数学の定義

数学には一般的に受け入れられている定義はありません。特に哲学においては、さまざまな学派が根本的に異なる定義を提唱してきました。それらはすべて議論の的となっています。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

初期の定義

量の科学。

アリストテレスの諸学問の分類では、離散的な量は算術によって、連続的な量は幾何学によって研究された。 [ 4 ]^{アリストテレスはまた}、量だけでは数学を物理学のような諸学問と区別することはできないと考えていた。彼の見解では、抽象化と、量を現実の事例から「思考上分離可能な」性質として研究することが、数学を区別する点である。^{[ 5 ]}

オーギュスト・コントの定義は、他のすべての分野の現象を調整する上での数学の役割を説明しようとしたものでした。^{[ 6 ]}

間接測定の科学。^{[ 3 ]}オーギュスト・コント1851

コントの定義における「間接性」とは、惑星までの距離や原子の大きさなど、直接測定できない量を、直接測定できる量との関係によって決定することを指す。^{[ 7 ]}

より高度な抽象化と競合する哲学学派

アリストテレスの時代から普及していた前述の定義^{[ 4 ]}は、 19世紀に群論、射影幾何学^[³^]、非ユークリッド幾何学 [ 8 ^]^など^、測定や物理世界とは明らかな関係のない新しい数学の分野が発展するにつれて放棄されました。

今日、数学の定義には論理主義、直観主義、形式主義の3つの主要なタイプがあり、それぞれが異なる数学の哲学を反映している。それぞれに欠点があり、主流の合意は得られておらず、3つすべてが相容れないように見える。^{[ 9 ]}

論理主義

数学者たちがより厳密で抽象的な基礎を追求するにつれ、数学を純粋に演繹と論理の観点から定義することを提案する者も現れた。

数学とは、必要な結論を導き出す科学である。^{[ 10 ]}ベンジャミン・パース1870

すべての数学は記号論理学である。^{[ 8 ]}バートランド・ラッセル1903年

パースは、数学は仮説的な主張のみを行い、定言的な主張は行わないと考えていたため、数学は論理学と同じではないと考えていた。^{[ 11 ]}一方、ラッセルの定義は、論理主義者の見解を留保なく表現している。^{[ 9 ]}

直観主義

直観主義は、数学を演繹的論理によって特徴づけるのではなく、主に心の中でのアイデアの構築に関するものと捉えている。^{[ 9 ]}

数学の唯一可能な基礎は、直観が許容する構成と許容しない構成を注意深く見守る義務の下で、この構成の中に求められなければならない。^{[ 12 ]} LEJ Brouwer 1907

直観主義数学とは、知性が自己展開において到達しうる極限を探求することに他ならない。^{[ 12 ]}アーレント・ヘイティング1968

直観主義は数学者LEJブラウワーの哲学から生まれ、修正された直観主義論理の発展にもつながった。その結果、直観主義は、首尾一貫していて妥当ではあるものの、古典論理に基づいたいくつかの定理とは異なる、真に異なる結果を生み出した。^{[ 9 ]}

形式主義

形式主義は論理的または直観的な意味を完全に否定し、記号と規則そのものを研究対象とする。^{[ 9 ]}形式主義の定義：

数学は形式体系の科学である。^{[ 13 ]}ハスケル・カリー1951

その他の見解

さらに、パターン、秩序、構造を重視する定義もあります。例えば、

数学とは、あらゆる可能なパターンを分類し研究することである。^{[ 14 ]}ウォルター・ワーウィック・ソーヤー、1955年

また別のアプローチでは、抽象化を決定的な基準とする。

数学は、理想化された対象の性質や相互作用を研究する幅広い分野である。^{[ 15 ]}

現代の一般向け参考書

現代の参考書のほとんどは、数学の主要なトピックと方法を要約することによって数学を定義している。

空間的および数的関係の基本的な概念に内在する結論を演繹的に研究する抽象科学であり、その主要な区分として幾何学、算術、代数学を含む。^{[ 16 ]}オックスフォード英語辞典、1933年

数と記号を用いて、量と集合の測定、性質、および関係を研究すること。^{[ 17 ]}アメリカン・ヘリテージ辞典、2000年

構造、秩序、関係性を研究する科学であり、物体の形状を数えたり、測定したり、記述したりといった基本的な実践から発展したものである。^{[ 18 ]}ブリタニカ百科事典、2006年

遊び心があり、比喩的で、詩的な定義

バートランド・ラッセルは、数学におけるすべての用語は、究極的には未定義の用語を参照することによって定義されるという、有名な皮肉めいた定義を記した。

私たちが何を話しているのか、また言っていることが真実なのかどうかも決してわからない主題。^{[ 19 ]}バートランド・ラッセル1901

数学を特徴づけようとする他の多くの試みは、ユーモアや詩的な散文を生み出してきた。

数学者とは、暗い部屋でそこにいない黒猫を探している盲人のようなものだ。 ^{[ 20 ]}チャールズ・ダーウィン^{[ 21 ]}

数学者は、画家や詩人と同じように、パターンを作り出す者である。もし数学者のパターンが彼らのパターンよりも永続的であるならば、それは数学者のパターンがアイデアによって作られているからである。^{[ 22 ]} GH ハーディ、1940年

数学とは、異なるものに同じ名前を与える技術である。^{[ 10 ]}アンリ・ポアンカレ

数学とは、まさにこの目的のために考案された概念と規則を用いた巧みな操作の科学である。[この目的とは巧みな操作である...] ^{[ 23 ]}ユージン・ウィグナー

数学は、表紙に収められ、真鍮の留め金で綴じられた本ではなく、その内容を根気強く探り出すだけで済むようなものでもありません。宝を手に入れるのに長い時間がかかるかもしれないが、限られた数の鉱脈と鉱床しか満たさない鉱山でもありません。連続する収穫によって肥沃さが枯渇する土壌でもありません。面積を地図に描き、輪郭を定めることができる大陸や海洋でもありません。数学は、その願望には狭すぎる空間のように無限であり、その可能性は、天文学者の視線に絶えず押し寄せ、増殖していく世界のように無限です。それは、あらゆるモナド、あらゆる物質の原子、あらゆる葉や芽の細胞の中に眠っているように見える生命の意識のように、定められた境界内に閉じ込められたり、永続的な妥当性を持つ定義に還元されたりすることは不可能であり、常に植物や動物の新たな形態へと爆発する準備ができているのです。^{[ 24 ]}ジェームズ・ジョセフ・シルベスター

数学とは何か？何のためにあるのか？現代の数学者は何をしているのか？数学はとっくに終わったのではないか？そもそも、一体いくつの新しい数字を発明できるというのか？今日の数学は、膨大な計算に過ぎず、数学者はまるで動物園の飼育係のように、貴重なコンピューターに餌と水をきちんと与えるだけの存在なのだろうか？もしそうでないなら、頭を雲に乗せ、象牙の塔の高層バルコニーから足をぶら下げた、超人的な頭脳を持つ者たちの理解不能な思考の奔流以外に、一体何があるというのだろうか？数学はこれらすべてであり、同時にどれでもない。ほとんどの場合、それはただ違うだけだ。あなたが期待するようなものではなく、ほんの一瞬目を離した隙に変わってしまう。それは決して固定された知識体系ではなく、その成長は新しい数字の発明にとどまらず、その隠れた触手は現代生活のあらゆる側面に浸透している。^{[ 24 ]}イアン・スチュワート

参考文献

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さらに読む

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