理論（数理論理学）

数理論理学では、理論（形式理論とも呼ばれる）は、形式言語で書かれた文の集合である。ほとんどの場合、演繹体系はまず文脈から理解され、その後、演繹的に閉じた理論の要素は理論の定理と呼ばれる。多くの演繹体系には通常、理論の「公理の集合」と呼ばれるサブセットがあり、その場合、演繹体系は「公理体系」とも呼ばれる。定義により、すべての公理は自動的に定理となる。一階理論は、一階文（定理）の集合であり、一階の公理の集合に体系の 推論規則を適用することで再帰的に得られる。${\displaystyle \phi \in T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Sigma \subseteq T}$${\displaystyle T}$

基礎的な目的で理論を定義する場合、通常の集合論的言語が適切でない可能性があるため、追加の注意を払う必要があります。

理論の構築は、明確で空でない概念クラス を指定することから始まります。そのクラスの要素はステートメントと呼ばれます。これらの最初のステートメントは、理論のプリミティブ要素または基本ステートメントと呼ばれることが多く、そこから派生する可能性のある他のステートメントと区別されます。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

理論とは、これらの基本ステートメントの一部で構成される概念クラスです。 に属する基本ステートメントはの基本定理と呼ばれ、真であると言われます。このように、理論は、真であるステートメントのみを含む のサブセットを指定する方法と見なすことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

理論を指定するこの一般的な方法は、その理論の基本文の真偽は、を参照しなければ分からないことを規定している。したがって、同じ基本文が、ある理論に関しては真であるが、別の理論に関しては偽である可能性がある。これは、日常言語において、「彼は正直者である」などの文が、「彼」が誰であるか、さらに言えば、この理論における「正直者」が何であるかを解釈しなければ真か偽かを判断することができない場合を彷彿とさせる。^[1]${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

が のサブセットである場合、理論はのサブ理論と呼ばれます。がのサブセットである場合、 は の拡張またはスーパー理論と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

が帰納的クラスである場合、つまり、その内容が何らかの形式的な演繹体系に基づいており、その基本的なステートメントのいくつかが公理としてとられている場合、理論は演繹理論であると言われています。演繹理論では、1つ以上の公理の論理的帰結である任意の文は、その理論の文でもあります。 ^[1]より正式には、がタルスキスタイルの結果関係である場合、 は の下で閉じており（したがって、その各定理はその公理の論理的帰結である）、理論の言語のすべての文に対して、 であれば である場合、かつその場合に限ります。または、同等に、が の有限部分集合である場合（有限に公理化可能な理論の場合はの公理の集合である可能性があります） 、 であり、したがって です。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \phi }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}'\vdash \phi }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$

統語的に一貫した理論とは、基礎となる言語のすべての文が証明できるわけではない理論である（通常は文脈から明らかな演繹システムに関して）。爆発の原理を満たす演繹システム（一階述語論理など）では、これは、理論から φ とその否定の両方が証明できるような文 φ が存在しないということを要求することと同等である。

満足可能な理論とは、モデルを持つ理論です。つまり、理論内のすべての文を満たす構造Mが存在するということです。満足可能な理論はどれも統語的に一貫しています。なぜなら、理論を満たす構造は、各文 φ に対して、 φ と φ の否定のどちらか 1 つを満たすからです。

矛盾のない理論は、時には統語的に矛盾のない理論として定義され、時には満足可能な理論として定義される。最も重要なケースである一階述語論理の場合、完全性定理から2つの意味が一致することがわかる。^[2]二階述語論理などの他の論理では、 ω矛盾理論など、満足可能ではない統語的に矛盾のない理論が存在します。

完全な無矛盾な理論（または単に完全な理論）は、その言語のすべての文 φ に対して、 φ が から証明可能であるか、または{φ} が無矛盾であるような無矛盾な理論です。論理的帰結の下で閉じた理論の場合、これはすべての文 φ に対して、 φ またはその否定が理論に含まれていることを意味します。^[3]不完全な理論は 、完全ではない無矛盾な理論です。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \cup }$

(一貫性のより強い概念については、 ω-無矛盾理論も参照してください。)

理論の解釈とは、理論の特定の基本文と主題に関連する特定の文との間に多対一の対応がある場合の、理論と何らかの主題との関係である。理論のすべての基本文に対応する文がある場合、それは完全解釈と呼ばれ、そうでない場合は部分解釈と呼ばれる。^[4]

各構造には、いくつかの関連する理論があります。構造Aの完全な理論は、Aのシグネチャ上の、 Aが満たすすべての1 階の文の集合です。これは Th( A )で表されます。より一般的には、 σ 構造のクラスであるKの理論は、 K内のすべての構造が満たすすべての 1 階の σ 文の集合であり、 Th( K )で表されます。明らかに、 Th( A ) = Th({ A }) です。これらの概念は、他の論理に関して定義することもできます。

各 σ 構造Aには、 Aの定義域の各要素に新しい定数記号を 1 つ追加することで σ を拡張する、より大きなシグネチャ σ' 内に複数の関連理論があります。(新しい定数記号が、それが表すAの要素と同一視される場合、 σ' は σ A と見なすことができます。) したがって、 σ' の基数は、 σ の基数とAの基数のうち大きい方になります。^{[さらに説明が必要]}${\displaystyle \cup }$

Aの図式は、Aが満たすすべての原子 σ' 文または否定原子 σ' 文から成り、 diag _Aで表されます。Aの正の図式は、 A が満たすすべての原子 σ' 文の集合です。 diag ⁺ _Aで表されます。Aの基本図式は、 Aが満たすすべての1 階 σ' 文の集合 eldiag _A 、または同等に、シグネチャ σ' への Aの自然な展開の完全な (1 階) 理論です。

第一階理論は、第一階の形式言語で書かれた文の集合です。 ${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

第一階論理には多くの形式的な導出（「証明」）体系があります。これらには、ヒルベルト式の演繹体系、自然演繹、シーケント計算、タブロー法、および解決法が含まれます。

式A が一 階理論の統語的帰結で あるとは、の式のみを非論理的公理として使用してAを導出できる場合です。このような式A はの定理とも呼ばれます。表記「」は、 Aが の定理であることを示します。 ${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}\vdash A}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$

一階理論の解釈は、理論の公式の意味論を提供します。解釈に従って公式が真である場合、解釈は公式を満たすと言われます。一階理論のモデルは、のすべての公式が満たされる 解釈です。${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$

一次理論は、恒等関係記号「=」と、この記号に対する反射性および置換公理スキームを含む 場合、恒等関係を持つ一次理論です。${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$

• コンパクト性定理
• 一貫性のあるセット
• 演繹定理
• 列挙定理
• リンデンバウムの補題
• レーヴェンハイム・スコーレムの定理

理論を指定する方法の 1 つは、特定の言語で公理のセットを定義することです。理論には、必要に応じて、それらの公理だけ、またはその論理的または証明可能な結果が含まれるようにすることができます。この方法で得られた理論には、ZFCやペアノ算術などがあります。

理論を特定する 2 つ目の方法は、構造から始めて、その構造が満たす文の集合を理論とすることです。これは、意味論的ルートを通じて完全な理論を作成するための方法であり、その例としては、構造 ( N , +, ×, 0, 1, =) のもとでの真の文の集合 (ここでNは自然数の集合) や、構造 ( R , +, ×, 0, 1, =)のもとでの真の文の集合 (ここでRは実数の集合) などがあります。これらの最初のものは、真の算術の理論と呼ばれ、任意の可算な公理の集合の論理的帰結の集合として記述することはできません。 ( R , +, ×, 0, 1, =) の理論は、タルスキによって決定可能であることが示されました。これは、実閉体の理論です(詳細については、「実数の 1 階理論の決定可能性」を参照してください)。

• 公理システム
• 解釈可能性
• 第一階理論のリスト
• 数学理論

• ホッジス、ウィルフリッド（1997）。短縮モデル理論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-58713-1。