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幾何学と多面体組合せ論において、多面体または高次元凸多面体Pのクリートープ（Kleetope ）は、 Pの各面を角錐に置き換えることによって形成される別の多面体または多面体P Kである。[1]場合によっては、角錐は規則的な側面を持つように選択され、多くの場合は非凸多面体を生成する。あるいは、十分に浅い角錐を使用することで、結果が凸のままになることもある。クリートープはヴィクトル・クレーにちなんで名付けられているが、[2]同じ概念はクレーの研究よりはるか以前から他の名前で知られていた。[3]
例
いずれの場合も、クリートープは元の多面体の各面にピラミッドを取り付けることによって形成されます。これらの例は、プラトンの立体から見ることができます。
- 三角四面体は四面体のクリートープであり、三角八面体は八面体のクリートープであり、三角二十面体は二十面体のクリートープである。これらのクリートープは、それぞれの面に三角錐を追加することで形成される。[3]
- テトラキス六面体は立方体のクリートープであり、各面に四角錐を追加して形成されます。
- ペンタキス十二面体は、十二面体のクリートープであり、十二面体の各面に五角錐を追加することで形成されます。 [4]
クリートープの基本多面体は、プラトン立体である必要はありません。たとえば、2 面体12面体は、12 面体の各菱形面を菱形ピラミッドに置き換えることによって形成される、菱形 12 面体のクリートープであり、 2面体 30 面体は、菱形 30 面体のクリートープです。実際、上記の 3 面体 20 面体 12 面体からわかるように、 クリートープの基本多面体は面推移的である必要はありません。
定義
多面体Pのクリートープを形成する方法の 1 つは、各面の重心の近くに、Pの外側に新しい頂点を配置することです。これらの新しい頂点がすべて対応する重心に十分近い位置に配置されていれば、それらから見える他の頂点は、それらが定義されている面の頂点のみになります。この場合、 Pのクリートープは、 Pの頂点と新しい頂点の集合の和集合の凸包です。 [5]
あるいは、クリートープは、双対性とその双対演算である切断によって定義されることもあります。つまり、 Pのクリートープは、Pの双対の切断の双対多面体です。
特性と用途
P がその次元に対して十分な頂点を持つ場合、 Pのクリートープは次元的に一義的である。つまり、その辺と頂点によって形成されるグラフは、異なる次元を持つ異なる多面体または多面体のグラフではない。より具体的には、 d次元多面体Pの頂点の数が少なくともd 2 /2である場合、P K は次元的に一義的である。[6]
d次元多面体Pのすべてのi次元面が単体であり、i ≤ d − 2である場合、P Kのすべての( i + 1)次元面も単体です。特に、任意の 3 次元多面体のクリートープは単体多面体、つまりすべての面が三角形である多面体です。
クリートープは、ハミルトン閉路を持たない多面体を生成するために使用できる。クリートープ構築で追加された頂点の 1 つを通る経路は、元の多面体の隣接頂点を通って頂点に出入りする必要があり、新しい頂点の数が元の頂点の数より多い場合は、周回する隣接頂点の数が足りなくなる。特に、三角錐のクリートープであるゴールドナー・ハラリーグラフは、クリートープ構築で 6 つの頂点が追加され、元の双錐には 5 つの頂点しかないため、非ハミルトンである。これは、可能な限り最も単純な非ハミルトン単体多面体である。[7]四面体から始めて、クリートープ構築を何度か繰り返すことで n 頂点の多面体が形成される場合、その最長経路の長さはO( n log 3 2 )である。つまり、これらのグラフの短さ指数はlog 3 2で、約 0.630930 です。同じ手法により、任意の高次元 dでは、短さ指数log d 2の単体多面体が存在することが示されています。[8]同様に、Plummer (1992) は Kleetope 構成を使用して、完全一致を持たない偶数個の頂点を持つ単体多面体の無限の例を提供しました。[9]
クリートープは頂点の次数に関連したいくつかの極端な性質も持っています。平面グラフの各辺が少なくとも7つの他の辺に接続されている場合、次数が5以下の頂点が存在し、その隣の頂点のうち1つを除いてすべてが次数20以上である必要があります。また、イコサヘドロンクリートープのクリートープは、高次頂点の次数がちょうど20である例を示しています。[10]
注記
- ^ グリュンバウム（1963年、1967年）。
- ^ マルケヴィッチ、ジョセフ、変化をもたらす人々、アメリカ数学会。
- ^ Brigaglia、Palladino、Vaccaro (2018)より引用。
- ^ Çolak & Gelişgen (2015).
- ^ グリュンバウム（1967年）、217ページ。
- ^ Grünbaum (1963); Grünbaum (1967)、227ページ。
- ^ Grünbaum (1967)、357ページ; Goldner & Harary (1975)。
- ^ ムーン＆モーザー（1963年）。
- ^ プラマー（1992年）。
- ^ ジェンドロル＆マダラス（2005年）。
参考文献
- Brigaglia, Aldo; Palladino, Nicla; Vaccaro, Maria Alessandra (2018)、「数学、芸術、自然における星の幾何学に関する歴史的ノート」、Emmer, Michele; Abate, Marco (eds.)、Imagine Math 6: Between Culture and Mathematics、Springer International Publishing、pp. 197–211、doi :10.1007/978-3-319-93949-0_17、ISBN 978-3-319-93948-3ブリガリアらは、以前のラテン語文献に従って、クリートープを表すために「polyhedron elevatum 」という語句を使用しています。彼らは、201～202 ページで、「正多面体の面に正正三角形を追加する」という一般的な構成と、5 つのプラトン立体へのその適用の両方について説明しています。
- チョラク、ゼイネプ。 Gelişgen、Özcan (2015)、「三角六面体およびペンタキス十二面体の新しい指標」、サカリヤ大学科学ジャーナル、19 (3): 353–360、doi :10.16984/saufenbilder.03497
- Goldner, A.; Harary, F. (1975)、「最小の非ハミルトン最大平面グラフに関する注記」、Bull. Malaysian Math. Soc.、6 (1): 41–42同じジャーナル6 (2):33 (1975)および8 :104-106 (1977)も参照。Hararyの出版物のリストからの引用。
- グリュンバウム、ブランコ(1963)、「明確な多面体グラフ」、イスラエル数学ジャーナル、1 (4): 235–238、doi :10.1007/BF02759726、MR 0185506、S2CID 121075042。
- グリュンバウム、ブランコ（1967）、凸多面体、ワイリーインターサイエンス。
- ジェンドロル、スタニスラフ; マダラス、トマーシュ (2005)、「平面グラフにおいて、最大で 1 つの大きな次数の隣接頂点を持つ小さな次数の頂点の存在に関する注記」、タトラ山脈数学出版、30 : 149–153、MR 2190255。
- ムーン、JW; モーザー、L. (1963)、「多面体上の単純な経路」、パシフィックジャーナルオブ数学、13 (2): 629–631、doi : 10.2140/pjm.1963.13.629、MR 0154276。
- プラマー、マイケル D. (1992)、「平面グラフのマッチングの拡張 IV」、離散数学、109 (1–3): 207–219、doi :10.1016/0012-365X(92)90292-N、MR 1192384。