数学における統一理論

歴史上、数学の統一理論に到達しようとする試みが幾度となく行われてきた。学界で最も尊敬されている数学者の中には、数学全体を一つの理論にまとめるべきだと主張する者もいる（例としては、ヒルベルトのプログラムやラングランズのプログラムなどが挙げられる）。

数学のトピックの統合は、数学的統合と呼ばれてきました。^{[ 1 ]}「2つ以上の概念または理論T _iの統合とは、すべてのT _iの要素を1つのシステムに組み込んだ新しい理論の作成を意味し、それはどの単一のT _iから得られるよりも一般的な意味を実現します。」

統一のプロセスは、数学という学問分野を構成する要素を定義するのに役立つと見なせるかもしれない。

例えば、18世紀には力学と数学解析は微分方程式の概念によって統合され、一つの学問分野として扱われていましたが、代数学と幾何学は概ね別個のものと考えられていました。現在では、解析、代数学、幾何学は数学の一部とみなされていますが、力学はそうではありません。なぜなら、これらは主に演繹的な形式科学であるのに対し、力学は物理学と同様に観察に基づいて進められるからです。内容の大きな損失はなく、従来の意味での解析力学は、より新しい多様体理論に基づくシンプレクティック位相幾何学の観点から表現されるようになりました。

数学において「理論」という用語は、定義、公理、定理、例などからなる自己矛盾のない体系を意味する非公式な用語として用いられる。（例としては、群論、ガロア理論、制御理論、K理論などが挙げられる。）特に、仮説的な意味合いは含まれない。したがって、「統一理論」という用語は、数学者の行動を研究するために用いられる社会学的な用語に近い。未発見の科学的関連性に類似するような推測的な仮定は一切含まれない。言語学における「原世界」や「ガイア仮説」といった概念に相当するものは、数学には実際には存在しない。

しかしながら、数学の歴史の中には、個々の定理の集合が単一の統一的な結果の特殊な場合であることが判明したり、数学のある分野を発展させる際の進め方に関する単一の視点がその分野の複数の領域に有効に適用できたりした事例がいくつか存在する。

よく知られた例として、解析幾何学の発展が挙げられる。デカルトやフェルマーといった数学者の手によって、特殊な形状の曲線や曲面に関する多くの定理が（当時としては新しい）代数的な言語で表現でき、それぞれが同じ手法で証明できることが示された。つまり、幾何学的な解釈は異なっていても、これらの定理は代数的には非常に似通っていたのである。

1859年、アーサー・ケイリーはケイリー＝クライン計量を用いて計量幾何学の統一に着手した。後にフェリックス・クラインは、この計量を用いて非ユークリッド幾何学の基礎を築いた。

1872年、フェリックス・クラインは、19世紀に発展した幾何学の多くの分野（アフィン幾何学、射影幾何学、双曲幾何学など）はすべて統一的に扱うことができると指摘した。彼は、幾何学的対象が不変となる群を考察することによってこれを実現した。この幾何学の統一は、エアランゲン計画と呼ばれている。^{[ 2 ]}

角度の一般理論は、不変な面積の尺度と統一することができる。双曲線角は面積で定義され、自然対数に関連付けられた面積と非常によく似ている。円角も、半径が 2 の平方根に等しい円を参照する場合、面積の解釈を持つ。これらの面積は、それぞれ双曲線回転と円回転に関して不変である。これらのアフィン変換は、特殊線形群SL(2,R)の要素によって実行される。この群を調べると、傾斜を増減させるが傾斜の差は変化しないせん断写像が明らかになる。傾斜の差に依存する面積として解釈される 3 番目のタイプの角度は、せん断写像の面積保存のため不変である。^{[ 3 ]}

20世紀初頭、数学の多くの分野は、有用な公理系を明確にし、その帰結を研究することによって扱われるようになった。例えば、四元数協会が研究対象とした「超複素数」の研究は、環論（この場合は結合代数という特定の意味において）の一分野として公理的基盤の上に置かれた。このような文脈において、商環の概念は最も強力な統一概念の一つである。

これは方法論の根本的な変化であった。それまでは、応用上のニーズから、数学の多くはアルゴリズム（あるいはアルゴリズムに近いプロセス）を用いて教えられていたからである。算術は今でもそのように教えられている。これは、数学の独立した分野として数理論理学が発展したのと並行する動きであった。1930年代までには、記号論理学自体が数学の中に適切に組み込まれるようになった。

ほとんどの場合、研究対象となる数学的対象は、（必ずしも正統的な定義ではないにせよ）集合として、あるいはより非公式には、加算演算などの付加的な構造を持つ集合として定義できる。集合論は現在、数学的テーマを展開するための共通語として機能している。

圏論は、20世紀後半に最初に開発された数学の統一理論です。^{[ 4 ]}この点において、圏論は集合論の代替であり補完です。「圏論的」な観点からの重要なテーマは、数学には特定の種類の対象（リー群、バナッハ空間など）だけでなく、それらの構造を保存する写像も必要であるということです。

特に、これは数学的対象が同じであるとみなされることの意味を正確に明確にする。（例えば、すべての正三角形は同じなのか、それとも大きさが重要なのか？）サンダース・マック・レーンは、十分な「遍在性」（数学のさまざまな分野に現れる）を持つ概念は、それ自体で分離して研究する価値があると提唱した。圏論は、おそらく他の現在のアプローチよりもその目的に適している。いわゆる抽象的なナンセンスに頼ることの欠点は、具体的な問題という根源から離れるという意味でのある種の味気なさと抽象化である。それにもかかわらず、圏論の方法は、多くの分野（D加群から圏論的論理まで）で着実に受け入れられるようになってきた。

より小規模なレベルでは、数学の2つの異なる分野における一連の結果の類似性は、それらの類似性を説明できる統一的な枠組みが存在するかどうかという疑問を提起します。解析幾何学の例については既に述べましたが、より一般的には、代数幾何学の分野では、幾何学的対象（代数多様体、より一般的にはスキーム）と代数的対象（イデアル）との間の関係が徹底的に展開されています。ここでの試金石となる結果はヒルベルトのヌルシュテレンザッツであり、これは大まかに言えば、2種類の対象の間には自然な1対1の対応関係があることを示しています。

他の定理も同様に捉えることができる。例えば、ガロア理論の基本定理は、体の拡大と、その体のガロア群の部分群との間に一対一の対応関係があることを主張している。楕円曲線に関する谷山・志村予想（現在は証明済み）は、モジュラー形式として定義される曲線と、有理数上で定義される楕円曲線との間に一対一の対応関係を確立している。時に「怪物ムーンシャイン」と呼ばれる研究分野は、モジュラー形式と「モンスター」として知られる有限単純群との間の関連性を発展させたが、これは、両者において、かなり珍しい数である196884が非常に自然に現れるという驚くべき観察から始まった。ラングランズ・プログラムとして知られる別の分野も同様に、一見偶然に見える類似点（この場合は、数論的結果と特定の群の表現との間の類似点）から始まり、両方の結果が系となるような構成を探している。

これらの理論の簡単なリストには、以下のようなものが含まれるだろう。

よく知られた例として、現在ではモジュラリティ定理として知られる谷山・志村予想がある。この予想は、有理数上の各楕円曲線は、（関連するL関数を保存するような形で）モジュラー形式に変換できると提唱した。厳密な意味で同型と同一視することは困難である。この予想が定式化される前（1955年頃）から、ある種の曲線は（種数1の）楕円曲線であり、かつモジュラー曲線でもあることが知られていた。この予想の驚くべき点は、種数>1のモジュラー曲線のヤコビアン因子への拡張である。この予想が提唱される前は、そのような有理因子が「十分」存在するとは考えられなかっただろう。実際、1970年頃まで数値的な証拠は乏しく、その頃に表によって確認され始めた。複素乗法を用いた楕円曲線の場合については、志村氏が1964年に証明した。この予想は、一般に証明されるまで数十年間、未解決のままだった。

実際、ラングランズ・プログラム（あるいは哲学）は、統一的な予想の網のようなもので、ロバート・ラングランズが導入したL群によって保型形式の一般理論が規定されていると実際に仮定している。L群に関する彼の関数性原理は、保型形式の既知のリフティング（現在では保型表現としてより広く研究されている）に関して非常に大きな説明力を持っている。この理論はある意味で谷山・志村予想と密接に関連しているが、実際にはこの予想は逆方向に作用すると理解すべきである。それは、（非常に抽象的に言えば）動機のカテゴリーに属する対象から始まる保型形式の存在を必要とする。

もう一つ重要な関連点は、ラングランズのアプローチが、奇怪な月光（楕円モジュラー関数とフーリエ級数との関連性、モンスター群やその他の散在群の群表現との関連性）によって引き起こされた一連の発展とは一線を画しているということである。ラングランズの哲学は、この研究の流れを予見することも、包含することもできなかった。

もう一つの事例は、今のところあまり発展していないものの、数学の幅広い領域を網羅しているK理論の一部の予想的基礎である。現在では長年の問題となっているバウム・コンヌ予想に加えて、 K理論における同型予想として知られるグループに属する他の予想も存在する。これらには、ファレル・ジョーンズ予想やボスト予想などが含まれる。

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