バナッハ空間

すべての有限次元ノルム空間は可分バナッハ空間であり、同じ有限次元の任意の2つのバナッハ空間は線形同相である。すべての可分無限次元ヒルベルト空間は、可分ヒルベルト数列空間と線形等長同型である。${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$通常の基準で${\displaystyle \|{\cdot }\|_{2}.}$

アンダーソン・カデックの定理は、無限次元の可分フレシェ空間はすべて積空間と同相であることを述べている。${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$数えられるほどの複製${\displaystyle \mathbb {R} }$（この同相写像は線形写像である必要はない）。^{[ 6 ] [ 7 ]} したがって、すべての無限次元可分フレシェ空間は互いに同相である（言い換えれば、その位相は同相写像を除いて一意である）。 すべてのバナッハ空間はフレシェ空間であるため、これはすべての無限次元可分バナッハ空間にも当てはまる。${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$ 実際には、${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$自身の単位球面とさえ同相である${\displaystyle \{x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} )\mid \|x\|_{2}=1\},}$これは有限次元空間（ユークリッド平面）とは大きく対照的である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$例えば、単位円とは同相ではない。

同相類におけるこのパターンは、計量可能な（局所的にユークリッド的な）位相多様体の一般化である計量バナッハ多様体にも拡張される。計量バナッハ多様体は、与えられたバナッハ空間の何らかの開部分集合と局所的に同相なすべての点の周りの計量空間である（計量ヒルベルト多様体と計量フレシェ多様体も同様に定義される）。^{[ 7 ]} 例えば、すべての開部分集合${\displaystyle U}$バナッハ空間の${\displaystyle X}$は、標準的には、モデル化された計量バナッハ多様体である。${\displaystyle X}$包含マップ以来${\displaystyle U\to X}$は開いた局所同相写像である。ヒルベルト空間のマイクロバンドルを用いて、デイビッド・ヘンダーソンは1969年に^{[ 8 ]}、分離可能な無限次元バナッハ（またはフレシェ）空間をモデル化したすべての計量多様体は、の開いた部分集合として位相的に埋め込むことができることを示した。${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$そして、その結果、独特の滑らかな構造も実現し、${\displaystyle C^{\infty }}$ヒルベルト多様体。

コンパクトな部分集合が存在する${\displaystyle S}$の${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$その凸包${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$閉じていないため、コンパクトでもない。^{[注5 ] [ 9 ]} しかし、すべてのバナッハ空間と同様に、閉じた凸包は${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$この（および他のすべての）コンパクト部分集合はコンパクトになります。^{[ 10 ]}完備でないノルム空間では、一般に保証されません。${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$コンパクトになる${\displaystyle S}$は、例えば、(完全ではない)プレヒルベルトベクトル部分空間にも見られる^{[注5 ]。}${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

この規範誘導トポロジーは、${\displaystyle (X,\tau _{d})}$位相ベクトル空間（TVS）と呼ばれるものに変換されます。TVSは定義上、加算とスカラー乗算の演算を連続にする位相を備えたベクトル空間です。TVSは、${\displaystyle (X,\tau _{d})}$これは、ある種の位相を持つベクトル空間にすぎません。つまり、TVS として考える場合、特定のノルムや距離（どちらも「忘れられた」もの）とは関連付けられていません。このハウスドルフ TVS${\displaystyle (X,\tau _{d})}$原点を中心とするすべての開球の集合が、凸平衡開集合からなる原点の近傍基底を形成するため、局所的に凸です。この TVS はノルム可能でもあり、定義上、位相が何らかの (おそらく未知の)ノルムによって誘導される任意の TVS を指します。ノルム可能な TVS は、ハウスドルフであり、原点の有界凸近傍を持つという特徴があります。すべてのバナッハ空間は樽型空間であり、これはすべての樽が原点の近傍であること (たとえば、原点を中心とするすべての閉球が樽であること) を意味し、バナッハ-シュタインハウスの定理が成り立つことを保証します。

開写像定理は、${\displaystyle \tau _{1}}$そして${\displaystyle \tau _{2}}$トポロジーは${\displaystyle X}$両方を作る${\displaystyle (X,\tau _{1})}$そして${\displaystyle (X,\tau _{2})}$完全計量可能な TVS (例えば、バナッハ空間やフレシェ空間)に分割する場合、一方の位相が他方よりも細かいか粗いかにかかわらず、それらは等しくなければなりません (つまり、${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$または${\displaystyle \tau _{2}\subseteq \tau _{1}}$それから${\displaystyle \tau _{1}=\tau _{2}}$) ^{[ 11 ]} 例えば、${\displaystyle (X,p)}$そして${\displaystyle (X,q)}$位相を持つバナッハ空間${\displaystyle \tau _{p}}$そして${\displaystyle \tau _{q},}$そして、これらの空間のいずれかに、他の空間の開部分集合でもある開球が存在する場合（または同等に、${\displaystyle p:(X,\tau _{q})\to \mathbb {R} }$または${\displaystyle q:(X,\tau _{p})\to \mathbb {R} }$が連続である場合、それらのトポロジーは同一であり、ノルムは${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$同等である。

2つの規範、${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q,}$ベクトル空間上${\displaystyle X}$それらは同じ位相を誘導する場合に同等であると言われます。 ^{[ 12 ]}これは実数が存在する場合に限り起こります。${\displaystyle c,C>0}$そのため${\textstyle c\,q(x)\leq p(x)\leq C\,q(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$もし${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$ベクトル空間上の2つの同値なノルム${\displaystyle X}$それから${\displaystyle (X,p)}$バナッハ空間であるのは、${\displaystyle (X,q)}$はバナッハ空間です。バナッハ空間の与えられたノルムと等価でない連続ノルムの例については、この脚注を参照してください。 ^{[注6 ] [ 12 ]} 有限次元ベクトル空間上のすべてのノルムは等価であり、すべての有限次元ノルム空間はバナッハ空間です。^{[ 13 ]}

指標${\displaystyle D}$ベクトル空間上${\displaystyle X}$ノルムによって誘導される${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle D}$は並進不変であり^{[注3 ]}、絶対的に均質である。つまり、${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle s}$そしてすべて${\displaystyle x,y\in X,}$この場合、関数${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$規範を定義する${\displaystyle X}$そして、によって誘導される正準計量${\displaystyle \|{\cdot }\|}$に等しい${\displaystyle D.}$

仮に${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$は規範空間であり、${\displaystyle \tau }$ノルムトポロジーは${\displaystyle X.}$仮に${\displaystyle D}$何らかの指標は​${\displaystyle X}$トポロジーが${\displaystyle D}$誘発する${\displaystyle X}$に等しい${\displaystyle \tau .}$もし${\displaystyle D}$は並進不変である^{[注3 ]}ならば${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$バナッハ空間であるのは、${\displaystyle (X,D)}$は完備距離空間である。^{[ 14 ]} もし${\displaystyle D}$は並進不変ではないので、${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$バナッハ空間であるが、${\displaystyle (X,D)}$完全距離空間ではない[ ^{15 ] （}例についてはこの脚注^{[注7 ]}を参照）。対照的に、すべての距離化可能な位相ベクトル空間にも適用されるKleeの定理^{[ 16 ] [ 17 ] [注8 ]}は、完全距離が存在する場合^{[注9 ]、}${\displaystyle D}$の上${\displaystyle X}$ノルム位相を誘導する${\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$これはバナッハ空間である。

フレシェ空間とは、ある並進不変な完備計量によって位相が誘導される局所凸位相ベクトル空間である。すべてのバナッハ空間はフレシェ空間であるが、その逆は成り立たない。実際、ノルムが連続関数でないフレシェ空間も存​​在する（例えば、実数列の空間など）。${\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$積位相を持つ）。しかし、すべてのフレシェ空間の位相は、半ノルムと呼ばれる実数値（必然的に連続）写像の可算族によって誘導される。半ノルムはノルムの一般化である。フレシェ空間が可算族のノルムによって誘導される位相を持つ場合もある（そのようなノルムは必然的に連続である）^{[注10 ] [ 18 ]}が、その位相が単一のノルムによって定義できないため、 バナッハ空間／ノルム空間ではない場合もある。そのような空間の例として、フレシェ空間が挙げられる。${\displaystyle C^{\infty }(K),}$その定義は、テスト関数と分布の空間に関する記事に記載されています。

計量的完全性以外にも、完全性の概念として、完全位相ベクトル空間（TVS）またはTVS完全性という概念があり、これは一様空間の理論に基づいています。具体的には、TVS完全性の概念は、ベクトル減算と位相のみに依存する、正準一様性と呼ばれる一意の並進不変一様性を使用します。${\displaystyle \tau }$ベクトル空間には、特に、このTVS完全性の概念は、位相を誘導するノルムとは無関係である。${\displaystyle \tau }$（そして、距離化できないTVSにも適用されます）。すべてのバナッハ空間は完全なTVSです。さらに、ノルム空間がバナッハ空間である（つまり、そのノルム誘導距離が完全である）のは、それが位相ベクトル空間として完全である場合に限ります。${\displaystyle (X,\tau )}$が距離化可能な位相ベクトル空間（例えば、任意のノルム誘導位相など）である場合、${\displaystyle (X,\tau )}$が完全な TVS であるのは、それが逐次的に完全な TVS である場合に限る。つまり、のすべてのコーシー列をチェックすれば十分である。${\displaystyle (X,\tau )}$収束する${\displaystyle (X,\tau )}$ある時点で${\displaystyle X}$（つまり、任意のコーシーネットというより一般的な概念を考慮する必要はない。）

もし${\displaystyle (X,\tau )}$は位相ベクトル空間であり、その位相は（おそらく未知の）ノルムによって誘導される（このような空間はノルム可能と呼ばれる）ので、${\displaystyle (X,\tau )}$が完全位相ベクトル空間であるのは、${\displaystyle X}$規範が割り当てられる可能性がある${\displaystyle \|{\cdot }\|}$誘発する${\displaystyle X}$トポロジー${\displaystyle \tau }$また、${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$バナッハ空間へ。ハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間${\displaystyle X}$が規範可能であるのは、その強双対空間が規範可能である場合に限る。${\displaystyle X'_{b}}$規範化可能であり、^{[ 19 ]}その場合${\displaystyle X'_{b}}$バナッハ空間（${\displaystyle X'_{b}}$は、​${\displaystyle X,}$その位相は、連続双対空間上の双対ノルム誘導位相の一般化である。${\displaystyle X'}$（詳細は脚注^{[注11 ]を参照）。}${\displaystyle X}$は距離化可能な局所凸TVSである。${\displaystyle X}$は、以下の場合に限り規範化可能である。${\displaystyle X'_{b}}$はフレシェ・ウリゾーン空間である。^{[ 20 ]}これは、局所凸TVS のカテゴリーにおいて、バナッハ空間は、距離化可能であり、かつ距離化可能な強双対空間を持つ完備空間であることを示している。

全てのノルム空間は、バナッハ空間の稠密なベクトル部分空間に等長的に埋め込むことができ、このバナッハ空間はノルム空間の完備化と呼ばれる。このハウスドルフ完備化は、等長同型を除いて一意である。

より正確には、すべてのノルム空間に対して${\displaystyle X,}$バナッハ空間が存在する${\displaystyle Y}$そしてマッピング${\displaystyle T:X\to Y}$そのため${\displaystyle T}$等角写像であり、${\displaystyle T(X)}$密度が高い${\displaystyle Y.}$もし${\displaystyle Z}$は、 から等長同型写像が存在する別のバナッハ空間である。${\displaystyle X}$密な部分集合に${\displaystyle Z,}$それから${\displaystyle Z}$等長的に同型である${\displaystyle Y.}$ バナッハ空間${\displaystyle Y}$はノルム空間のハウスドルフ完備化である。${\displaystyle X.}$基礎となる距離空間${\displaystyle Y}$メトリック完了と同じです${\displaystyle X,}$ベクトル空間演算は以下から拡張されています${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y.}$の完了${\displaystyle X}$は、${\displaystyle {\widehat {X}}.}$

すべての連続線形作用素は有界線形作用素であり、ノルム空間のみを扱う場合はその逆も真である。つまり、 2 つのノルム空間間の線形作用素は、それが連続関数である場合に限り有界である。したがって、特に、スカラー場 (これは${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$) はノルム空間であり、ノルム空間上の線形汎関数は、それが連続線形汎関数である場合に限り、有界線形汎関数である。これにより、連続性に関連する結果 (以下に示すような) をバナッハ空間に適用することができる。有界性はノルム空間間の線形写像の連続性と同じであるが、「有界」という用語は、主にバナッハ空間を扱う場合によく使用される。

もし${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$が劣加法関数（ノルム、劣線形関数、または実線形汎関数など）である場合、 ^{[ 22 ]}${\displaystyle f}$原点で連続であるのは、${\displaystyle f}$は全範囲で一様に連続である${\displaystyle X}$; さらに${\displaystyle f(0)=0}$それから${\displaystyle f}$は、その絶対値が${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$は連続であり、それは次の場合に限り起こります。${\displaystyle \{x\in X\mid |f(x)|<1\}}$は、の開部分集合である。${\displaystyle X.}$^{[ 22 ] [注12 ]} そして、ハーン・バナッハの定理線形汎関数${\displaystyle f}$連続であるのは、その実部が真である場合に限る。${\displaystyle \operatorname {Re} f}$さらに、${\displaystyle \|\operatorname {Re} f\|=\|f\|}$そして本当の部分${\displaystyle \operatorname {Re} f}$完全に決定する${\displaystyle f,}$そのため、ハーン・バナッハの定理は実線形汎関数に対してのみ述べられることが多い。また、線形汎関数${\displaystyle f}$の上${\displaystyle X}$連続であるのは、半ノルムが${\displaystyle |f|}$は連続であり、これは連続セミノルムが存在する場合に限り起こる。${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$そのため${\displaystyle |f|\leq p}$;この最後の記述は線形関数に関するものです${\displaystyle f}$およびセミノルム${\displaystyle p}$これは、ハーン・バナッハの定理の多くのバージョンで見られる。

• バナッハ空間${\displaystyle C(K)}$点ごとの積を持つと、バナッハ環になります。
• ディスク代数${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$開単位円盤内で正則な関数から構成される${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$そして閉鎖後も継続する：${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}.}$最大規格を装備${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }},}$ディスク代数${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$は、の閉じた部分代数である。${\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).}$
• ウィーナー代数${\displaystyle A(\mathbf {T} )}$は単位円上の関数の代数である。${\displaystyle \mathbf {T} }$絶対収束するフーリエ級数を用いて。関数を関連付けるマップを介して${\displaystyle \mathbf {T} }$この代数は、そのフーリエ係数の列に関して、バナッハ代数と同型である。${\displaystyle \ell ^{1}(Z),}$ここで、積は数列の畳み込みである。
• すべてのバナッハ空間に対して${\displaystyle X,}$スペース${\displaystyle B(X)}$有界線形作用素の${\displaystyle X,}$写像の合成を積とすると、バナッハ代数となる。
• C *-代数は複素バナッハ代数である。${\displaystyle A}$ with an antilinearinvolution${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$ such that ${\displaystyle \|a^{*}a\|=\|a\|^{2}.}$ The space ${\displaystyle B(H)}$ of bounded linear operators on a Hilbert space ${\displaystyle H}$ is a fundamental example of C*-algebra. The Gelfand–Naimark theorem states that every C*-algebra is isometrically isomorphic to a C*-subalgebra of some ${\displaystyle B(H).}$ The space ${\displaystyle C(K)}$ of complex continuous functions on a compact Hausdorff space ${\displaystyle K}$ is an example of commutative C*-algebra, where the involution associates to every function ${\displaystyle f}$ its complex conjugate${\displaystyle {\overline {f}}.}$

バナッハ空間上の弱位相${\displaystyle X}$は最も粗いトポロジーです${\displaystyle X}$すべての要素${\displaystyle x'}$連続双対空間において${\displaystyle X'}$連続である。したがって、ノルム位相は弱位相よりも細かい。ハーン・バナッハ分離定理から、弱位相はハウスドルフであり、バナッハ空間のノルム閉凸部分集合は弱閉でもあることがわかる。 ^{[ 34 ]} 2つのバナッハ空間間のノルム連続線形写像${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は弱連続でもあり、弱位相から連続である。${\displaystyle X}$の${\displaystyle Y.}$^{[ 35 ]}

もし${\displaystyle X}$空間は無限次元であり、連続しない線形写像が存在する。${\displaystyle X^{*}}$すべての線形マップから${\displaystyle X}$基礎となる分野へ${\displaystyle \mathbb {K} }$（このスペース）${\displaystyle X^{*}}$は、 と区別するために、代数的双対空間と呼ばれます。${\displaystyle X'}$また、トポロジーを誘導する${\displaystyle X}$これは弱位相よりも細かい概念であり、関数解析ではあまり用いられない。

デュアルスペース${\displaystyle X',}$弱いトポロジーよりも弱いトポロジーが存在する${\displaystyle X',}$弱トポロジーと呼ばれる。これは、最も粗いトポロジーである。${\displaystyle X'}$すべての評価マップについて${\displaystyle x'\in X'\mapsto x'(x),}$どこ${\displaystyle x}$範囲は${\displaystyle X,}$連続である。その重要性はバナッハ・アラオグル定理に由来する。

バナッハ・アラオグルの定理は、コンパクトハウスドルフ空間の無限積に関するチホノフの定理を用いて証明できる。${\displaystyle X}$分離可能、単位球${\displaystyle B'}$双対の は弱位相* において距離化可能なコンパクトである。 ^{[ 36 ]}

の二重性${\displaystyle c_{0}}$等長的に同型である${\displaystyle \ell ^{1}}$: 全ての有界線形汎関数に対して${\displaystyle f}$の上${\displaystyle c_{0},}$独特の要素がある${\displaystyle y=\{y_{n}\}\in \ell ^{1}}$そのため $${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$$

の二重性${\displaystyle \ell ^{1}}$等長的に同型である${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ルベーグ空間の双対${\displaystyle L^{p}([0,1])}$等長的に同型である${\displaystyle L^{q}([0,1])}$いつ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$そして${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

すべてのベクトルに対して${\displaystyle y}$ヒルベルト空間において${\displaystyle H,}$マッピング $${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$$

連続線形関数を定義する${\displaystyle f_{y}}$の上${\displaystyle H.}$リース表現定理は、上のすべての連続線形汎関数が${\displaystyle H}$形式は${\displaystyle f_{y}}$一意に定義されたベクトル${\displaystyle y}$で${\displaystyle H.}$ マッピング${\displaystyle y\in H\to f_{y}}$は反線形等長全単射である。${\displaystyle H}$その二重の${\displaystyle H'.}$ スカラーが実数の場合、この写像は等長同型写像となる。

いつ${\displaystyle K}$はコンパクトなハウスドルフ位相空間であり、その双対は${\displaystyle M(K)}$の${\displaystyle C(K)}$は、ブルバキの意味でのラドン測度の空間である。 ^{[ 37 ]} 部分集合${\displaystyle P(K)}$の${\displaystyle M(K)}$質量 1 の非負の尺度 (確率尺度) から構成されるは、単位球の凸 w*-閉部分集合である。${\displaystyle M(K).}$ 極点​​${\displaystyle P(K)}$ディラックの尺度は${\displaystyle K.}$ ディラック測度の集合${\displaystyle K,}$w*-トポロジーを備え、同相である${\displaystyle K.}$

^{この結果は、Amir [ 40 ]}と Cambern ^{[ 41 ]}によって、乗法バナッハ・マズール距離が次のようになる場合に拡張されました。${\displaystyle C(K)}$そして${\displaystyle C(L)}$は${\displaystyle <2.}$ 距離が${\displaystyle =2.}$^{[ 42 ]}

可換バナッハ代数において${\displaystyle C(K),}$最大イデアルは、ディラック測度の核に正確に等しい。${\displaystyle K,}$$${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K)\mid f(x)=0\},\quad x\in K.}$$

より一般的には、ゲルファント＝マズール定理により、単位元を持つ可換バナッハ環の最大イデアルは、その指標と同一視できる。単なる集合としてではなく、位相空間としてである。前者はハル・カーネル位相、後者はw*位相に対応する。この同一視において、最大イデアル空間は、双対空間における単位球のaw*コンパクト部分集合と見なすことができる。${\displaystyle A'.}$

すべての単位的可換バナッハ環が次の形式であるとは限らない。${\displaystyle C(K)}$コンパクトなハウスドルフ空間のために${\displaystyle K.}$しかし、この記述は、${\displaystyle C(K)}$ in the smaller category of commutative C*-algebras. Gelfand'srepresentation theorem for commutative C*-algebras states that every commutative unital C*-algebra ${\displaystyle A}$ is isometrically isomorphic to a ${\displaystyle C(K)}$ space.^[43] The Hausdorff compact space ${\displaystyle K}$ here is again the maximal ideal space, also called the spectrum of ${\displaystyle A}$ in the C*-algebra context.

If ${\displaystyle X}$ is a normed space, the (continuous) dual ${\displaystyle X''}$ of the dual ${\displaystyle X'}$ is called the bidual or second dual of ${\displaystyle X.}$ For every normed space ${\displaystyle X,}$ there is a natural map, $${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}\colon X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

This defines ${\displaystyle F_{X}(x)}$ as a continuous linear functional on ${\displaystyle X',}$ that is, an element of ${\displaystyle X''.}$ The map ${\displaystyle F_{X}\colon x\to F_{X}(x)}$ is a linear map from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle X''.}$ As a consequence of the existence of a norming functional${\displaystyle f}$ for every ${\displaystyle x\in X,}$ this map ${\displaystyle F_{X}}$ is isometric, thus injective.

For example, the dual of ${\displaystyle X=c_{0}}$ is identified with ${\displaystyle \ell ^{1},}$ and the dual of ${\displaystyle \ell ^{1}}$ is identified with ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ the space of bounded scalar sequences. Under these identifications, ${\displaystyle F_{X}}$ is the inclusion map from ${\displaystyle c_{0}}$ to ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ It is indeed isometric, but not onto.

If ${\displaystyle F_{X}}$ is surjective, then the normed space ${\displaystyle X}$ is called reflexive (see below). Being the dual of a normed space, the bidual ${\displaystyle X''}$ is complete, therefore, every reflexive normed space is a Banach space.