの要約:命題の前に付けられる基本的な概念「~ p」、「p ∨ q 」、「⊦」について簡単に説明します。
11. 基本命題: 公理または公準。これ​​は第 2 版で大幅に変更されました。
12. 命題関数: 第 2 版では、「命題」の概念が大幅に変更され、論理記号で結び付けられて「分子」命題を形成する「原子」命題の導入や、分子命題を原子命題または分子命題に置き換えて新しい表現を作成する機能が導入されました。
13. 値の範囲と総変動
14. 曖昧な主張と実変数: このセクションと次の 2 つのセクションは、第 2 版で変更または廃止されました。特に、セクション 15.定義と実変数で定義された概念と、実変数と見かけ上の変数を結び付ける16.命題の区別は、第 2 版では廃止されました。
15. 形式的含意と形式的同値性
16. 身元
17. クラスと関係
18. 関係のさまざまな記述機能
19. 複数の記述機能
20. ユニットクラス

初版については PM 1962:90–94を参照:

• （１）基本命題。
• （２）関数の基本命題。
• （３）主張：「真実」と「虚偽」の概念を導入する。
• （４）命題関数の主張。
• （５）否定：「pが任意の命題である場合、命題「not -p」または「pは偽である」は「~ p」と表される。」
• （６）選言：「pとqが任意の命題である場合、選択肢が相互に排他的でない場合の命題「pまたはq 」、すなわち「pが真であるかqが真であるかのどちらか」は、「p∨q 」と表される。」
• （セクションB参照）

第1版（第2版に関する説明は下記を参照）は、記号「⊃」の定義から始まる。

✱1.01 . p ⊃ q . = . ~ p ∨ q . Df .

✱1.1 . 真の基本命題によって暗示されるものはすべて真である 。

（✱1.11は第2版では廃止されました。）

✱1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . p . Ppトートロジーの原理

✱1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . Pp加法の原理

✱1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p . Pp順列の原理

✱1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ). Pp結合原理

✱1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r . Pp和の原理

✱1.7 . pが基本命題ならば、~ pは基本命題である。Pp

✱1.71 . pとqが基本命題ならば、p ∨ qは基本命題である。Pp

✱1.72。 φ pと ψ p が初等命題を引数として取る初等命題関数である場合、φ p ∨ ψ pは初等命題です。PP

「第 2 版の紹介」とともに、第 2 版の付録 A ではセクション✱9全体が削除されています。これには、還元公理とともに ✱9から✱9.15までの6 つの基本命題が含まれています。

改訂理論は、シェファーのストローク(「|」) の導入によって「非互換性」 (つまり、基本命題pとq の両方が真である場合、その「ストローク」p | qは偽)、つまり現代の論理的NAND (非 AND) の導入によって難しくなっています。改訂理論では、序論で「原子命題」という概念が提示されています。これは「論理の哲学的部分に属する」データです。これらには命題である部分はなく、「すべて」または「一部」の概念は含まれていません。たとえば、「これは赤い」または「これはそれよりも早い」などです。このようなものは無限に存在する可能性があり、つまり「一般性」(つまり「すべてに対して」の概念) に取って代わるそれらの「無限の列挙」さえ存在します。^[12] PM は次に「ストローク」によってすべてがリンクされた「分子命題に進む」のです。定義では、「~」、「∨」、「⊃」、および「.」が同等であることが示されています。

新しい序文では、「基本命題」を原子と分子の位置を合わせたものと定義しています。そして、すべての基本命題✱1.2から✱1.72を、ストロークで表現された単一の基本命題に置き換えています。

「p、q、r が基本命題である場合、pとp |( q | r ) が与えられれば、 r を推論できます。これは基本命題です。」

新しい序文では、「存在する」（現在は「時々真」と書き直されている）および「すべてに対して」（「常に真」と書き直されている）の表記が維持されています。付録 A では、「マトリックス」または「述語関数」（「原始的なアイデア」、PM 1962:164）の概念が強化され、4 つの新しい原始命題が✱8.1 ～ ✱8.13として提示されています。

✱88 . 乗法公理

✱120 . 無限公理

単純な型理論では、オブジェクトはさまざまな互いに素な「型」の要素です。型は暗黙的に次のように構築されます。τ ₁、...、τ _mが型である場合、 τ ₁、...、τ _mの命題関数のクラスとして考えることができる型 (τ ₁、...、τ _{m ) があります (集合論では、これは基本的に τ 1} ×...×τ _mのサブセットの集合です)。特に、命題の型 () があり、他の型を構築する「個体」の型 ι (イオタ) がある場合があります。他の型から型を構築するための Russell と Whitehead の表記法はかなり面倒で、ここでの表記法はChurchによるものです。

PM の分岐型理論では 、すべてのオブジェクトはさまざまな互いに素な分岐型の要素です。分岐型は暗黙的に次のように構築されます。τ ₁、...、τ _m、σ ₁、...、σ _nが分岐型である場合、単純な型理論と同様に、τ ₁、...、 τ _{m 、σ 1}、...、σ _nの「述語的」命題関数の型 (τ ₁、...、τ _{m 、σ 1}、...、σ _n )が存在します。ただし、分岐型 (τ ₁、...、τ _m |σ ₁、...、σ _n ) も存在します。これは、σ ₁ 、...、σ nについて量化することによって型 (τ ₁、...、τ _m、σ ₁、...、σ _n ) の命題関数から得られるτ ₁、... 、 τ _{mの命題関数の}クラスと考えることができます。n =0の場合(σ は存在しない)、これらの命題関数は述語関数または行列と呼ばれます。これは、現代の数学の実践では述語関数と非述語関数を区別しないため混乱を招く可能性があり、いずれにしても PM では「述語関数」が実際に何であるかを正確に定義することはなく、これは基本的な概念として扱われます。

ラッセルとホワイトヘッドは、述語関数と非述語関数の違いを維持したまま数学を発展させることは不可能だと考えたため、還元公理を導入し、すべての非述語関数に対して同じ値を取る述語関数が存在するとしました。実際には、この公理は本質的に、型 (τ ₁ ,...,τ _m |σ ₁ ,...,σ _{n ) の要素が型 (τ 1} ,...,τ _m )の要素と同一視できることを意味し、これにより分岐型の階層が単純な型理論にまで縮退します。(厳密に言えば、PM では、2 つの命題関数がすべての引数で同じ値を取る場合でも、それらの関数が異なることが許容されます。これは、通常、2 つのそのような関数を同一視する現代の数学の慣例とは異なります。)

ツェルメロ集合論では、PM の分岐型理論を次のようにモデル化できます。集合 ι を個体の型として選択します。たとえば、 ι は自然数の集合、または原子の集合 (原子を含む集合論の場合)、または関心のあるその他の集合です。次に、 τ ₁、...、τ _mが型である場合、型 (τ ₁、...、τ _m ) は積 τ ₁ ×...×τ _mのべき集合であり、これは非公式には、この積から 2 要素集合 {true,false} への (命題述語) 関数の集合と考えることもできます。分岐型 (τ ₁ ,...,τ _m |σ ₁ ,...,σ _n ) は、型 (τ ₁ ,...,τ _m ,σ ₁ ,...,σ _{n ) と、各変数 σ i}にどの量指定子を適用するかを示すn個の量指定子 (∀ または ∃)のシーケンスのセットとの積としてモデル化できます。(σ を任意の順序で量指定できるようにしたり、一部の τ の前に出現できるようにしたりすることで、これを若干変更できますが、これは簿記以外にはほとんど違いはありません。)

第 2 版の序文では次のように警告されています。

明らかに改善が望まれる点の 1 つは、還元公理です。この公理は純粋に実用的な正当性を持っていますが、明らかに満足できる種類の公理ではありません。ただし、この問題については、まだ満足のいく解決策が得られているとは言えません。レオン・クヴィステック博士[構成型理論] は、公理を代替策なしで廃止するという大胆な道を歩みました。彼の著作から、この道では通常の数学の多くを犠牲にしなければならないことが明らかです。ウィトゲンシュタイン† (†論理哲学論考、*5.54ff) が哲学的な理由で推奨した別の道があります。これは、命題の関数は常に真理関数であり、関数は命題の値を通じてのみ命題に現れると仮定することです。(...) [結果を検討] ... 帰納的基数と順序数の理論は生き残ります。しかし、無限デデキン級数と整列級数の理論は大きく崩壊し、無理数や実数全般を適切に扱うことができなくなったようだ。また、カントールの2n > nの証明もnが有限でない限り破綻する。^[13]

論理的厳密さのために、無限の整然とした数列を犠牲にすることは可能かもしれないが、実数理論は普通の数学の不可欠な部分であり、合理的な疑いの対象になることはほとんどない。したがって、いくつかの論理公理がそれを正当化すると想定するのは正当である。必要な公理は、還元公理よりも制限されているかもしれないが、もしそうだとしたら、それはまだ発見されていない。^[14]

ある著者^[4]は、「その著作の記法は20世紀の論理学の発展によって置き換えられ、初心者がPMを読むのに苦労するほどになった」と指摘している。記号の内容の多くは現代の記法に置き換えることができるが、元の記法自体は「学術的な論争の対象」であり、一部の記法は「実質的な論理的教義を体現しているため、現代の記号で単純に置き換えることはできない」^{[15] 。}

クルト・ゲーデルは、この表記法を厳しく批判した。「何よりも欠けているのは、形式主義の構文の正確な記述である。証明の説得力に必要な場合でも、構文上の考慮が省略されている。」^[16]これは、以下の例に反映されており、記号「p」、「q」、「r」、「⊃」は文字列「p ⊃ q ⊃ r」に形成されます。PMでは、この記号文字列が他の記号に関して何を意味するかを定義する必要があります。当時の処理では、「形成規則」（「適切に形成された式」につながる構文規則）により、この文字列の形成が妨げられていたでしょう。

表記法の出典: 第 1 章「概念と表記法の予備的説明」は、表記法の基本部分 (記号 =⊃≡−ΛVε とドットのシステム) の出典から始まります。

「本書で採用されている表記法はペアノの表記法に基づいており、以下の説明はある程度、彼が『数学公式』（ペアノ 1889）に付けた説明をモデルにしている。括弧としてドットを使用する方法や、彼の記号の多くも採用されている」（PM 1927:4）。^[17]

PM はペアノの Ɔ を ⊃ に変更し、また、℩ や ι などペアノの後の記号のいくつかと、ペアノが文字を逆さまにする習慣も採用しました。

PM は、 1879 年の Frege のBegriffsschriftから主張記号「⊦」を採用します: ^[18]

「それは『それは真実である』と読むことができる」^[19]

したがって、命題pを主張するために PM は次のように記述します。

「⊦ . p .」（PM 1927:92）

(元の文字と同様に、左の点は四角形で、右の点よりも大きいことに注意してください。)

PMの表記法の残りのほとんどはホワイトヘッドによって発明された。^[20]

PMのドット^[21]は括弧と同様の方法で使用されます。各ドット (または複数のドット) は、左括弧または右括弧、あるいは論理記号 ∧ のいずれかを表します。複数のドットは括弧の「深さ」を示します。たとえば、「.」、「:」、または「:.」、「::」などです。ただし、対応する右括弧または左括弧の位置は表記法で明示的に示されておらず、複雑で時には曖昧ないくつかの規則から推測する必要があります。さらに、ドットが論理記号 ∧ を表す場合、その左オペランドと右オペランドは同様の規則を使用して推測する必要があります。まず、コンテキストに基づいて、ドットが左括弧または右括弧を表すのか、論理記号を表すのかを判断する必要があります。次に、対応するもう一方の括弧がどのくらい離れているかを判断する必要があります。ここでは、より多くの点、または同じかそれ以上の「力」を持つ同じ数の点、または行の終わりに達するまで続けます。記号 ⊃、≡、∨、=Df の隣の点は、( x )、(∃ x ) などの隣の点よりも強い力を持ちます。これらの点は、論理積 ∧ を示す点よりも強い力を持ちます。

例1. 行

✱ 3.4 . ⊢ : p . q . ⊃ . p ⊃ q

対応する

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

アサーション記号の直後に並んでいる 2 つのドットは、その行全体がアサートされていることを示します。ドットが 2 つあるため、その範囲は右側にあるどのドットよりも広くなります。ドットの代わりに、ドットがある場所に左括弧が、数式の最後に右括弧が置かれます。

⊢ (p . q . ⊃ . p ⊃ q).

（実際には、式全体を囲むこれらの最も外側の括弧は、通常省略されます。）2つの命題変数の間にある最初の単一のドットは、接続詞を表します。これは3番目のグループに属し、最も狭い範囲を持ちます。ここでは、接続詞の現代の記号「∧」に置き換えられています。

⊢ (p ∧ q . ⊃ . p ⊃ q).

残りの 2 つのドットは、式全体の主な接続詞を抽出します。ドット表記法の有用性は、周囲の接続詞よりも相対的に重要な接続詞を抽出できることを表しています。"⊃" の左側のドットは 1 組の括弧に置き換えられ、右側のドットはドットがある場所に移動し、左側のドットは、より強力なドットのグループ (この場合はアサーション記号に続く 2 つのドット) を横切らないようにできるだけ左に移動します。

⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)

「⊃」の右側のドットは、ドットがある位置の左括弧と、より強い力を持つドットのグループ（この場合はアサーション記号の後の2つのドット）によって既に確立されている範囲を超えない範囲で右にできるだけ長く伸びる右括弧に置き換えられます。したがって、「⊃」の右側のドットを置き換える右括弧は、アサーション記号の後の2つのドットを置き換えた右括弧の前に置かれます。

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

例 2 (二重ドット、三重ドット、四重ドットを使用)

✱9.521 . ⊢ : : (∃x). φx . ⊃ . q : ⊃ : . (∃x). φx . v . r : ⊃ . qvr

の略

((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

例 3、二重ドットは論理記号を示します (第 1 巻、10 ページより)。

p ⊃ q : q ⊃ r .⊃. p ⊃ r

の略

( p ⊃ q ) ∧ (( q ⊃ r )⊃( p ⊃ r ))

ここで、二重ドットは論理記号 ∧ を表し、非論理的な単一ドットよりも優先度が高いと見なすことができます。

後のセクション✱14では、括弧 "[ ]" が現れ、セクション✱20以降では中括弧 "{ }" が現れます。これらの記号に特定の意味があるのか​​、それとも単に視覚的な説明のためだけなのかは不明です。残念ながら、単一のドット (および " : "、" :. "、" :: " など) は、「論理積」を表す記号としても使用されます (現代の論理積は "&" または "∧" で表されることが多い)。

論理的含意はペアノの「Ɔ」を簡略化した「⊃」で表され、論理否定は長いチルダ、つまり「~」（現代の「~」または「¬」）で表され、論理和は「v」で表されます。記号「=」は「Df」と一緒に「次のように定義される」ことを示すために使用されますが、セクション✱13以降では、「=」は（数学的に）「と同一」、つまり現代の数学的な「等式」として定義されます（セクション✱13の説明を参照）。論理的同値性は「≡」（現代の「もしあれば、そしてその場合に限り」）で表されます。「基本的な」命題関数は慣例的な方法で記述されます（例：f（p）」）が、関数記号は変数の直前に括弧なしで表示されます（例：φ x）、その後、「χ x」など）。

たとえば、PM は「論理積」の定義を次のように導入しています。

✱3.01 . p . q . = . ~(~ p v ~ q ) Df .

ここで、「p . q 」はpとqの論理積です。

✱3.02 . p ⊃ q ⊃ r . = . p ⊃ q . q ⊃ r Df .

この定義は単に証明を簡略化するためだけのものです。

公式を現代の記号に翻訳する: さまざまな著者が別の記号を使用しているため、決定的な翻訳は提供できません。ただし、以下のKurt Gödelなどの批判があるため、現代の最良の処理は、公式の「形成規則」(構文) に関して非常に正確になります。

最初の公式は現代の象徴主義に次のように変換できるだろう。^[22]

( p & q ) = _df (~(~ p v ~ q ))

交互に

( p & q ) = _df (¬(¬ p v ¬ q ))

交互に

( p ∧ q ) = _df (¬(¬ p v ¬ q ))

等

2 番目の式は次のように変換できます。

( p → q → r ) = _df ( p → q ) & ( q → r )

しかし、これは ( p → ( q → r )) とも (( p → q ) → r ) とも (論理的には) 同等ではなく、これら 2 つも論理的に同等ではないことに注意してください。

これらのセクションは、現在述語論理として知られているもの、および同一性 (等価性) を持つ述語論理に関するものです。

• 注: 批判と進歩の結果、PMの第2版(1927)では、 ✱9が新しい✱8 (付録A)に置き換えられました。この新しいセクションでは、第1版の実変数と見かけ変数の区別がなくなり、「命題関数の主張」という基本的な考え方がなくなりました。^[23]処理の複雑さを増すために、✱8では「マトリックス」を置き換えるという概念と、シェファーストロークが導入されています。

• マトリックス: 現代の用法では、PMのマトリックスは(少なくとも命題関数の場合)真理値表、つまり命題関数または述語関数のすべての真理値です。
• シェファー ストローク: 現代の論理NAND (NOT-AND)、つまり「非互換性」であり、次のことを意味します。

「2 つの命題pとqが与えられた場合、 ' p | q ' は「命題pは命題qと両立しない」という意味です。つまり、命題pとq の両方が真と評価される場合にのみ、p | q は偽と評価されます。」セクション✱8以降、シェファー ストロークは使用されません。

セクション✱10: 存在と普遍の「演算子」 : PM は、現代の記号「すべてのxに対して」 、つまり「 ∀ x 」を表すために「( x )」を追加し、逆セリフの E を使用して「 xが存在する」、つまり「(Ǝx)」、つまり現代の「∃x」を表します。一般的な表記は次のようになります。

「( x ) . φ x 」は「変数xのすべての値に対して、関数 φ は真と評価される」という意味です。

「(Ǝ x ) . φ x 」は「変数xのある値に対して、関数 φ は真と評価される」という意味です。

セクション✱10、✱11、✱12: すべての個体に拡張された変数の特性: セクション✱10では、「変数」の「特性」の概念を紹介します。PM は例を示します: φ は「ギリシャ人である」ことを示す関数であり、 ψ は「男性である」を示し、 χ は「人間である」を示します。これらの関数は変数xに適用されます。PM は次のように記述して評価できます。

( x ) . ψ x

上記の表記は、「すべてのxについて、x は男性である」という意味です。個体の集合が与えられれば、上記の式が真か偽かを評価できます。たとえば、個体の制限された集合 { ソクラテス、プラトン、ラッセル、ゼウス } が与えられている場合、ゼウスが男性であると認めれば、上記は「真」と評価されます。しかし、次の場合には偽となります。

( x ) . φ x

ラッセルはギリシャ人ではないからだ。そしてそれは

( x ) . χ x

ゼウスは人間ではないからです。

この表記法を装備すると、PM は次のような式を作成できます。「すべてのギリシャ人が人間であり、すべての人間が死すべき存在であるならば、すべてのギリシャ人は死すべき存在である」( PM 1962:138) 。

( × ) 。 φ x ⊃ ψ x : ( x ) 。 ψ x ⊃ χ x : ⊃ : ( x ) 。 φ x ⊃ χ x

別の例：次の式:

✱10.01 . (Ǝ x ) . φ x . = . ~( x ) . ~φ x Df .

は、「『関数 φ を満たすxが少なくとも 1 つ存在する』という主張を表す記号は、『 xのすべての値が与えられた場合、 φ を満たすxの値は存在しないというのは真ではない』という主張を表す記号によって定義される」という意味です。

_{⊃ x}と "≡ _x "という記号は、 ✱10.02と✱10.03に出てきます。どちらも、変数x を論理演算子に結び付ける普遍性 (つまり、すべて) の略語です。当時の表記法では、等号 ("=") の外側に括弧が使われていました。

✱10.02 φ x ⊃ _x ψ x . = . ( x ) . φ x ⊃ ψ x Df

現代の表記法: ∀ x (φ( x ) → ψ( x )) (またはその変形)

✱10.03 φ x ≡ _x ψ x . = . ( x ) . φ x ≡ ψ x Df

現代の表記法: ∀ x (φ( x ) ↔︎ ψ( x )) (またはその変形)

PM は最初の象徴主義をペアノに帰しています。

セクション✱11では、この記号を2つの変数に適用します。したがって、次の表記法: ⊃ _x、⊃ _y、⊃ _{x、y は}すべて1つの式に出現する可能性があります。

セクション✱12では、「マトリックス」（現代の真理値表）の概念、論理型の概念、特に1次および2次の関数と命題の概念を再導入します。

新しい記号「φ ! x」は、1 次関数の任意の値を表します。変数の上にサーカムフレックス「^」が置かれている場合、これはyの「個々の」値であり、「ŷ」は「個体」(たとえば、真理値表の行) を示します。この区別は、命題関数の行列/拡張の性質のために必要です。

行列の概念が備わったPM は、議論を呼ぶ還元公理を主張することができます。つまり、1 つか 2 つの変数 ( PMの使用には 2 つで十分)の関数で、そのすべての値が与えられている(つまり、行列内にある) 関数は、同じ変数の「述語的」関数と (論理的に) 同等 ("≡") であるということです。1 変数の定義は、表記の例として以下で示されます ( PM 1962:166–167)。

✱12.1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ _x . f ! x Pp ;

Ppは「原始命題」（「証明なしに仮定された命題」）（PM 1962:12、つまり当時の「公理」）であり、セクション✱1で定義されている 7 つ（ ✱1.1 モーダスポネンスから始まる）に追加されます。これらは、断定記号「⊢」、否定「~」、論理和「V」、および「基本命題」と「基本命題関数」の概念を含む「原始的な概念」とは区別されます。これらは、PM が記法形成の規則、つまり構文に最も近いものです。

これは、「次のことが真実であると断言します。xのすべての値が与えられたとき、関数 φ におけるそれらの評価 (つまり、それらの行列) は、それらの同じ x の値で評価された f と論理的に同等です (逆もまた同様、したがって論理的同等性)」という特性を持つ関数fが存在します。言い換えると、変数xに適用された特性 φ によって決定される行列が与えられたとき、 xに適用されたときに行列と論理的に同等である関数f が存在します。または、すべての行列 φ x は、xに適用された関数fによって表すことができ、その逆も同様です。

✱13: 恒等演算子「=」 : これは、 PMからの引用で指摘されているように、記号を 2 つの異なる方法で使用する定義です。

✱13.01 . x = y . = : (φ) : φ ! x . ⊃ . φ ! y Df

手段：

「この定義では、xによって満たされるすべての述語関数がyによっても満たされる場合、 xとy は同一であるとみなされます...上記の定義の 2 番目の等号は「Df」と組み合わされているため、定義されている等号と実際には同じ記号ではないことに注意してください。」

不等号「≠」は、✱13.02の定義に登場します。

✱14: 説明:

「記述とは、「 φŷを満たす項y」という形式の句であり、φŷはただ1つの引数によって満たされる関数である。」^[24]

このことから、PM は2 つの新しい記号、つまり順方向の「E」と反転したイオタ「℩」を使用します。次に例を示します。

✱14.02。えー！ (℩ y ) (φ y ) 。 = : (Ǝ b ) : φ y 。 ≡ _y 。 y = b Df。

これは次の意味を持ちます:

「 φ ŷ を満たすy が存在する」というのは、φ ŷ がyの 1 つの値によって満たされ、他の値によって満たされない場合にのみ成立する。」( PM 1967:173–174)

本文はセクション✱14から基礎セクション✱20 一般クラスの理論と✱21 一般関係の理論に直接進んでいます。「関係」とは、現代の集合論では順序付きペアの集合として知られているものです。セクション✱20と✱22では、現在でも使用されている多くの記号が紹介されています。これには、記号 "ε"、"⊂"、"∩"、"∪"、"–"、"Λ"、および "V" が含まれます。"ε" は "〜の要素である" ( PM 1962:188) を意味します。"⊂" ( ✱22.01 ) は "〜に含まれる"、"〜のサブセットである" を意味します。"∩" ( ✱22.02 ) はクラス (集合) の交差 (論理積) を意味します。 「∪」（✱22.03）はクラス（集合）の和（論理和）を表します。「–」（✱22.03）はクラス（集合）の否定を表します。「Λ」はヌルクラスを表します。そして「V」は普遍的なクラスまたは談話領域を表します。

小さなギリシャ文字 (「ε」、「ι」、「π」、「φ」、「ψ」、「χ」、「θ」を除く) はクラス (例: 「α」、「β」、「γ」) を表します。 "、"δ" など) ( PM 1962:188):

x ε α

「 ẑ (φ z ) やẑ (φ ! z )などの記号の代わりに単一の文字を使用することは、事実上ほぼ不可欠です。そうしないと、表記がすぐに耐えられないほど煩雑になります。したがって、「x ε α」は「xはクラス α のメンバーである」という意味になります。( PM 1962:188)

α ∪ –α = V

集合とその逆集合の和集合は普遍集合（完全集合）である。^[25]

α ∩ –α = Λ

集合とその逆集合の交差は、ヌル（空）集合です。

✱23 関係の計算のセクションの関係に適用する場合、記号「⊂」、「∩」、「∪」、「–」にはドットが付きます。例：「⊍」、「∸」。^[26]

「クラス」（集合）の概念と表記法：初版では、PMは「クラス」が意味するものを定義するために新しい基本的な考え方は必要なく、それぞれクラスと関係の還元公理と呼ばれる2つの新しい「基本命題」だけが必要であると主張している（PM 1962：25）。^[27]しかし、この概念を定義する前に、PMは「架空オブジェクト」と呼ぶ独特の表記法「ẑ（φ z）」を作成する必要があると感じている。（PM 1962：188）

⊢ : x ε ẑ (φ z ) 。 ≡ 。 (φ × )

「すなわち、『x は(φ ẑ )によって決定されるクラスのメンバーである』は、[論理的に]『x は(φ ẑ ) を満たす』、または『(φ x ) は真である』と同等である。」 ( PM 1962:25)

少なくともPM は、これらの架空のオブジェクトがどのように動作するかを読者に伝えることができます。なぜなら、「クラスは、そのメンバーシップがわかっている場合は完全に決定的であり、つまり、同じメンバーシップを持つ 2 つの異なるクラスは存在できない」からです ( PM 1962:26)。これは、次の等式によって表されます (上記の✱13.01と同様)。

ẑ (φ z ) = ẑ (ψ z ) 。 ≡ : ( x ) : φ x 。 ≡ 。 ψ x

「この最後の点はクラスの際立った特徴であり、ẑ (ψ z ) を [関数] ψ ẑによって決定されるクラスとして扱うことを正当化する。」 ( PM 1962:188)

おそらく、上記は、第2版の入門におけるクラスの議論によってより明確になるだろう。この議論では、還元公理を廃止し、「関数のすべての関数は外延的である」( PM 1962:xxxix)という概念に置き換えている。つまり、

φ x ≡ _x ψ x 。 ⊃ 。 ( x ) : ƒ(φ ẑ ) ≡ ƒ(ψ ẑ ) ( PM 1962:xxxix)

これは、「xのすべての値に対して、 xの関数 φ と ψ の真理値が[論理的に] 同等である場合、特定の φ ẑの関数 ƒと ψ ẑの関数 ƒは [論理的に] 同等である」という合理的な意味を持ちます。PMは、これは「自明」であると主張します。

「これは明らかです。なぜなら、φ は、φ の値を[論理的] 関数のp、q、r、...に代入することによってのみ ƒ(φ ẑ ) に出現することができ、φ x ≡ ψ xであれば、φ xを [論理的] 関数のpに代入すると、真理関数に ψ xの代入と同じ真理値が与えられるからです。したがって、関数のクラスを区別する理由はもうありません。なぜなら、上記のおかげで、

φ x ≡ _x ψ x 。 ⊃ 。 ( × ) 。 φ ẑ = 。 ψẑ "。

右側の等号「=」の変化に注目してください。PMは続けて、表記法「ẑ (φ z )」を引き続き使用すると述べていますが、これは単に φ ẑと同等であり、これはクラスです。(すべての引用: PM 1962:xxxix)。

カルナップの「論理主義的数学の基礎」によれば、ラッセルは純粋に論理的な公理から数学のすべてを導き出せると言える理論を求めていた。しかし、『プリンキピア・マテマティカ』では、型理論の基本公理に加えて、単なる論理の問題としては真実ではないと思われる3つの公理、すなわち無限公理、選択公理、還元公理が必要だった。最初の2つは存在公理であったため、ラッセルはそれらに依存する数学的ステートメントを条件文として表現した。しかし、還元可能性は、形式的なステートメントが実解析のステートメントを適切に表現していることを確実にするために必要であり、それに依存するステートメントを条件文として再定式化することはできなかった。フランク・ラムゼーは、ラッセルの型理論の分岐は不要であり、還元可能性は削除できると主張しようとしたが、これらの議論は決定的なものではなかったようだった。

公理が論理的真実であるという地位を超えて、PM などのシステムについて次のような質問をすることができます。

• 公理から矛盾が導き出されるかどうか（矛盾の問題）、そして
• システム内で証明も反証もできない数学的命題が存在するかどうか（完全性の問題）。

命題論理自体は矛盾がないことが知られていたが、プリンキピアの集合論の公理については同じことが確立されていなかった。 (ヒルベルトの第二の問題を参照。) ラッセルとホワイトヘッドは命題論理の体系が不完全であると疑っていた。例えば、彼らは、基数 ℵ _ωが存在することを示すには不十分だと指摘した。しかし、再帰的に公理化可能な拡張が完全で矛盾がないかどうかを問うことができる。

1930 年、ゲーデルの完全性定理は、一階述語論理自体は、はるかに弱い意味で完全であることを示した。つまり、与えられた公理の集合から証明できない文は、公理の何らかのモデルでは実際には偽であるに違いない。しかし、これはプリンキピア・マテマティカに求められるより強い意味での完全性ではない。なぜなら、与えられた公理体系 (プリンキピア・マテマティカの公理体系など) には多くのモデルがあり、そのうちのいくつかでは与えられた文が真で、他のいくつかではその文が偽であるため、文は公理によって未決定のままになるからである。

ゲーデルの不完全性定理は、これら 2 つの関連する疑問に予期せぬ光を当てました。

ゲーデルの第一不完全性定理は、プリンキピアの再帰的拡張は算術ステートメントに対して一貫性と完全性の両方を持つことはできないことを示した。(前述のように、プリンキピア自体は、一部の非算術ステートメントに対して不完全であることがすでに知られていた。) 定理によれば、十分に強力な再帰的論理システム(プリンキピアなど)には、基本的に「ステートメントG は証明できない」と読めるステートメントGが存在します。このようなステートメントは、一種のジレンマです。つまり、Gが証明可能であれば、それは偽であり、したがってシステムは一貫性がありません。また、G が証明可能でなければ、それは真であり、したがってシステムは不完全です。

ゲーデルの第二不完全性定理(1931)は、基本的な算術を拡張する形式体系は、それ自体の一貫性を証明するために使用できないことを示しています。したがって、「プリンキピア体系には矛盾がない」という主張は、体系に矛盾がない限り、プリンキピア体系では証明できません (矛盾がある場合は、真と偽の両方が証明できます)。

PMの第 2 版までに、ラッセルは還元公理を新しい公理に置き換えました(ただし、彼はそのようには述べていません)。ゲーデル 1944:126 はそれを次のように説明しています。

この変化は、関数は「その値を通じて」、すなわち外延的にのみ命題に出現できるという新しい公理と関係している。(...) 量指定子が常に一定の順序に制限されている限り、構成的観点からもまったく異論はない」。この準内包的スタンスから完全外延的スタンスへの変化は、述語論理を第 2 順序、すなわち関数の関数に制限する。「数学は、上記の仮定に従う関数の関数に限定すると決定できる」。

—  PM第 2 版 401 ページ、付録 C

この新しい提案は悲惨な結果を招いた。「外延的立場」と二階述語論理への制限は、すべての個体に拡張された「すべての 'x' は青い」などの命題関数が、命題を満たす（命題において真である）すべての 'x' を、おそらく無限の連言でリストしなければならないことを意味する。例えば、x ₁ ∧ x ₂ ∧ . . . ∧ x _n ∧ . . . 皮肉なことに、この変更は、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインが1919 年に書いた『論理哲学論考』での批判の結果として生じた。ラッセルがPMの第 2 版の序文で述べているように:

ウィトゲンシュタイン† (†論理哲学論考、*5.54ff)が哲学的な理由で推奨した別のコースがあります。これは、命題の関数は常に真理関数であり、関数は命題の値を通じてのみ命題に現れると仮定することです。 (...) [結果を検討してみると]、第 1 巻のすべてが真実のままであるように見えます (ただし、新しい証明が必要になることがよくあります)。帰納的基数と順序数の理論は生き残りますが、無限デデキンド級数と整列級数の理論は大幅に崩壊し、無理数、および一般に実数は適切に処理できなくなったようです。また、カントルの 2 ⁿ > nの証明は、 nが有限でない限り破綻します。"

—  PM第 2 版 1962 年再版:xiv、新しい付録 C も参照)

言い換えれば、無限リストを現実的に指定できないという事実は、無限の意味での「数」の概念（つまり連続体）がPM 第 2 版で提案された新しい理論では説明できないことを意味します。

ウィトゲンシュタインは、1939年にケンブリッジで行った『数学基礎論』の中で、次のようなさまざまな理由で 『プリンキピア』を批判した。

• それは算数の根本的な基礎を明らかにすることを目的としている。しかし、基本的なのは、数えることなどの私たちの日常的な算数の実践である。なぜなら、数えることと『プリンキピア』の間に永続的な矛盾が生じた場合、それは日常的な数え方の誤りの証拠ではなく、 『プリンキピア』の誤りの証拠（例えば、『プリンキピア』が数や加算を正しく特徴づけていないなど）として扱われるからである。
• プリンキピアの計算方法は、実際には非常に小さな数でのみ使用できます。大きな数 (たとえば、数十億) を使用して計算する場合、式が長くなりすぎるため、何らかの近道を使用する必要がありますが、これは間違いなく、カウントなどの日常的なテクニック (または、帰納法などの非基本的で疑わしい方法) に依存します。したがって、プリンキピアは日常的なテクニックに依存しており、その逆ではありません。

しかしながら、ウィトゲンシュタインは『プリンキピア』が日常の算数のいくつかの側面をより明確にするかもしれないと認めた。

ゲーデルは1944年の論文「ラッセルの数学的論理学」の中で「論理主義的な観念の秩序についての批判的だが共感的な議論」を提示した。^[28]彼は次のように書いている。

残念なことに、数学的論理とそこからの数学の導出に関するこの最初の包括的かつ徹底的な説明は、基礎（『プリンキピア』の✱1～✱21節（すなわち、✱1～✱5節（命題論理）、✱8～14節（同一性/等価性を伴う述語論理）、✱20節（集合論入門）、および✱21節（関係論入門）に含まれる）の形式的正確さに非常に欠けており、この点でフレーゲと比較するとかなり後退している。何よりも欠けているのは、形式主義の構文の正確な記述である。構文上の考慮は、証明の説得力に必要な場合でさえ省略されている... 特に、置換規則と、定義された記号をその定義体に置き換える規則については疑問が残る... 証明されなければならないのは主に置換規則である。^[16]

このセクションでは、命題計算と述語計算について説明し、クラス、関係、および型の基本的なプロパティを示します。

この部分では、関係のさまざまな特性、特に基数演算に必要な特性について説明します。

ここでは、基数の定義と基本的な特性について説明します。基数は、類似のクラスの同値クラスとして定義されます (基数が特別な種類のフォン ノイマン順序数であるZFCとは対照的です)。各タイプには、それに関連付けられた独自の基数のコレクションがあり、異なるタイプの基数を比較するには、かなりの量の記録が必要です。PM は、基数の加算、乗算、累乗を定義し、有限基数と無限基数のさまざまな定義を比較します。✱120.03 は無限公理です。

「関係数」は、同型関係の同値クラスです。PM は、任意の関係の加算、乗算、および累乗の類似を定義します。加算と乗算は、ZFC の順序数の加算と乗算の通常の定義に似ていますが、PM の関係の累乗の定義は、ZFC で使用される通常の定義と同じではありません。

これは、現在では完全に順序付けられた集合と呼ばれるものに対する PM の用語であるシリーズをカバーします。特に、完全なシリーズ、順序トポロジーを持つシリーズ間の連続関数 (もちろん、この用語は使用されていません)、整然としたシリーズ、および「ギャップ」のないシリーズ (任意の 2 つのメンバーの間に厳密にメンバーがあるシリーズ) をカバーします。

このセクションでは、整数環、有理数と実数の体、および「ベクトル族」を構築します。これらは、現在ではアーベル群上のトルソルと呼ばれているものに関連しています。

このセクションでは、PM のシステムを ZFC の通常の数学的基礎と比較します。PM のシステムは、強さの点でツェルメロ集合論 (より正確には、分離公理によってすべての量指定子が制限されるバージョン) とほぼ同等です。

• PM における命題論理と述語計算のシステムは、表記法と用語が変更されていることを除けば、基本的に現在使用されているものと同じです。
• PM と集合論の最も明らかな違いは、PM ではすべてのオブジェクトが複数の互いに素な型のいずれかに属していることです。つまり、すべてのものが各 (無限の) 型に対して複製されます。たとえば、各型には独自の序数、基数、実数などがあります。このため、さまざまな型を相互に関連付けるために大量の記録が必要になります。
• ZFC では、関数は通常、順序付きペアのセットとしてコード化されます。PM では、関数の扱いはかなり異なります。まず、「関数」は「命題関数」、つまり真または偽の値を取るものを意味します。次に、関数は値によって決定されません。すべて同じ値を取る複数の異なる関数が存在する可能性があります (たとえば、2 x +2 と 2( x +1) は、それらを評価するコンピュータ プログラムが異なるという理由で、異なる関数と見なすことができます)。順序付きペアのセットによって与えられる ZFC の関数は、PM が「行列」と呼ぶものに対応し、PM のより一般的な関数は、いくつかの変数を量化することによってコード化されます。特に、PM は量化を使用して定義された関数と量化を使用して定義されていない関数を区別しますが、ZFC ではこの区別は行われません。
• PM には置換公理に相当するものはありませんが、この公理は集合論以外の数学ではほとんど使用されないため、実用上はあまり重要ではありません。
• PM は関係を基本概念として強調しますが、現代の数学の実践では、関係よりも関数の方がより基本的なものとして扱われます。たとえば、カテゴリ理論では、関係よりも射や関数が強調されます。(ただし、関数ではなく関係をモデル化するアレゴリーと呼ばれるカテゴリの類似物があり、PM の型システムに非常に似ています。)
• PM では、基数は類似クラスのクラスとして定義されますが、ZFC では基数は特別な順序数です。PM では、各タイプごとに異なる基数の集合があり、タイプ間で基数を移動するための複雑な仕組みがありますが、ZFC では基数は 1 種類だけです。PM には置換公理に相当するものがないため、 ℵ _ωより大きい基数の存在を証明することはできません。
• PM では、順序数は整列集合の同値類として扱われ、基数と同様に、各タイプに対して異なる順序数の集合が存在します。ZFC では、順序数の集合は 1 つだけであり、通常はフォン ノイマン順序数として定義されます。PM の奇妙な癖の 1 つは、1 に対応する順序数がないことです。これにより、定理が不必要に複雑になります。PM の順序数累乗 α ^βの定義は、ZFC の通常の定義と同等ではなく、望ましくない特性がいくつかあります。たとえば、β で連続しておらず、整列していません (したがって、順序数でもありません)。
• ZFC における整数、有理数、実数の構築は、PM での構築以来、時間の経過とともに大幅に合理化されてきました。

誤植の訂正を除けば、PM の本文は第 1 版と第 2 版で変更されていません。第 1 巻と第 2 巻の本文はリセットされ、それぞれのページ数が少なくなりました。第 2 版では、第 3 巻はリセットされず、同じページ番号で写真再印刷されましたが、訂正は行われました。第 1 版の総ページ数 (見返しを除く) は 1,996 ページ、第 2 版は 2,000 ページです。第 1 巻には、次の 5 つの新しい追加があります。

• ラッセルによる 54 ページの序文では、もっと時間とエネルギーがあったら彼らが行ったであろう変更について説明しています。彼が提案する主な変更は、議論を呼んでいる還元公理の削除ですが、彼はそれに代わる満足のいくものを知らないことを認めています。彼はまた、関数はその値によって決定されるべきであるという考え (現代の数学の慣習ではよくあることですが) に好意的であるようです。
• 付録 A、*8、15 ページ、シェファー脳卒中について。
• 付録 B (番号 *89) では、還元公理を使用しない帰納法について説明します。
• 付録 C、8 ページ、命題関数について説明します。
• 最後に 8 ページの定義リストがあり、使用されている約 500 の表記法に対する非常に必要な索引が提供されています。

1962年、ケンブリッジ大学出版局は、第1巻第2版の一部である新しい序文（および古い序文）、*56までの本文、および付録AとCを収録した短縮版のペーパーバック版を出版しました。

初版は2009年にMerchant BooksからISBN 978-1-60386-182-3、ISBN 978-1-60386-183-0、ISBN 978-1-60386-184-7で再版されました。    

アンドリュー・D・アーバインによれば、PM は記号論理への関心を呼び起こし、記号論理を普及させることでこの分野を発展させた。記号論理の力と可能性を示し、数学哲学と記号論理の進歩がいかにして大きな実りを伴って進むことができるかを示した。^[4] PM は、すべての数学的真理は論理的真理であるという見解である論理主義への関心によって部分的にもたらされた。欠陥はあったものの、PM はゲーデルの不完全性定理を含むメタ論理のその後のいくつかの進歩に影響を与えた。^[要出典]

PMの論理表記法は、その基礎がツェルメロ-フランケル集合論の一種であると考えられることが多いためか、広く採用されなかった。^[要出典]

PMに対する学術的、歴史的、哲学的な関心は大きく、現在も続いており、数学者はテキストやその著者を理解するという歴史的な理由から、あるいは数学と論理の形式化への洞察を深めるために、 PMの研究を続けています。^[要出典]

モダン・ライブラリーは、 20世紀の英語ノンフィクション書籍トップ100のリストでPMを23位にランク付けしました。 ^[5]

• 公理的集合論
• ブール代数
• 情報処理言語- PM における定理の最初の計算的デモンストレーション
• 数学哲学入門

• エンダートン、ハーバート・B. (2001) [1972].論理学への数学的入門（第2版）. サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス. ISBN 0-12-238452-0。
• ゲーデル、クルト(1944)。「ラッセルの数学的論理学」。シルップ、ポール・アーサー(編) 著『バートランド・ラッセルの哲学』 。生きた哲学者の図書館。第 5 巻 (第 1 版)。シカゴ:ノースウェスタン大学出版局。pp. 123–153。LCCN  44006786。OCLC 2007378。OL  6467049M  。
• ゲーデル、クルト（1990年）。フェファーマン、ソロモン、他（編）。全集第2巻、1938-1974年の出版物。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-503972-6。
• グラッタン・ギネス、アイヴァー（2000年）。『数学的根源の探求 1870-1940 』プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-05857-1。
• ハーディ、GH（2004）[1940]。数学者の弁明。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-42706-7。
• クリーネ、スティーブン・コール（1952）。メタ数学入門（第6版再版）。アムステルダム、ニューヨーク：ノースホランド出版社。LCCN 53001848。OCLC  9296141  。
• リトルウッド、JE (1986)。ボロバス、ベラ(編)。リトルウッドの雑集。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-33058-0. MR  0872858。
• ヴァン・ヘイエノールト、ジャン（1967年）。 『フレーゲからゲーデルまで：1879年から1931年までの数学論理学の原典』（第3刷）。マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。ISBN 0-674-32449-8。
• ミシェル・ウェーバー;デズモンド、ウィリアム・ジュニア編。 （2008年）。ホワイトヘッド プロセス思想ハンドブック、第 1 巻。Heusenstamm: Ontos Verlag  [de]。ISBN 978-3-938793-92-32023年9月13日閲覧– Academia.edu経由。
• ウィトゲンシュタイン、ルートヴィヒ（2009年）。主要著作：哲学書選集。ニューヨーク：ハーパーコリンズ。ISBN 978-0-06-155024-9。

• スタンフォード哲学百科事典:
  • プリンキピア・マテマティカ– AD アーヴァイン著
  • 『プリンキピア・マテマティカの表記法』 – ベルナール・リンスキー著。
• 命題 ✱54.43 のより現代的な表記法 ( Metamath )