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『数学はどこから来るのか：身体化された心はいかにして数学を生み出すのか』（以下、 WMCF ）は、認知言語学者のジョージ・レイコフと心理学者のラファエル・E・ヌニェスによる著書である。2000年に出版されたWMCFは、概念メタファーに基づいた身体化された数学の理論である、数学の認知科学を確立することを目指している。
数学は、人間の概念体系の中で、次のような点で特別な部分を占めている。
ニコライ・ロバチェフスキーは「どんなに抽象的な数学の分野であっても、いつか現実世界の現象に応用されないものはない」と述べた。このような概念の融合プロセスは、数学のあらゆる分野に共通して当てはまるように思われる。
ラコフとヌニェスの公言する目的は、人間の認知能力すべてに共通するプロセスに基づいた、真に科学的な数学理解の基礎を築き始めることである。彼らは、基本的な算術は、物体の収集、物体の構成、測定棒の使用、経路に沿った移動という、それぞれ異なるが関連性のある4つのプロセスによって比喩的に構造化されていることを発見した。
WMCFは、ラコフ（1987）およびラコフとジョンソン（1980、1999）による先行研究に基づいており、これらの研究では、第二世代の認知科学におけるメタファーやイメージスキーマといった概念が分析されている。ラコフ（1987）の興味深い技術的なアイデアなど、これらの先行研究に含まれる概念の一部は、 WMCFには含まれていない。
ラコフとヌニェスは、数学は人間の認知装置から生じるものであり、したがって認知的な観点から理解されなければならないと主張している。WMCFは、数学の概念を、それを生み出す人間の経験、比喩、一般化、その他の認知メカニズムの観点から分析する、数学の認知的な概念分析を提唱し、いくつかの例を示している。標準的な数学教育では、A) どのような心の構造が数学を可能にするのか、あるいはB)数学の哲学といった考察を追求しないため、このような概念分析の手法は開発されない。
ラコフとヌニェスはまず心理学文献を概観し、人間には4～5程度までの数を数えたり、足し算したり、引き算したりする「サビタイジング」と呼ばれる生来の能力があるようだと結論づけている。彼らは、乳児を対象とした実験について記述した近年の文献を検証することで、この結論を裏付けている。例えば、乳児は、最初は2つしかなかったおもちゃが3つ現れるといった「あり得ない」状況に直面すると、すぐに興奮したり好奇心を示したりする。
著者らは、数学は数多くの比喩的な構成によって、この非常に初歩的なレベルをはるかに超えていると主張する。例えば、すべては数であるというピタゴラスの立場、そして2の平方根の無理性の発見によって生じた信頼の危機は、正方形の対角線の長さと物体の可能な数との間の比喩的な関係からのみ生じるのである。
WMCFの大部分は、無限と極限過程という重要な概念を扱い、有限な世界に生きる有限な人間がどのようにして最終的に現実の無限を理解できるのかを説明しようとしている。したがって、 WMCFの大部分は、事実上、微積分学の認識論的基礎の研究である。ラコフとヌニェスは、潜在的な無限は比喩的ではないが、現実の無限は比喩的であると結論づけている。さらに、彼らは現実の無限のすべての現れを、彼らが「無限の基本メタファー」と呼ぶものの例とみなしており、それは1、2、3、…という無限に増加する数列によって表される。
WMCFは、プラトン主義的な数学哲学を断固として否定する。彼らは、私たちが知っていること、そして知り得ることはすべて人間的な数学、すなわち人間の知性から生じる数学であると強調する。人間の思考とは独立した「超越的な」数学が存在するかどうかという問いは、色が人間の思考を超越しているかどうかを問うのと同様に無意味な問いである。色は単に光の波長が変化するだけであり、物理的な刺激に対する私たちの解釈こそが色を形作っているのだ。
WMCF（81ページ）も同様に、数学者が閉包 の概念を重視する姿勢を批判している。ラコフとヌニェスは、閉包への期待は、根本的に異なる概念を比喩を通して関連付ける人間の心の能力の産物であると主張している。
WMCFは主に、数学の代替的な見方を提案し確立すること、すなわち、数学を人間の生物学と経験の現実に根ざしたものにすることを目的としている。これは、技術的な数学や哲学の著作ではない。数学の哲学に対する従来のアプローチに欠陥があると主張したのは、ラコフとヌニェスが初めてではない。例えば、本書ではハーシュの支持を温かく認めているにもかかわらず、彼らはデイビスとハーシュ（1981）の内容にそれほど精通しているようには見えない。
ラコフとヌニェスは、自分たちの立場を支持する根拠として、サウンダース・マックレーン（サミュエル・アイレンバーグと共に圏論を発明した人物）を引用している。哲学者向けの数学概論である『数学、形式と機能』（1986年）では、数学的概念は究極的には、主に物理世界との相互作用といった、日常的な人間の活動に根ざしていると提唱している。[ 1 ]
WMCFで説明されている概念メタファーには、無限の基本メタファーに加えて、以下のものが含まれます。
数学的推論には、ある議論領域にわたる変数が必要であり、それによって私たちは個々の事柄だけでなく、一般論についても推論することができる。WMCFは、そのような変数を用いた推論は、彼らが「代数学の基本的換喩」と呼ぶものに暗黙のうちに依存していると主張する。
WMCF（151ページ ）には、著者らが「比喩的曖昧さ」と呼ぶものの次の例が含まれている。次に、初等集合論における標準的な用語を2つ思い出してみましょう。
（1）によれば、Aは集合{1,2}である。しかし、（1）と（2）を合わせると、Aは順序対（0,1）でもあるということになる。どちらの記述も正しくあり得ない。順序対（0,1）と順序なし対{1,2}は完全に異なる概念だからである。ラコフとジョンソン（1999）はこの状況を「比喩的に曖昧」と呼んでいる。この単純な例は、数学のプラトン主義的基礎に疑問を投げかけるものである。
上記（1）と（2）は、特にツェルメロ＝フレンケル公理化として知られる合意集合論においては確かに標準的な定義であるが、WMCFは、これらが集合論の黎明期から提案されてきた複数の定義のうちの1つに過ぎないことを明示していない。例えば、フレーゲ、プリンキピア・マテマティカ、および新基礎（1937年にクワインによって始められた公理的集合論の体系）は、基数と順序数を等数性と類似性の関係の下での同値類として定義しているため、この難問は生じない。クワイン集合論では、Aは単に数2のインスタンスである。技術的な理由から、上記（2）のように順序対を定義することは、クワイン集合論では不都合である。2つの解決策が提案されている。
「数学のロマンス」とは、WMCFが数学に関する長年の哲学的見解を軽妙な言葉で表現したもので、著者らはそれを知的神話として説明し、そして一蹴している。
WMCFが最終的に数学哲学における新たな学派の始まりとなるかどうかは、依然として未解決の問題である。したがって、 WMCFのこれまでのところの主な価値は、数学におけるプラトン主義とロマン主義への批判という、批判的な側面にあると言えるだろう。
多くの現役数学者は、ラコフとヌニェスのアプローチと結論に抵抗している。専門誌に掲載された数学者によるWMCFのレビューは、数学を理解するための道筋としての概念戦略とメタファーに焦点を当てている点には概ね敬意を払っているものの、数学的記述には永続的な「客観的」意味があるという理由で、WMCFの哲学的議論の一部に異議を唱えている。 [ 2 ]例えば、フェルマーの最終定理は、フェルマーが1664年に最初に提唱した時と全く同じ意味である。他のレビューでは、同じ数学的に定義された用語に関連して、多くの場合同じ人物によって複数の概念戦略が用いられる可能性があると指摘している（この点は、私たちが日常的に「同じ」概念を異なるメタファーで理解しているという見解と矛盾しない）。メタファーと概念戦略は、数学者が用いる形式的な定義とは異なる。しかし、WMCFは、形式的な定義は人間の経験の観点からのみ意味を持つ言葉と記号を用いて構築されていると指摘している。
WMCFに対する批判には、以下のようなユーモラスなものが含まれる。
実数を複素数で累乗した比喩を思いつくのは難しいが、もしあるならぜひ見てみたい。 — ジョセフ・アウスランダー[ 3 ]
そして身体的な情報に基づいた：
しかし、彼らの分析では少なくともいくつかの疑問が十分に解決されていない。まず、著者らは脳が自然を観察するだけでなく、自然の一部でもあるという事実を無視している。脳が作り出す数学がそのような形をとるのは、そもそも数学が脳の形成に関与していたからかもしれない（生命の進化を制約する自然法則の作用を通して）。さらに、すでに知られている現実の側面に方程式を当てはめることと、その数学がこれまで疑われていなかった現象を説明することとは全く別物である。ポール・ディラックの電子を記述する方程式が複数の解を生み出したとき、彼は自然界には反物質として知られる他の粒子が存在するに違いないと推測した。しかし、科学者たちはディラックの数学がそれらの存在を示唆するまで、そのような粒子を発見しなかった。数学が人間の発明であるならば、自然は何が発明されるかを知っていたように思われる。[ 3 ]
ラコフとヌニェスは、数学者たちがWMCFについて表明した否定的な意見を退ける傾向がある。なぜなら、批判者たちは認知科学の洞察を理解していないからである。ラコフとヌニェスは、自分たちの議論は、人間の脳が言語と意味を処理する方法に関するここ数十年の発見を用いてのみ理解できると主張している。彼らは、この理解に基づかない議論や批判は、本書の内容に対処できないと主張している。[ 4 ]
WMCFが「知的な地球外生命体は数学的能力を持つ」という主張が神話であることを立証しているとは全く明らかではないと指摘されている。そのためには、知性と数学的能力は分離可能であることを示す必要があるが、それはなされていない。地球上では、知性と数学的能力はあらゆる生命体において密接に関連しているように見えると、キース・デブリンらが指摘している。[ 5 ] WMCFの著者らは、この状況が他の場所でどのように異なるのか（あるいは異なる可能性があるのか）を説明していない。
ラコフとヌニェスもまた、直観主義者と構成主義者が（プラトン的）数学のロマンスに対する彼らの攻撃を予見していた程度を理解していないようだ。直観主義／構成主義の観点の創始者であるブロウワーは、博士論文『数学の基礎について』の中で、数学は精神的な構成物であり、精神の自由な創造物であり、論理や言語とは全く独立していると主張した。彼はさらに、直観的な解釈なしに研究される言語構造を構築した形式主義者を批判している。記号言語は数学と混同されるべきではない。それは数学的現実を反映するものの、数学的現実を含むものではない。[ 6 ]
教育関係者は、 WMCFが示唆する数学の学習方法や、生徒が基本的な概念の中には他の概念よりも難しいと感じるものがある理由について、一定の関心を示している。
しかし、教育的な観点から見ても、WMCFには依然として問題がある。概念メタファー理論の観点からすると、メタファーは「現実世界」、つまり具体的な世界とは異なる領域、つまり抽象的な世界に存在する。言い換えれば、数学は人間的なものであると主張しているにもかかわらず、確立された数学的知識（学校で学ぶもの）は、物理的な起源から完全に切り離された抽象的なものとして想定され、扱われている。学習者がそのような知識にどのようにアクセスできるのかを説明することはできない。[ 7 ]
WMCFは一元論的なアプローチでも批判されている。第一に、言語構造、ひいては数学の基礎となる感覚運動経験は文化や状況によって異なる可能性があるという事実を無視している。[ 8 ]第二に、WMCFが関心を寄せている数学は「ほぼ完全に教科書やカリキュラムにおける標準的な表現」[ 8 ]であり、これは最も確立された知識体系である。そのため、数学史の動的で多様な性質を無視している。
WMCFのロゴ中心のアプローチは、批判の的となっている。言語と数学の関連性に主眼を置いている一方で、非言語的要因が数学的アイデアの出現にどのように寄与しているかについては考慮していない（例：Radford、2009年；[ 9 ] Rotman、2008年[ 10 ]を参照）。
WMCF（378～379ページ ）はいくつかの重要なポイントで締めくくっており、そのうちのいくつかを以下に挙げる。数学は私たちの身体と脳、私たちの日常生活の経験、そして人間社会と文化の関心事から生まれる。それは次の通りである。
WMCFで説明および実装されている形式システムへの認知アプローチは、数学に限定される必要はなく、形式論理や、エドワード・ザルタの抽象対象理論のような形式哲学に適用した場合にも有益であることが証明されるはずです。ラコフとジョンソン（1999）は、認知アプローチを有効活用して、心の哲学、認識論、形而上学、思想史の多くを再考しています。
