Rule of inference

Rules of inference are ways of deriving conclusions from premises. They are integral parts of formal logic, serving as the logical structure of valid arguments. If an argument with true premises follows a rule of inference then the conclusion cannot be false. Modus ponens, an influential rule of inference, connects two premises of the form "if ${\displaystyle P}$ then ${\displaystyle Q}$" and "${\displaystyle P}$" to the conclusion "${\displaystyle Q}$", as in the argument "If it rains, then the ground is wet. It rains. Therefore, the ground is wet." There are many other rules of inference for different patterns of valid arguments, such as modus tollens, disjunctive syllogism, constructive dilemma, and existential generalization.

Rules of inference include rules of implication, which operate only in one direction from premises to conclusions, and rules of replacement, which state that two expressions are equivalent and can be freely swapped. They contrast with formal fallacies—invalid argument forms involving logical errors.

Logicians construct formal systems to precisely capture and codify valid patterns of reasoning, with distinct systems using different rules of inference. For example, propositional logic examines how statements formed through logical operators like "not" and "if...then..." support conclusions. First-order logic extends propositional logic by analyzing how the internal structure of propositions, like names and predicates, influences reasoning. Other logical systems explore inferential patterns associated with what is possible and necessary, with what people believe, and with what happened at different times. Various formalisms are used to express logical systems. Natural deduction systems employ many intuitive rules of inference to reflect how people naturally reason, while Hilbert systems provide minimalistic frameworks to represent foundational principles without redundancy.

Rules of inference are relevant to many areas, such as proofs in mathematics and automated reasoning in computer science. Their conceptual and psychological underpinnings are studied by philosophers of logic and cognitive psychologists.

A rule of inference is a way of drawing a conclusion from a set of premises.^[1] Also called inference rule and transformation rule,^[2] it is a norm of correct inferences that can be used to guide reasoning, justify conclusions, and criticize arguments. As part of deductive logic, rules of inference are argument forms that preserve the truth of the premises, meaning that the conclusion is always true if the premises are true.^[a] An inference is deductively valid if it follows a correct rule of inference. Whether this is the case depends only on the form or syntactic structure of the premises and the conclusion, that is, the actual content or concrete meaning of the statements does not affect validity. For instance, modus ponens is a rule of inference that connects two premises of the form "if ${\displaystyle P}$ then ${\displaystyle Q}$" and "${\displaystyle P}$" to the conclusion "${\displaystyle Q}$". The letters ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$ in this example and in later formulas are so-called metavariables: they stand for any simple or compound proposition.^[4] Any argument following modus ponens is valid, independent of the specific meanings of ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q}$, such as the argument "If it is day, then it is light. It is day. Therefore, it is light."^[5] In addition to 'modus ponens, there are many other rules of inference, such as modus tollens, disjunctive syllogism, and constructive dilemma.^[4]

There are different formats to represent rules of inference. A common approach is to use a new line for each premise and to separate the premises from the conclusion using a horizontal line. With this format, modus ponens is written as:^[6][b]$${\displaystyle {\begin{array}{l}P\to Q\\P\\\hline Q\end{array}}}$$

Some logicians employ the therefore sign (${\displaystyle \therefore }$) either together with or instead of the horizontal line to indicate where the conclusion begins.^[8] The sequent notation, a different approach, uses a single line in which the premises are separated by commas and connected to the conclusion with the turnstile symbol (${\displaystyle \vdash }$), as in ${\displaystyle P\to Q,P\vdash Q}$.^[9]

Rules of inference are part of logical systems and different systems employ distinct sets of rules. For example, universal instantiation^[c] is a rule of inference in the system of first-order logic but not in propositional logic.^[11] Rules of inference play a central role in proofs as explicit procedures for deriving new lines of a proof from preceding lines. Proofs involve a series of inferential steps and often use various rules of inference to establish the theorem they intend to demonstrate.^[12][d] Rules of inference are definitory rules—rules about which inferences are allowed. They contrast with strategic rules, which govern the inferential steps needed to prove a certain theorem from a specific set of premises. Mastering definitory rules by itself is not sufficient for effective reasoning since they provide little guidance on how to reach the intended conclusion.^[14][e] As standards or procedures governing the transformation of symbolic expressions, rules of inference are similar to mathematical functions taking premises as input and producing a conclusion as output. According to one interpretation, rules of inference are inherent in logical operators^[f] found in statements, making the meaning and function of these operators explicit without adding any additional information.^[17]

Logicians distinguish two types of rules of inference: rules of implication and rules of replacement.^[g] Rules of implication, like modus ponens, operate only in one direction, meaning that the conclusion can be deduced from the premises, but the premises cannot be deduced from the conclusion. Rules of replacement, by contrast, operate in both directions, stating that two expressions are equivalent and can be freely replaced with each other. In classical logic, for example, a proposition (${\displaystyle P}$) is equivalent to the negation^[h] of its negation (${\displaystyle \lnot \lnot P}$) ^{[ i ]}その結果、どちらの方向にも一方から他方を推論することができ、置換規則となる。他の置換規則には、ド・モルガンの法則や、連言と選言の交換法則と結合法則などがある。含意規則は完全な文にのみ適用されるが、置換規則は複合文のどの部分にも適用できる。^{[ 22 ]}

演繹的推論規則は、権威論証や類推論のように、結論の真偽を保証することなく、結論をある程度裏付ける推論パターンを記述する反駁可能な論証スキームとは異なります。ただし、「推論規則」という用語は、非演繹的な論証スキームを含めるために、より広い意味で使用されることがあります。^{[ 23 ]}同様に、この用語は、科学実験は再現可能であるべきという原則など、研究の一般的な基準を含むように、時折広く解釈されます。^{[ 24 ]}

形式的な推論規則に関する最初の議論の一つは、古代のアリストテレスの論理学に遡ります。彼の妥当な三段論法の説明は、中世および近世初期の哲学でさらに洗練されました。19 世紀の記号論理学の発展、例えばジョージ・ブールのブール代数の体系化は、古典的な命題論理および一階述語論理に属する多くの追加の推論規則の定式化につながりました。20 世紀および 21 世紀には、論理学者は代替の推論規則を持つさまざまな非古典的な論理体系を開発しました。 ^{[ 25 ]}

推論規則は、結論を支持する前提から構成される議論の構造を記述します。^{[ 26 ]}前提と結論は、何が真実であるかについての記述または命題です。たとえば、「ドアは開いている」という主張は、真または偽のいずれかである記述ですが、「ドアは開いていますか？」という質問や「ドアを開けてください！」という命令は記述ではなく、真偽値はありません。^{[ 27 ]}推論は、前提から結論への推論のステップであり、議論は推論の外的表現です。^{[ 28 ]}

論理学は正しい推論の研究であり、良い議論と悪い議論を区別する方法を研究します。^{[ 29 ]}演繹論理は、すべての前提が真であれば結論が偽になることはない、演繹的に妥当な議論と呼ばれる最も強力な議論を研究する分野です。これは、結論が前提の論理的帰結であると言うことで表現されます。推論規則は演繹論理に属し、この要件を満たす議論の形式を記述します。^{[ 30 ]}議論が推論規則に従っているかどうかを正確に評価するために、論理学者は形式言語を使用して、数学の公式と同様に、厳密な方法でステートメントを表現します。^{[ 31 ]}彼らは形式言語と推論規則を組み合わせて、命題を定式化し結論を導き出すための枠組みである形式システムを構築します。^{[ j ]}異なる形式システムは、異なる形式言語または異なる推論規則を使用する場合があります。^{[ 33 ] [ k ]}形式システム内の基本的な推論規則は、許容規則として知られる新しい規則を導入することによって拡張できることがよくあります。許容規則は形式体系におけるどの議論が有効であるかを変更するものではありませんが、証明を簡略化することができます。許容規則が体系の基本規則の組み合わせによって表現できる場合、それは派生規則または導出可能規則と呼ばれます。^{[ 35 ]}形式体系で演繹できる命題は、その形式体系の定理と呼ばれます。^{[ 36 ]}広く使用されている論理体系には、命題論理、一階述語論理、様相論理などがあります。^{[ 37 ]}

推論規則は、前提が真である場合にのみ結論が真であることを保証する。誤った前提を持つ議論でも妥当である場合があるが、その結論は偽である可能性がある。例えば、「豚が飛べるならば、空は紫色である。豚は飛べる。したがって、空は紫色である。」という議論は、誤った前提を含んでいても、モーダス・ポネンスに従っているため妥当である。妥当な議論は、その前提がすべて真である場合に健全な議論と呼ばれる。 ^{[ 38 ]}

推論規則は、トートロジーまたは論理的真理と密接に関連しています。論理学において、トートロジーとは、非論理的語彙の意味とは無関係に、使用されている論理的語彙のみによって真となる命題です。たとえば、「木が緑で空が青いならば、木は緑である」という命題は、木や緑などの用語の意味とは無関係に真であるため、トートロジーとなります。推論規則に従うすべての議論は、トートロジーに変換できます。これは、すべての前提の連言（かつ）を形成し、それを含意（もし…ならば…）によって結論に接続することで、議論の個々の命題すべてを単一の命題にまとめることによって実現されます。たとえば、妥当な議論「木は緑で空は青い。したがって、木は緑である。」は、トートロジー「木が緑で空が青いならば、木は緑である」に変換できます。^{[ 39 ]}

推論規則は、議論が妥当であることを示す唯一の方法ではありません。代替方法としては、命題論理に適用される真理表や、一階述語論理にも適用できる真理木などがあります。 ^{[ 40 ]}

推論を体系化し、議論の妥当性を証明するさまざまな方法として、さまざまな形式体系や証明システムが提案されてきた。異なる論理体系とは異なり、これらの形式体系は証明できる内容には影響を与えず、証明の定式化方法にのみ影響を与える。影響力のある枠組みとしては、自然演繹システム、ヒルベルトシステム、シーケント計算などがある。^{[ 64 ]}

自然演繹システムは、論理的導出をより容易にするために多くの直感的な推論規則を導入することで、人々が自然に推論する方法を反映することを目指しています。それらは複雑な議論を単純なステップに分解し、多くの場合、一時的な前提に基づく部分証明を使用します。自然演繹における推論規則は特定の論理演算子を対象とし、導入規則によって演算子を追加する方法、または削除規則によって演算子を削除する方法を規定します。たとえば、連言導入規則は、推論できると主張します。${\displaystyle P\land Q}$敷地内から${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$それによって、論理積演算子を含まない前提から論理積演算子を含む結論を導き出すことができる。逆に、論理積除去規則は、推論できると主張する。${\displaystyle P}$から${\displaystyle P\land Q}$これにより、論理積演算子を含まない結論が得られます。同様の推論規則には、選言の導入と除去、含意の導入と除去、否定の導入と除去、双条件の導入と除去などがあります。結果として、自然演繹の体系には通常、多くの推論規則が含まれます。^{[ 65 ] [ o ]}

対照的に、ヒルベルトシステムは、推論規則をできるだけ少なくすることで、論理的推論の最小限かつ効率的な枠組みを提供することを目指しています。多くのヒルベルトシステムは、推論規則としてモーダス・ポネンスのみを持っています。この最小限の基礎からすべての定理を導出できることを保証するために、公理図式を導入します。^{[ 67 ]}公理図式は、公理または真のステートメントを作成するためのテンプレートです。メタ変数（特定の用語または式に置き換えることができるプレースホルダー）を使用して、無限の数の真のステートメントを生成します。^{[ 68 ]}例えば、命題論理は、次の 3 つの公理図式で定義できます。(1)${\displaystyle P\to (Q\to P)}$（２）${\displaystyle (P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$（３）${\displaystyle (\lnot P\to \lnot Q)\to (Q\to P)}$[ ^{69 ]}証明を定式化するために、論理学者は公理体系から新しい命題を作成し、それらの命題にモーダス・ポネンスを適用して結論^を​​導き出します。自然演繹と比較すると、この手順は記号操作に大きく依存するため、根底にある論理的推論が不明瞭になる可能性があるため、直感的ではない傾向があります。^{[ 70 ]}

別のアプローチであるシーケント計算では、引数の形式的表現としてシーケントが導入されます。シーケントは次の形式をとります。${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m}\vdash B_{1},\dots ,B_{n}}$、 どこ${\displaystyle A_{i}}$そして${\displaystyle B_{i}}$は命題を表します。シーケントは、少なくとも1つが${\displaystyle B_{i}}$すべてが真である場合${\displaystyle A_{i}}$は真です。推論規則はシーケントに作用して、追加のシーケントを生成します。シーケント計算では、各論理演算子に対して 2 つの推論規則が定義されています。1 つはシーケントの左側に導入するための規則、もう 1 つは右側に導入するための規則です。たとえば、演算子を導入する規則を通して、${\displaystyle \lnot }$左側では、${\displaystyle \lnot R,P\vdash Q}$から${\displaystyle P\vdash Q,R}$カットルールは推論の追加ルールであり、特定の命題を削除することによってシーケントを単純化することを可能にする。^{[ 71 ]}

推論規則は演繹的推論の有効なパターンを記述するのに対し、形式的誤謬は論理的誤りを含む無効な議論形式である。形式的誤謬の前提は結論を適切に支持しないため、すべての前提が真であっても結論は偽となる可能性がある。形式的誤謬はしばしば有効な推論規則の構造を模倣するため、人々が知らず知らずのうちに誤謬を犯し、その結論を受け入れてしまう可能性がある。^{[ 73 ]}

結論を肯定する形式的誤謬は、${\displaystyle P}$敷地内から${\displaystyle P\to Q}$そして${\displaystyle Q}$例えば、「レオが猫ならば、レオは動物である。レオは動物である。したがって、レオは猫である。」という議論のように。この誤謬は、モーダス・ポネンスに従う妥当な推論に似ているが、重要な違いは、この誤謬では第2前提と結論が入れ替わっていることである。^{[ 72 ]}前件否定の形式的誤謬は、${\displaystyle \lnot Q}$敷地内から${\displaystyle P\to Q}$そして${\displaystyle \lnot P}$例えば、「ラヤが映画を見たなら、ラヤは楽しかった。ラヤは映画を見ていない。したがって、ラヤは楽しかったのではない。」という議論のように。この誤謬は、モーダス・トレンスに従う妥当な推論に似ているが、重要な違いは、この誤謬では第2前提と結論が入れ替わっていることである。^{[ 74 ]}他の形式的誤謬には、選言の肯定、存在の誤謬、および中項不分配の誤謬がある。^{[ 75 ]}

推論規則は多くの分野、特に数学やコンピュータ科学などの形式科学に関連しており、定理の証明に使用されます。^{[ 76 ]}数学的証明は、多くの場合、数学的構成要素間の論理的関係を記述する一連の公理から始まります。定理を確立するために、数学者はこれらの公理に推論規則を適用し、定理が論理的帰結であることを示すことを目指します。^{[ 77 ]}彼らは、直接証明、背理法、数学的帰納法など、結論に到達するための推論戦略に基づいて、さまざまな種類の証明を区別します。^{[ 78 ]}数学と論理学のサブ分野である数理論理学は、数学的方法とフレームワークを使用して、推論規則やその他の論理的概念を研究します。^{[ 79 ]}

コンピュータサイエンスも演繹的推論に依存しており、推論規則を使用して定理を確立し、アルゴリズムを検証します。^{[ 80 ]} Prologなどの論理プログラミングフレームワークを使用すると、開発者は知識を表現し、計算を使用して推論を行い、問題を解決できます。^{[ 81 ]}これらのフレームワークには、推論規則を使用して証明を自動的に生成または検証するプログラムである自動定理証明器が含まれていることがよくあります。 ^{[ 82 ]}エキスパートシステムは、自動推論を使用して、医療診断などの特定の分野の人間の専門家の意思決定プロセスをシミュレートし、複雑な問題解決タスクを支援します。エキスパートシステムは、その分野の事実と規則を表現する知識ベースを持ち、推論エンジンを使用して関連情報を抽出し、ユーザーのクエリに応答します。^{[ 83 ]}

推論規則は、演繹的に妥当な議論の前提と結論の関係を記述する論理的帰結の定義に関して、論理哲学の中心をなすものである。この概念に関するさまざまな理論は、その性質とそれが存在する条件について議論している。演繹理論的概念によれば、論理的帰結は推論規則の観点から定義される。結論は、一連の推論ステップを通じて演繹できる場合に、一連の前提から論理的に導かれる。対照的に、モデル理論的概念は、非論理的な命題の語彙がどのように解釈できるかに焦点を当てている。この見解によれば、論理的帰結とは、反例が不可能であることを意味する。つまり、いかなる解釈の下でも、前提が真であり結論が偽であることはない。^{[ 84 ]}論理認識論における関連するトピックは、モーダス・ポネンスやその他の推論規則が正しい推論の許容可能な形式であることをどのように正当化するかという問題である。^{[ 85 ]}

認知心理学者は、論理的推論を含む精神過程を研究します。彼らは、人間が推論規則を用いて結論を導き出す方法に関心を持ち、正しさや効率性に影響を与える要因を調べます。例えば、人々はモーダス・ポネンスをモーダス・トレンスよりもうまく使いこなし、その結果、推論の成功率が高くなることを彼らは観察しています。関連するトピックとして、形式的誤謬を正当な議論と誤解させるバイアスがあります。例えば、後件を肯定し前件を否定するタイプの誤謬は、しばしば誤って正当なものとして受け入れられます。議論の評価は、命題の具体的な意味にも依存します。結論がもっともらしく聞こえる場合、人々は誤謬を受け入れやすくなります。^{[ 86 ]}

推論規則は、自分の主張の妥当性を確立したり、論理的誤謬を暴くことで相手の主張を弱体化させたりするために、法律分野にも関連している。しかし、法的推論は厳密な演繹的推論に限定されるものではなく、純粋な形式論理を超えた法的規範や証拠基準などの側面も取り入れている。^{[ 87 ]}

• 即時推論– 単一の記述からの論理的推論 
• 推論の反論―前提と結論の関係に異議を唱える議論の拒否
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• 推論規則の一覧
• 構造規則– 数理論理学の規則