数字を使わない科学

『数なき科学：名目論の擁護』は、ハートリー・フィールドによる1980年の数学哲学に関する著書である。本書の中で、フィールドは数などの数学的対象は存在しないとする名目論を擁護している。本書は、数学的対象の存在を主張する「不可欠性論証」と呼ばれる議論への反論として広く書かれた。この論証によれば、数学は科学にとって不可欠であるため、数学的対象の存在を信じることは正当化される。本書の主な目的は、数学的実体への言及を排除した科学の技術的な再構築を行い、それによって数学が科学にとって不可欠ではないことを示すことである。

ヒルベルトの幾何学の公理化（数値的な距離を避け、原始的な幾何学的関係を重視する）をモデルに、フィールドは数値を参照することなくニュートンの万有引力の理論を再定式化する手法を示した。フィールドの哲学的プログラムによれば、数学は真実だからではなく、有用だから科学で用いられる。彼はこの見解を、数学は保守的であるという考えで裏付けている。つまり、数学は理論の物理的側面によって既に示唆されている事実以外に、いかなる物理的事実も導き出すために用いることはできないということである。さらに彼は、自身の名目論的再定式化における命題は、体系的に数学的命題と関連付けることができることを証明し、それが数学を用いて科学的理論から物理的事実を正当に導き出す方法を説明すると考えている。

『数なき科学』は出版されるやいなや大きな影響力を持ち、数学哲学において多くの議論を巻き起こした。議論の的となったのは、フィールドによるニュートン重力理論の再定式化が、元の数学理論に代わる魅力的な選択肢であるかどうか、また、時空点のような幾何学的対象への依存が許容できるかどうかといった点であった。さらに、保存性の定義や、フィールドによるメタ論理および二階述語論理の使用に関する技術的な問題も提起された。本書の出版後、他の哲学者たちは、フィールドの理論を量子力学や一般相対性理論といった分野にまで拡張しようと試みた。

『数なき科学』は、ポール・ベナセラフによる数々の影響力のある論文、特に1973年の論文「数学的真理」を受けて、数学哲学への関心が再び高まった時期に登場した。ベナセラフはその論文の中で、数や集合といった非物理的な数学的対象の存在が、科学的に受け入れられる認識論とどのように調和するのかは不明であると主張した。^{[ 1 ]}この主張は、フィールドが『数なき科学』を執筆する動機の一つであり、彼は自然主義的な世界観と両立する数学の説明を提供することを目指した。 ^{[ 2 ]}

本書の主な目的は、数学的対象は存在しないとする唯名論を擁護し、数学的対象は存在するとするプラトン主義の動機を弱体化させることであった。フィールドは、プラトン主義の唯一の有効な論拠は、数学が科学に不可欠であるという理由で数学的対象の存在を主張するクワイン＝パトナムの不可欠性論拠であると信じていた。本書の重要な動機は、数学が実際には科学に不可欠ではないことを示すことで、この論拠を弱体化させることであった。^{[ 3 ] [ a ]}

名目論の魅力とは別に、フィールドは「外部の存在を持ち出すことなく、システムの固有の特徴に基づいて」科学的説明を定式化したいという願望に駆られていた。^{[ 4 ]}フィールドにとって、数は物理システムの挙動に因果関係がないため、物理学にとって外部的なものである。彼は、科学における説明を構築する際には、物理​​的対象や時空など、物理理論に固有のものを優先すべきだと主張した。^{[ 5 ]}

フィールドによれば、彼は1978年から79年の冬にこの本の執筆に取りかかり、当初は長編の学術論文を書くつもりだった。しかし、執筆の過程で、学術誌に掲載するには長くなりすぎた。^{[ 6 ]}初版は1980年にプリンストン大学出版局から出版され、2016年にはオックスフォード大学出版局から、本文に最小限の変更と新しい序文を加えた第2版が出版された。 ^{[ 7 ]}

『数値のない科学』は、フィールドが本書の目的を明確にする予備的な発言から始まる。^{[ 8 ]}彼は、主にプラトン主義の最も強力な論拠、特に不可欠性論拠から名目論を擁護することに関心があり、自身の見解を積極的に主張することにはあまり重点を置いていないと概説している。^{[ 9 ]}彼は、擁護しようとしている名目論の形式である虚構主義を、当時数学の哲学でより一般的だった他のタイプの名目論と区別している。当時一般的だった名目論の形式は、数学的命題を数学的対象に関するものではないように再解釈することを目的としていた点で修正主義的であった。対照的に、フィールドの虚構主義は、数学が数学的対象の存在を前提としていることは認めつつも、数学は単に真実ではないと主張する。^{[ 10 ]}

フィールドは数学の道具主義的説明を採用し、数学は有用であるために真実である必要はないと主張する。フィールドは、電子やクォークのような理論的実体とは異なり、数学的対象は理論が何か新しいことを予測することを可能にするものではないと主張する。むしろ、科学における数学の役割は、他の経験的主張から経験的結論を導き出すのを助けることだけであり、これは理論的には数学を全く使わなくても起こり得る。^{[ 11 ]}フィールドは、数学は保守的であるという考えを用いて、この道具主義的考えをより技術的に詳細に展開する。^{[ 12 ]}これは、名目論的命題が数学を用いて科学理論から導き出せる場合、数学を用いなくても導き出せることを意味する。^{[ 13 ]}したがって、理論の予測の成功は、数学を除いた科学の名目論的部分の真実性によって完全に説明できる。^{[ 14 ]}

フィールドは、数学の保守性に着目し、科学において数学が用いられることが許容される理由を説明している。さらに、数学の有用性は、経験的結論の導出を簡略化することにあると主張している。^{[ 15 ]}例えば、基本的な算術は一階述語論理で非数値的に再現できるが、それによって生じる導出ははるかに冗長である。^{[ b ]}フィールドは、名目論的命題と数学的命題を結びつける橋渡し法則を用いることで、数学がこれらの導出を省略できることを示しており、名目論的理論に戻る前に、数学内で効率的に導出を進めることができる。^{[ 16 ]}

フィールドの物理学の再定式化は、ヒルベルトの幾何学の公理化に基づいており、数値的な距離は、時空点間の関係（中間性や合同性など）に置き換えられています。ヒルベルトは、時空点間のこれらの関係が数値的な距離関係と同型であることを示す表現定理を証明しました。 ^{[ 17 ]}この表現定理の概念は、フィールドのアプローチにおける橋渡し法則として機能し、数学的推論を厳密に構造を維持する形で名目上の対応物と関連付けることを可能にします。^{[ 18 ]}

ヒルベルトの幾何学の扱いに加えて、フィールドの再定式化では、温度や重力ポテンシャルなどのスカラー物理量を名目化するために、測定理論から同様のアイデアを取り入れています。フィールドは、物理学におけるスカラー場のさまざまな特徴を復元するために、関係概念（温度の中間性や温度の一致など）を再び使用しています。^{[ 19 ]}本書の前のセクションのアイデアを拡張して、フィールドは連続性、積、微分、勾配、ラプラシアン、ベクトル解析の概念の名目論的バージョンを作成します。^{[ 20 ]}これらの名目論的再構成を使用して、フィールドはニュートン重力の場の方程式（ポアソン方程式）とその運動方程式の両方を再定式化する方法を示しています。^{[ 21 ]} 『数字のない科学』は、技術的な内容に加えて、フィールドのアプローチの哲学的妥当性についての議論も含んでおり、内在的説明の利点や、時空点と二階述語論理の多用に伴う課題などについても論じている。^{[ 22 ]}

『数なき科学』は初期の書評で、数学の哲学に対する重要かつ斬新な貢献として評された。^{[ 58 ]}応用数学に焦点を当てた点は重要な発展として歓迎され^{[ 59 ]}、その技術的な成果はそれ自体が哲学的にも非常に興味深い印象的な業績と見なされた。^{[ 60 ]}それにもかかわらず、書評では、フィールドの著作は科学の完全な名目化への第一歩であり、さらなる研究が必要であると指摘された。これには、他の科学理論への拡張と、関連する哲学的問題へのより深い焦点化の両方が含まれる。^{[ 61 ]}一部の書評家は、この本は技術的には印象的であるものの、そもそも名目主義を追求するのに十分な哲学的動機付けを提供していないと感じた。^{[ 62 ]}

フィールドの議論は概して詳細かつ説得力があると称賛され、^{[ 63 ]}デイヴィッド・マラメントは「簡潔で明快な文章」を称賛した。^{[ 64 ]}プレゼンテーションのスタイルは一部で専門的であり、使用されているアプローチに関する専門知識を持たない人には理解しにくいと感じた人もいたが、^{[ 65 ]}バーナード・リンスキーは、数学の哲学に関心のある人には十分に理解できると述べた。^{[ 66 ]}ケネス・マンダースは、本書の初期のセクションで使用されている一階述語論理から、完全な名詞化の中で二階述語論理に突然移行するのは違和感があると感じた。^{[ 67 ]}フィールドは第2版で、これは最初の数章を執筆していたときに「一階述語論理を超えることへの圧力を十分に理解していなかった」ためだと説明した。^{[ 68 ]}

『数値なき科学』は、バス・ファン・フラーセンの『科学的イメージ』と共同で、ロンドン・スクール・オブ・エコノミクスが「科学哲学への傑出した貢献」に対して授与する1986年のラカトシュ賞を受賞した。^{[ 69 ]}これら2つの出版物は、それまで不人気だったフィクショナリズムを現代哲学における実行可能な哲学的立場として出現させた功績があるとされている。 ^{[ 70 ]}『数値なき科学』は、 1980年代から1990年代にかけて名目論に関する議論を支配した。^{[ 71 ]}ジョン・P・バージェスとギデオン・ローゼンによれば、フィールドの著作は非常に影響力があり、「名目論の問題が現代において重要視されるようになった功績（あるいは責任）を帰するならば、フィールドはクワイン、グッドマン、ベナセラフ、パトナムの次に必ず名前を挙げなければならない」という。^{[ 72 ]}

2016年にオックスフォード大学出版局から第2版が出版された際、ステファン・ブイスマンは『数なき科学』を「紛れもなく古典的名著」であり、「哲学界に波紋を巻き起こし、その影響は今もなお続いている」と評した。^{[ 73 ]}ブイスマンは、第2版に新たに加えられた序文を高く評価し、フィールドが当初本書を執筆した動機や、出版以来の見解の変化を明らかにしている点を称賛した。^{[ 8 ]}この意見はジェフリー・ヘルマンとメアリー・レングも同調している。^{[ 56 ]}第2版には、不可欠性論証の提唱者であるWV・クワインが1980年にフィールドに送った手紙も収録されており、クワインは本書を「印象的な作品：合理的で、独創的で、博識であり、哲学的に極めて重要な作品」と評している。^{[ 74 ]}

「数字なき科学、40年後」と題されたワークショップは、当初アメリカ哲学会のシンポジウムセッションとして予定されていたが、COVID-19パンデミックのため2020年11月にリモートで開催された。ワークショップのウェブサイトには、この本が「数学の哲学において最も影響力のある著作の1つになった」とあり、その影響は哲学の他のいくつかの分野にも及んでいると書かれている。^{[ 75 ]}フィールドの技術的な成果、例えばニュートン重力理論の名目化や対応する表現定理などは、重要な業績として見なされ続けている。しかし、21世紀までに、フィールドのプロジェクトは、特に彼のアプローチを現代の物理理論に拡張する際の問題のために、成功裏に遂行されなかったというコンセンサスが形成された。^{[ 76 ]}不可欠性論に対する反論として、その有効性は依然として議論の的となっている。^{[ 77 ]}

• インターネットアーカイブにある『数値のない科学』（第1版）
• 『数値を使わない科学』（第2版）オックスフォード・アカデミック