数学主義

数学主義とは、「数学の形式的構造と厳密な方法を哲学の実践のモデルとして採用する努力」^[1]、または現実は根本的に数学的であるという認識論的見解である。^{[2]この用語は、}ピタゴラス^[3]やルネ・デカルト^[4]を含む多くの哲学者に適用されてきたが、彼ら自身はこの用語を使用していなかった。

西洋哲学における数学の役割は、ピタゴラス以降、成長し、拡大してきました。ピタゴラス学派にとって数字が特に重要であったことは明らかですが、現代の哲学者から数学主義というレッテルを貼られるようになったのは、プラトンの後期の著作によるものです。さらに、ルネ・デカルトが初めて数学的認識論を提示し、それを「普遍的数学」と表現し、数学主義とも呼ばれています。

ピタゴラス本人の著作は残っていないが、彼が数学主義の概念を開拓したという証拠はプラトンによって示されており、彼の言葉としてよく引用される「すべては数学である」という言葉に要約されている。アリストテレスはピタゴラス学派について次のように述べている。

数学に身を捧げ、それを発展させた最初の人々は、いわゆるピタゴラス派の人々でした。この研究に身を捧げた彼らは、数学の原理は存在するすべてのものの原理でもあると信じていました。さて、数学の原理は数であり、彼らは、火や土や水よりも、数の中に存在するものや将来起こるものとの類似点を見出すと考えました（例えば、正義は数の特別な性質であり、魂と精神は別のものであり、機会は別のものであり、そして同様に、他のすべてのものも同様であると判断しました）。さらに、彼らは数によって調和の特性と比率が表現されているのを見て、最終的に自然界のすべてが数に似ているように見え、数が自然界にあるすべてのものの中で最初のものであるように見えたので、彼らは数の要素が存在するすべてのものの要素であり、世界全体が調和と数であると考えました。そして、彼らは数と音楽の和音の中に見出すことができるすべての特性、つまり天空の特性と部分、そして一般的には宇宙の秩序全体に対応する特性を集め、それに適応しました。そして、何かが欠けているなら、彼らはそれを導入して、自分たちの論説を完全なものにしようと努力した。例を挙げて説明すると、10 は完全な数であり、それ自体に数の本質全体を含んでいるように思われるので、彼らは空を動く物体も 10 個であると言った。そして、人は 9 個しか見ることができないので、10 番目として反地球を加えた。

— 形而上学A 5. 985 b 23

ピタゴラスとその学派の見解のさらなる証拠は、断片的で時には矛盾しているものの、アレクサンダー・ポリヒストルから得られます。アレクサンダーは、ピタゴラス学派の中心的な教義は数の調和と、数学の世界が物理世界よりも優先される、または物理世界の存在を説明できるという理想であったと語っています。^[5]

アリストテレスによれば、ピタゴラス学派は数学を実用性のない神秘的な理由のためだけに使用していた。^[6]彼らは万物は数でできていると信じていた。^{[7] [8]} 1という数字（モナド）は万物の起源を表し^{[9]他の数字も同様に象徴的な表現を持っていた。しかし現代の学者たちは、この数秘術がピタゴラス自身によって教えられたのか、それともピタゴラス学派の後の哲学者で}あるクロトンのフィロラオスが独自に考案したものなのか議論している。^[10]

ウォルター・バーカートは、著書『古代ピタゴラス学派の伝承と科学』の中で、ピタゴラス学派が実際に取り組んだ数学は単純で証明のいらない 算術だけであったと主張している^[11]が、これらの算術上の発見は数学の始まりに大きく貢献した^{[12] 。}

ピタゴラス学派はプラトンの著作に影響を与えた。数学的プラトン主義は、(a) 我々から独立して存在する抽象的な数学的対象があり、(b) そのような対象を真に記述する真の数学的文があるという形而上学的見解である。数学的対象の独立性は、それらが非物理的であり、空間や時間内に存在しないというものである。また、それらの存在は思考や言語に依存しない。このため、数学的証明は発明されるのではなく発見される。証明は発見される前から存在しており、それを発見した者に知られるようになっただけである。^[13]

したがって、要約すると、数学的プラトン主義は次の 3 つの命題に要約できます。

• 存在: 数学的なオブジェクトが存在します。
• 抽象性: 数学的な対象は抽象的です。
• 独立性: 数学的オブジェクトは、インテリジェントエージェントとその言語、思考、実践から独立しています。

プラトン自身がこれらの見解をどの程度支持していたかは明らかではないが、プラトン主義学派と関連していた。それでも、これは数学の考え方における重要な進歩であった。^[13]

マルクス・ガブリエルは著書『感覚の領域：新たな実在論的存在論』の中でプラトンに言及し、その中で数学主義の定義を与えている。彼はこう述べている。

結局のところ、集合論的存在論はプラトン数学主義の名残である。数学主義とは、存在するすべてのものは直接的または間接的に数学的に研究できるという見解を指す。これは理論還元の一例であり、すべての語彙は数学の語彙に翻訳でき、この還元によって派生語彙がすべて基礎づけられ、理解が大幅に深まるという主張である。^[14]

しかしながら、彼は続けて、この用語は彼が問題視している集合論的存在論にのみ適用される必要はなく、他の数学的存在論にも適用される必要があることを示しています。

集合論的存在論は数学主義の一例に過ぎません。定量化可能な構造の最も基本的な理論としてどの理論を好むかによって、グラフ理論的な数学主義、集合論的、カテゴリー理論的な数学主義、あるいはその他の（おそらくはハイブリッドな）数学主義の形に行き着くでしょう。しかし、数学主義は形而上学であり、形而上学は存在論と関連している必要はありません。^[14]

ピタゴラス以来、意味を確立し世界を分析するために数学的な調査方法が使用されてきたが、認識論としてこの主題を開拓し、 『心の方向付けの規則』を定めたのはデカルトであった。彼は、直感ではなく方法が心を導くべきであると提唱し、次のように述べている。

人間はあまりにも盲目的な好奇心にとらわれているため、探しているものに偶然出会えるかもしれないという根拠のない希望を抱いて、未踏の道に心を向けてしまうことがよくあります。それは、宝物を見つけたいという無意味な欲望にとりつかれた人が、通りすがりの人が落とした宝物を見つけられないかと絶えず街を歩き回っているようなものです [...] 「方法」とは、簡単に適用できる信頼できる規則のことです。その規則に厳密に従えば、偽りを真実だと思い込んだり、無駄に精神的な努力を費やしたりすることはなく、徐々に知識を増やしていき、自分の能力の範囲内ですべてについて真の理解に到達するでしょう。

— ルネ・デカルト『精神の方向に関する規則』ジョン・コッティンガム訳^[15]

第四の規則 の議論の中で、^{[16]デカルトは彼が}「普遍的数学」と呼ぶものを説明しています。

ルール4

物事の真実を調査するには方法が必要です。

[...] 私は、数学という用語が一般的に何を意味するのか、また、算術や幾何学に加えて、天文学、音楽、光学、力学などの科学が数学の分野と呼ばれるのはなぜか、という問いから調査を始めました。 [...] これにより、主題に関係なく、秩序と測定に関して提起できるすべての点を説明する一般的な科学が存在するはずであり、この科学は、他の科学が数学の分野と呼ばれる資格を持つすべてのものを網羅する、定評のある用語である 「マテシス・ユニバーサリス」と呼ばれるべきであることがわかりました。 [...]

— ルネ・デカルト『精神の方向に関する規則』ジョン・コッティンガム訳^[17]

デカルトにとって、普遍的数学の概念は、数学をモデルにした普遍的な科学であった。著述家がデカルトの数学的観念について語るとき、言及されるのはこの普遍的数学である。^{[4]デカルトに続いて、ライプニッツは、1695年に出版された「}普遍的数学」と題された未完の論文の中で、数理論理学、代数、微積分学、組合せ論、普遍的特徴の間のつながりを導き出そうとした。 ^[要出典]ライプニッツに続いて、ベネディクト・デ・スピノザ、そしてバートランド・ラッセル、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタイン、ルドルフ・カルナップを含む様々な20世紀の哲学者が、数理論理学、統語体系、それらの計算に関するライプニッツの研究を詳述・発展させ、形而上学の分野の問題を解決しようと試みた。

ライプニッツは、1695 年に 「普遍数学」と題する未完の論文の中で、数理論理学、代数学、微分積分学、組合せ論、普遍特性の間の可能なつながりを解明しようと試みました。

ライプニッツは、普遍性数学の説明の中で、真実を確認するための普遍的統合と分析の二重方法を提案しました。これは、 『普遍的統合と分析』 (1890 年)に記載されています。^{[18] [19]}

普遍的数学 の考え方に対するおそらく最も著名な批評家の一人は、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインと彼の数学哲学でした。^[20]人類学者エミリー・マーティンは次のように述べています。^[21]

ウィトゲンシュタインは、象徴的な生活の領域の中で、社会規範に左右されるものとして捉えるのがおそらく最も難しい数学に取り組み、数字が従来の社会的理解に基づいているという考えは「耐え難い」ものだと人々は感じているとコメントした。

『プリンキピア・マテマティカ』は、数学者アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによって書かれ、1910年、1912年、1913年に出版された、数学の基礎に関する3巻からなる著作です。序文によると、この著作には3つの目的がありました。

1. 数学的論理の考え方と方法を可能な限り分析し、基本的な概念、公理、推論規則の数を最小限に抑える。
2. 正確な表現が許す最も便利な表記法を使用して、記号論理における数学的命題を正確に表現すること。
3. ラッセルのパラドックスのような、20世紀初頭の論理学と集合論を悩ませたパラドックスを解決すること。^[22]

『プリンキピア・マテマティカ』が数学と哲学の歴史において非常に重要な著作であることに疑いの余地はない。アーヴァインが指摘しているように、この本は記号論理学への関心をかき立て、それを普及させることでこの分野を前進させ、記号論理学の威力と可能性を示し、数学の哲学と記号論理学の進歩がいかにして非常に大きな実りを伴って手を取り合うことができるかを示した。^[23]実際、この本は部分的には論理主義、すなわちすべての数学的真理は論理的真理であるという見解への関心によってもたらされた。『プリンキピア・マテマティカ』の進歩のおかげで、その欠陥にもかかわらず、ゲーデルの不完全性定理を含むメタ論理学の数多くの進歩が達成されたのである。

ミシェル・フーコーは『事物の秩序』の中で、マテシスを単純な性質と代数の秩序における接続点として論じており、これは彼のタクシノミアの概念と並行している。フーコーは普遍性への明確な言及を省略しているが、彼の本の完全なタイトル「事物の秩序：人文科学の考古学」からも明らかなように、フーコーはこの用語を人文科学のすべてを組織化し解釈するために使用している。^[24]

ティム・モードリンの数学的宇宙仮説は、「物理学に自然に適合する基本的な用語を使用して厳密な数学的構造」を構築しようとし^[要出典]、数学がなぜ物理世界を記述するための強力な言語を提供するのかを調査している。^[25]モードリンによると、「このような質問に対する最も満足のいく答えは、物理世界が文字通り数学的構造を持っているからである」という。

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• ウィキメディア・コモンズにおける数学主義に関連するメディア
• ラウル・コラゾンのオントロジーウェブページ: 参考文献付きの Mathesis Universalis

• 「数学主義」ブリタニカ。
• 「数学主義」。コリンズ辞書。
• 「数学主義」。オックスフォード・リビング・ディクショナリー。2018年1月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。